司卓一,余永健,馬偉,,李濟(jì)順,,薛玉君,

(1.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,河南 洛陽(yáng) 471003;2.河南省機(jī)械設(shè)計(jì)與傳動(dòng)系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河南 洛陽(yáng) 471003)

滾動(dòng)軸承是整個(gè)機(jī)械設(shè)備系統(tǒng)重要的零部件，軸承的旋轉(zhuǎn)精度在一定程度上決定了機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)精度，軸承的旋轉(zhuǎn)精度是評(píng)價(jià)軸承精度等級(jí)的重要指標(biāo)。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)軸承旋轉(zhuǎn)精度做了大量研究，文獻(xiàn)[1]通過(guò)數(shù)值仿真與試驗(yàn)相結(jié)合的方法分析了滾動(dòng)體數(shù)量、尺寸誤差和滾道形狀誤差對(duì)軸心軌跡形狀誤差的影響；文獻(xiàn)[2]建立考慮外圈溝道形狀誤差及鋼球尺寸誤差的球軸承非重復(fù)性跳動(dòng)仿真計(jì)算模型，分析了軸承溝道形狀誤差、鋼球數(shù)量、鋼球尺寸誤差對(duì)球軸承非重復(fù)跳動(dòng)的影響；文獻(xiàn)[3]建立角接觸球軸承旋轉(zhuǎn)精度計(jì)算模型，分析了軸承內(nèi)外圈溝道及鋼球波紋度對(duì)軸承非重復(fù)性跳動(dòng)的影響；文獻(xiàn)[4]建立深溝球軸承非重復(fù)性跳動(dòng)的五自由度靜力學(xué)模型，分析了鋼球直徑誤差分布、內(nèi)外圈溝道的圓度誤差對(duì)深溝球軸承非重復(fù)性跳動(dòng)的影響；文獻(xiàn)[5]考慮圓柱滾子軸承內(nèi)、外圈滾道形狀誤差建立圓柱滾子軸承幾何精度模型，分析了滾子尺寸誤差、滾道形狀誤差幅值和階次對(duì)軸承幾何精度的影響；文獻(xiàn)[6]建立基于五自由度擬靜力學(xué)模型的高速角接觸球軸承非重復(fù)性跳動(dòng)模型，分析了軸承零件波紋度對(duì)角接觸球軸承非重復(fù)性跳動(dòng)的影響；文獻(xiàn)[7]建立基于軸承內(nèi)圈滾道圓度誤差的軸承旋轉(zhuǎn)精度模型，分析了軸承旋轉(zhuǎn)精度與內(nèi)圈滾道幾何誤差之間的關(guān)系；文獻(xiàn)[8]考慮軸承外圈滾道圓度誤差建立軸承旋轉(zhuǎn)精度數(shù)學(xué)模型，分析了外圈滾道圓度誤差階數(shù)及幅值對(duì)軸承旋轉(zhuǎn)精度的影響。

上述對(duì)滾動(dòng)軸承旋轉(zhuǎn)精度的研究取得了一定成果，但多在空載下進(jìn)行。文獻(xiàn)[5]分析了載荷約束和軸承零件間的幾何協(xié)調(diào)關(guān)系，但并沒有考慮軸承徑向游隙和套圈旋轉(zhuǎn)速度，而文獻(xiàn)[7-8]深入分析了軸承內(nèi)、外圈滾道輪廓對(duì)軸承旋轉(zhuǎn)精度的影響，但未考慮軸承在實(shí)際工況下受到的載荷約束和軸承旋轉(zhuǎn)帶來(lái)的流體壓力及摩擦力。鑒于此，以NU209圓柱滾子軸承為例，基于擬靜力學(xué)法對(duì)軸承零件的運(yùn)動(dòng)及受力進(jìn)行了分析，得到滾子、保持架、套圈的受力平衡方程，再通過(guò)聯(lián)立幾何協(xié)調(diào)關(guān)系建立圓柱滾子軸承旋轉(zhuǎn)精度的數(shù)學(xué)仿真模型。并通過(guò)該模型分析了外圈滾道圓度誤差幅值、諧波階次以及徑向載荷、轉(zhuǎn)速對(duì)軸承旋轉(zhuǎn)精度的影響。

1 軸承徑向跳動(dòng)仿真模型

軸承徑向跳動(dòng)是直觀表征軸承旋轉(zhuǎn)精度的一項(xiàng)重要數(shù)據(jù)。建立軸承徑向跳動(dòng)的數(shù)學(xué)仿真模型的假設(shè)：1)由于載荷約束，外圈沿受載方向發(fā)生變形和位移，僅考慮載荷方向上的徑向跳動(dòng)；2)滾子和滾道表面沒有軸向的幾何和形貌誤差；3)由于保持架的關(guān)系，滾子在圓周方向上等間隔分布，保持架為理想元件，僅與滾子之間存在相互作用力，沒有幾何形狀誤差；4)滾子受離心力作用時(shí)各個(gè)滾子受力相同。

1.1 徑向跳動(dòng)幾何模型

由于僅考慮軸承外圈滾道圓度誤差的存在，外圈滾道為非圓輪廓，軸承幾何模型如圖1所示，xeOeye為以外圈滾道旋轉(zhuǎn)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立的坐標(biāo)系，xOy為以軸承中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立的坐標(biāo)系，內(nèi)圈中心與O重合。內(nèi)圈固定，外圈旋轉(zhuǎn)。δr表示外圈旋轉(zhuǎn)時(shí)Oe和O在豎直方向的偏移距離。外圈徑向偏移量最大值為δrmax，最小值為δrmin，則軸承徑向跳動(dòng)量Kea=δrmax-δrmin。

圖1 軸承幾何模型

軸承外圈滾道輪廓用Fourier級(jí)數(shù)可表示為

(1)

θ=ψj-θe，

式中：θ為在坐標(biāo)系下外圈輪廓任意一點(diǎn)與xe方向的夾角；de為軸承外圈滾道理想圓直徑；m為諧波階次；Cm為外圈滾道第m階諧波幅值；φm為內(nèi)圈滾道第m階諧波初始相位角；ψj為第j個(gè)滾子的位置角；θe為外圈轉(zhuǎn)動(dòng)的角度；θr為隨外圈轉(zhuǎn)動(dòng)滾子及保持架轉(zhuǎn)動(dòng)角度；Z為滾子數(shù)量。

滾子和保持架會(huì)隨著外圈旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)動(dòng)，則

(2)

滾子由于受到套圈的載荷作用產(chǎn)生了變形，第j個(gè)滾子的變形為

(3)

Gr=Re(θ)-di-2Dw，

式中：δj為第j個(gè)滾子與內(nèi)外圈總的彈性接觸變形；δij，δej分別為滾子與內(nèi)、外圈之間的接觸變形；hij，hej分別為彈流潤(rùn)滑下滾子與內(nèi)、外圈之間的最小油膜厚度；Gr為軸承徑向游隙；di為軸承內(nèi)圈滾道直徑；Dw為滾子直徑。

1.2 滾子與套圈之間的接觸判斷

在載荷作用和軸承零件幾何約束下，由于滾子受離心力作用，會(huì)出現(xiàn)滾子與內(nèi)圈滾道分離的現(xiàn)象。假設(shè)第j個(gè)滾子剛好與內(nèi)圈接觸，則其中心在坐標(biāo)系xeOeye中的參數(shù)方程為

(4)

式中:Fc為離心力;mr為滾子質(zhì)量；Dpw為滾子組節(jié)圓直徑；ωm為滾子和保持架的公轉(zhuǎn)速度；K為滾子與套圈接觸的載荷-變形常數(shù)。

其載荷-變形常數(shù)為

(5)

式中:l為滾子有效接觸長(zhǎng)度；E1，E2分別為兩接觸材料的彈性模量；ν1，ν2分別為兩接觸材料的泊松比。

在坐標(biāo)系xeOeye中，內(nèi)圈輪廓方程為

(6)

聯(lián)立(4)，(6)式，若有實(shí)數(shù)解，則滾子與內(nèi)圈接觸，若無(wú)實(shí)數(shù)解，則滾子與內(nèi)圈不接觸。

1.3 擬靜力學(xué)平衡方程

第j個(gè)滾子與套圈的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖2所示，ωe為外圈角速度，ωbj為滾子自轉(zhuǎn)角速度。

圖2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

第j個(gè)滾子與內(nèi)、外圈滾道的相對(duì)滑動(dòng)速度為

(7)

γ=Dw/Dpw,

第j個(gè)滾子與內(nèi)、外圈滾道接觸點(diǎn)的平均速度為

(8)

為方便計(jì)算，將(7)～(8)式量綱一化，即

(9)

式中：Ri，Re分別為滾子與內(nèi)外圈接觸處的當(dāng)量曲率半徑；E0為當(dāng)量彈性模量；η0為潤(rùn)滑油的動(dòng)力黏度。

第j個(gè)滾子受力模型如圖3所示,滾子平衡方程為

圖3 滾子受力模型

(10)

式中:Pij,Pej分別為滾子與內(nèi)、外圈滾道接觸時(shí)的流體動(dòng)壓力；Tij，Tej分別為考慮油膜作用時(shí)內(nèi)、外圈滾道對(duì)滾子的切向摩擦力；Fmj為保持架對(duì)滾子的法向作用力；fm為摩擦因數(shù)；Qij，Qej分別為內(nèi)、外圈與滾子的徑向接觸載荷；Fc為滾子離心力。

由于勻速旋轉(zhuǎn),保持架受力平衡方程為

(11)

外圈在徑向載荷Fr和滾子載荷Frj(圖1)作用下受力平衡，平衡方程為

(12)

滾子與內(nèi)、外圈滾道接觸的流體動(dòng)壓力Pij，Pej為

(13)

式中：λ為潤(rùn)滑油黏壓指數(shù)，在恒定溫度下為常數(shù)。

考慮油膜作用時(shí)內(nèi)、外圈滾道對(duì)滾子的切向摩擦力Tij，Tej為

(14)

式中：Fhij和Fhej為滾道通過(guò)油膜作用于滾子上的滑動(dòng)摩擦力。

內(nèi)、外圈與滾子之間的徑向接觸載荷Qij，Qej為

(14)

(3)，(10)，(11)，(12)式共4Z+2個(gè)未知數(shù):每個(gè)滾子有4個(gè)未知數(shù)δij，δej，ωbj，F(xiàn)mj，共計(jì)4Z個(gè)未知數(shù)，對(duì)應(yīng) (3)，(10)式共4Z組方程；還有保持架轉(zhuǎn)速ωm和外圈徑向偏移量δr這2個(gè)未知量，結(jié)合 (11)，(12)式可以通過(guò)Newton-Raphson法求解得到。

2 計(jì)算流程

1) 設(shè)定圓柱滾子軸承的相關(guān)參數(shù)，并設(shè)定徑向載荷Fr和外圈轉(zhuǎn)速ωe，把軸承幾何中心和軸承最下方滾子幾何中心都處在y軸上的情況設(shè)定為軸承的初始狀態(tài)，計(jì)算出當(dāng)前狀態(tài)下軸承外圈的徑向偏移量δr，并求得外圈滾道輪廓方程Re(θ);

2) 根據(jù)計(jì)算出的δr和Re(θ)判斷滾子與內(nèi)圈滾道是否接觸，然后計(jì)算出當(dāng)軸承處于初始狀態(tài)時(shí)每個(gè)滾子與內(nèi)、外圈之間的接觸變形量δij,δej,以及軸承零件做純滾動(dòng)時(shí)每個(gè)滾子的自轉(zhuǎn)速度ωbj和保持架轉(zhuǎn)速ωm，再根據(jù)文獻(xiàn)[9]計(jì)算出保持架與滾子間的作用力Fmj；

3) 根據(jù) (3)，(10) 式，以上一步計(jì)算得到的δij，δej，ωbj，F(xiàn)mj為初始值(共計(jì)4Z個(gè))，利用Newton-Raphson法進(jìn)行迭代，計(jì)算得到軸承運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的δij，δej，ωbj，F(xiàn)mj共計(jì)4Z個(gè)值，并更新代替上步中的值；

4) 將更新后的δij，δej，ωbj，F(xiàn)mj共計(jì)4Z個(gè)值代入 (3)，(10)，(11)，(12)式，以步驟(1),(2)中的外圈徑向偏移量δr和保持架轉(zhuǎn)速ωm為初始值，利用Newton-Raphson法進(jìn)行迭代計(jì)算，得到新的δr和ωm值；

5) 將步驟(4)中的δr，ωm與步驟(1)，(2)中的進(jìn)行對(duì)比，若|Δδr|和|Δωm|不能同時(shí)滿足給定的精度要求，則用步驟(4)中的計(jì)算結(jié)果替代步驟(1)和步驟(2)中的結(jié)果，重復(fù)步驟(2)～(4)，直至滿足精度要求；

6) 外圈以1°的步長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)，將上一個(gè)步長(zhǎng)中迭代計(jì)算得到的結(jié)果作為初始值代入當(dāng)前步長(zhǎng)的計(jì)算中，重復(fù)步驟(2)～(5)，迭代計(jì)算出當(dāng)前步長(zhǎng)下外圈的徑向偏移值δrn(n為步長(zhǎng)數(shù))，依次類推，當(dāng)滾子公轉(zhuǎn)一周，找出外圈徑向偏移量的最大值δrmax和最小值δrmin，軸承徑向跳動(dòng)值Kea=δrmax-δrmin。

3 模型驗(yàn)證

以NU209圓柱滾子軸承為例，其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：外圈滾道直徑為75 mm，內(nèi)圈滾道直徑為55 mm，滾子數(shù)量為14，滾子有效長(zhǎng)度為9 mm。套圈和滾子材料均為GCr15，材料泊松比為0.3，彈性模量為204.083 GPa。潤(rùn)滑油牌號(hào)為MIL-L-7808。徑向游隙為0.034 94 mm。

假設(shè)軸承各零件均為理想狀態(tài)，當(dāng)外圈轉(zhuǎn)速為15 000 r/min時(shí)，取軸承徑向載荷分別為1 500，2 000，3 000，4 000，5 000 N，仿真計(jì)算得到保持架公轉(zhuǎn)速度ωm。文獻(xiàn)[9]中有與上述工況條件相同的計(jì)算，其結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比見表1。由表可知，仿真與文獻(xiàn)計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差較小，在允許范圍之內(nèi)，說(shuō)明文中提出的徑向跳動(dòng)計(jì)算模型是合理的，能夠用于預(yù)測(cè)圓柱滾子軸承的旋轉(zhuǎn)精度。

表1 仿真結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比

4 仿真分析

以第3節(jié)的NU209圓柱滾子軸承為例分析，若未提及，則文中計(jì)算默認(rèn)軸承參數(shù)外圈諧波幅值Cm為1 μm，滾子數(shù)為14。

4.1 外圈滾道圓度誤差幅值對(duì)徑向跳動(dòng)的影響

在徑向載荷為5 000 N、外圈轉(zhuǎn)速為1 000 r/min的情況下,外圈滾道圓度誤差幅值對(duì)徑向跳動(dòng)的影響如圖4所示，由圖可知，隨外圈滾道圓度誤差幅值增大，徑向跳動(dòng)增大，圖4中3條曲線幾乎呈直線，說(shuō)明外圈滾道圓度誤差幅值對(duì)徑向跳動(dòng)的影響呈線性。

圖4 外圈滾道圓度誤差幅值對(duì)軸承徑向跳動(dòng)的影響

4.2 外圈滾道圓度誤差階次對(duì)徑向跳動(dòng)的影響

外圈轉(zhuǎn)速為1 000 r/min、外圈滾道圓度誤差幅值為1 μm的條件下,徑向載荷、滾子數(shù)不同時(shí)，外圈滾道圓度誤差階次對(duì)徑向跳動(dòng)的影響如圖5、圖6所示。由圖5可知，隨著外圈圓度誤差諧波階次的增加，外圈徑向跳動(dòng)呈現(xiàn)出波動(dòng)。當(dāng)軸承徑向載荷較小時(shí)，軸承徑向跳動(dòng)值隨外圈滾道圓度誤差階次的波動(dòng)越劇烈；軸承徑向載荷越大，徑向跳動(dòng)值隨圓度誤差階次波動(dòng)越平緩；隨徑向載荷增加，徑向跳動(dòng)呈減小趨勢(shì)。由圖6可知，當(dāng)諧波階次數(shù)等于滾子數(shù)時(shí)，徑向跳動(dòng)出現(xiàn)最大值。由于圖5中軸承滾子數(shù)為14個(gè)，也可驗(yàn)證這點(diǎn)。滾子數(shù)為10時(shí)諧波階次對(duì)軸承徑向跳動(dòng)的影響如圖7所示，由圖7可知隨外圈圓度誤差諧波階次增加，徑向跳動(dòng)值呈周期性變化，當(dāng)諧波階次等于滾子數(shù)的整數(shù)倍時(shí)，徑向跳動(dòng)出現(xiàn)極大值。

圖5 徑向載荷不同時(shí)諧波階次對(duì)軸承徑向跳動(dòng)的影響

圖6 滾子數(shù)不同時(shí)諧波階次對(duì)徑向跳動(dòng)的影響

圖7 滾子數(shù)為10時(shí)諧波階次對(duì)軸承徑向跳動(dòng)的影響

綜上所述，在軸承的加工過(guò)程中，為提高軸承旋轉(zhuǎn)精度，需根據(jù)軸承零件參數(shù)控制軸承套圈滾道的諧波階次。

4.3 徑向載荷對(duì)徑向跳動(dòng)的影響

在外圈轉(zhuǎn)速為1 000 r/min、外圈滾道圓度誤差幅值為1 μm、諧波階次為2的條件下，軸承徑向載荷對(duì)徑向跳動(dòng)的影響如圖8所示。從圖8可以看出，隨徑向載荷增加，徑向跳動(dòng)呈減小趨勢(shì)。

圖8 徑向載荷對(duì)徑向跳動(dòng)的影響

4.4 軸承轉(zhuǎn)速對(duì)外圈徑向跳動(dòng)的影響

在徑向載荷分別為1 500，5 000 N,外圈滾道圓度誤差幅值為1 μm，諧波階次為2的條件下，軸承轉(zhuǎn)速對(duì)徑向跳動(dòng)的影響如圖9所示。由圖可知，隨外圈轉(zhuǎn)速的增加，徑向跳動(dòng)呈增大趨勢(shì)。

圖9 軸承轉(zhuǎn)速對(duì)徑向跳動(dòng)的影響

5 結(jié)論

1) 隨外圈滾道圓度誤差幅值增大，徑向跳動(dòng)值明顯增大，且外圈滾道圓度誤差幅值對(duì)徑向跳動(dòng)的影響近似呈線性。

2) 諧波階次對(duì)軸承旋轉(zhuǎn)精度的影響比較復(fù)雜，隨外圈滾道圓度誤差諧波階次的增加，徑向跳動(dòng)值呈周期性變化，當(dāng)諧波階次數(shù)等于滾子數(shù)時(shí)，徑向跳動(dòng)出現(xiàn)最大值。

3)隨軸承徑向載荷增大，徑向跳動(dòng)減小;隨軸承轉(zhuǎn)速增加，徑向跳動(dòng)值增大。