李默,劉永葆,王強(qiáng),b

(海軍工程大學(xué) a.動(dòng)力工程學(xué)院；b.兵器工程學(xué)院，武漢 430033)

滾動(dòng)軸承因摩擦因數(shù)小，質(zhì)量輕，易于安裝和冷卻等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于船用燃?xì)廨啓C(jī)和航空發(fā)動(dòng)機(jī)等轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)提供良好的穩(wěn)定支承。但軸承變剛度振動(dòng)、非線性Hertz恢復(fù)力、徑向游隙等非線性因素會(huì)引發(fā)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為。

國(guó)內(nèi)外對(duì)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性做了大量研究。文獻(xiàn)[1]考慮軸承徑向游隙、變剛度頻率等多個(gè)非線性因素，分析了轉(zhuǎn)速對(duì)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響；文獻(xiàn)[2]建立了兩自由度轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，分析了系統(tǒng)阻尼變化對(duì)系統(tǒng)分岔、混沌的影響；文獻(xiàn)[3]建立了轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，結(jié)合Poincaré 映射圖等進(jìn)行了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性特性分析；文獻(xiàn)[4]考慮軸承波紋度等系統(tǒng)的非線性因素，分析了波紋度頻率對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響；文獻(xiàn)[5]分析了不同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的分岔、混沌等非線性動(dòng)力學(xué)特性；文獻(xiàn)[6]考慮軸承的接觸非線性和游隙非線性建立了偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析了徑向游隙對(duì)偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)影響；文獻(xiàn)[7]建立了三自由度對(duì)稱支承的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析了徑向游隙對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響；文獻(xiàn)[8]建立了單自由度剛性轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)模型，分析了徑向游隙對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)的影響；文獻(xiàn)[9]建立單自由度轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，分析軸承變剛度振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)耦合振動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響；文獻(xiàn)[10]建立單跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析了轉(zhuǎn)速、擠壓油膜間隙對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響；文獻(xiàn)[11]建立轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)有限元模型，分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)連續(xù)質(zhì)量的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響；文獻(xiàn)[12]建立了陀螺儀轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，分析了轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的阻尼剛度對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響；文獻(xiàn)[13-15]建立了偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，分析了偏置距離和徑向游隙對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響；文獻(xiàn)[16-17]建立了四支承雙跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析了軸承支承下的故障轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)特性；文獻(xiàn)[18-19]建立了三支承雙跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析了滑動(dòng)軸承支承下故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性。

上述研究對(duì)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)進(jìn)行了非線性動(dòng)力學(xué)分析，但僅針對(duì)簡(jiǎn)單的單跨單盤雙支承轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)參數(shù)單一，未根據(jù)實(shí)際轉(zhuǎn)子-軸承結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模。鑒于此，以某船用燃?xì)廨啓C(jī)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)為例，建立1套深溝球軸承和2套圓柱滾子軸承的三支承雙跨形式轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，分析支承軸承轉(zhuǎn)速和徑向游隙對(duì)系統(tǒng)非線性特性的影響。

1 滾動(dòng)軸承建模

為便于對(duì)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)進(jìn)行非線性動(dòng)力學(xué)分析，做如下假設(shè)：1)軸與軸承內(nèi)圈剛性連接；2)軸承座與軸承外圈剛性連接；3)滾動(dòng)體在滾道內(nèi)自由滾動(dòng)，不產(chǎn)生滑動(dòng)。滾動(dòng)軸承簡(jiǎn)化模型如圖1所示，圖中：O1為軸承不受載時(shí)的軸質(zhì)心；O2為軸承受載后的軸質(zhì)心；Ri為內(nèi)圈半徑；Re為外圈半徑；Gr為徑向游隙；j表示第j個(gè)滾動(dòng)體；θj為第j個(gè)滾動(dòng)體位置角。

根據(jù)幾何關(guān)系可得

(1)

式中：Z為滾動(dòng)體數(shù)量；t為運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

圖1 滾動(dòng)軸承簡(jiǎn)化模型

第j個(gè)滾動(dòng)體接觸變形量為

χj=xcosθj+ysinθj-Gr，

(2)

式中：x，y為受載后軸質(zhì)心坐標(biāo)。

接觸只能產(chǎn)生正向接觸壓力，當(dāng)χj<0時(shí)，不會(huì)產(chǎn)生壓力，僅χj>0時(shí)才會(huì)有壓力，引入Heaviside函數(shù)，即

(3)

根據(jù)Hertz接觸理論得到軸承恢復(fù)力為

(4)

式中：Fbx,Fby分別為軸承在x，y方向的恢復(fù)力；Kb為接觸剛度；Fj為第j個(gè)滾動(dòng)體所受載荷;n為載荷-變形指數(shù)，對(duì)于深溝球軸承，n=3/2，對(duì)于圓柱滾子軸承，n=10/9。

2 轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)建模

根據(jù)某船用燃?xì)廨啓C(jī)低壓轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的實(shí)際支承形式，將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)簡(jiǎn)化為三支承雙跨的三盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，如圖2所示。圖中：O為坐標(biāo)原點(diǎn)；Ob1，Ob2，Ob3分別為軸承1，2，3的形心；Op1，Op2，Op3分別為盤1，2，3的形心；Oc1，Oc2，Oc2分別盤1，2，3的質(zhì)心；e1，e2，e3分別為盤1，2，3的偏心距。A段模擬壓氣機(jī)段，由2個(gè)剛性盤模擬，分別位于壓氣機(jī)段的三等分處；B段模擬渦輪段，由一個(gè)剛性盤模擬，位于渦輪段中點(diǎn)：整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由3套軸承支承(軸承1為深溝球軸承，軸承2,3為圓柱滾子軸承)。模型考慮轉(zhuǎn)子在軸承和圓盤處的集中質(zhì)量，轉(zhuǎn)子與軸承之間采用無質(zhì)量彈性軸，忽略轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和軸向振動(dòng)，僅研究橫向振動(dòng)，每個(gè)集中質(zhì)量只考慮x，y這2個(gè)方向的自由度。

圖2 轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型

假設(shè)3個(gè)盤偏心距相同，由于主要研究軸承對(duì)系統(tǒng)非線性響應(yīng)的影響，假設(shè)壓氣機(jī)段和渦輪段轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)、材料相同，根據(jù)平面梁結(jié)構(gòu)關(guān)系得到軸段的剛度關(guān)系為：k1=k3=k/2，k2=2k，k4=k5=k,k=2.5×107N/m。根據(jù)Lagrange運(yùn)動(dòng)方程和轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)理論得到系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)微分方程組為

(5)

M=diag(mb1,mp1,mp2,mb2,mp3,mb3)，

C=diag(cb1,cp1,cp2,cb2,cp3,cb3)，

K=

Fbx=(Fbx,0,0,Fmx,0,Frx)T,

Fby=(Fby,0,0,Fmy,0,Fry)T,

X=(xb1,xp1,xp2,xb2,xp3,xb3)T,

Y=(yb1,yp1,yp2,yb2,yp3,yb3)T,

Fex=(0,mp1e1ω2cos(ωt),mp2e2ω2cos(ωt),

0,mp3e3ω2cos(ωt),0)T,

Fey=(0,mp1e1ω2sin(ωt),mp2e2ω2sin(ωt),

0,mp3e3ω2sin(ωt),0)T,

式中：M為系統(tǒng)剛度矩陣；C為系統(tǒng)阻尼矩陣；K為系統(tǒng)剛度矩陣；Fbx，F(xiàn)by為軸承恢復(fù)力矩陣；Fex，F(xiàn)ey為轉(zhuǎn)子不平衡力矩陣；g為重力加速度；mb1，mb2，mb3分別為轉(zhuǎn)子在軸承1，2，3處的集中質(zhì)量；mp1，mp2，mp3分別為轉(zhuǎn)子在盤1，2，3處的集中質(zhì)量；cb1，cb2，cb3分別為轉(zhuǎn)子在軸承1，2，3處的阻尼；cp1，cp2，cp3分別為轉(zhuǎn)子在盤1，2，3處的阻尼；Flx，F(xiàn)mx，F(xiàn)rx為軸承1，2，3恢復(fù)力的水平分量；Fly，F(xiàn)my，F(xiàn)ry為軸承1，2，3恢復(fù)力的垂直分量；ω為角速度；xb1，xb2，xb3分別為軸承1，2，3的水平位移；xp1，xp2，xp3分別為盤1，2，3的水平位移；yb1，yb2，yb3分別為軸承1，2，3的垂直位移；yp1，yp2，yp3分別為盤1， 2，3的垂直位移。

引入量綱一化參數(shù)

(6)

式中：γ是與軸承徑向游隙相當(dāng)?shù)囊粋€(gè)長(zhǎng)度量,數(shù)值選擇根據(jù)數(shù)值計(jì)算方便。

對(duì)(5)式進(jìn)行量綱一化處理可得

(7)

3 系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)分析

軸承主要結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1，轉(zhuǎn)子參數(shù)為：mb1=1.2 kg，mb2=1.2 kg，mb3=1.2 kg，mp1=2.09 kg，mp2=11.00 kg，mp3=6.00 kg，cb1=2 200 N·s/m，cb2=2 200 N·s/m，cb3=2 200 N·s/m，cp1=1 050 N·s/m，cp2=1 050 N·s/m，cp3=1 050 N·s/m，k=2.5×107N/m，e1=e2=e3=10 μm。微分方程組具有強(qiáng)非線性，故采用四階Runge-Kutta法求解。變剛度頻率fvc=frRi/(Ri+Re)(fr為軸旋轉(zhuǎn)頻率)。

表1 軸承主要結(jié)構(gòu)參數(shù)

3.1 轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響

隨轉(zhuǎn)速逐漸增大，旋轉(zhuǎn)機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生復(fù)雜變化。以轉(zhuǎn)速n為變量，分析盤1水平位移的分岔非線性特性，結(jié)果如圖3所示。由圖3可知：隨轉(zhuǎn)速增大，盤1經(jīng)歷了擬周期、單周期、擬周期、周期二、周期四、周期二和單周期運(yùn)動(dòng)過程，說明系統(tǒng)具有復(fù)雜的非線性特性。

圖3 盤1水平位移隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

在n=1 432 r/min時(shí)盤1的頻譜圖如圖4所示(頻率比λ為特征頻率與旋轉(zhuǎn)頻率的比值)，由圖可知：系統(tǒng)有3個(gè)激振頻率，1個(gè)轉(zhuǎn)速激勵(lì)頻率和2個(gè)軸承變剛度頻率。在fr，fvc1(軸承1變剛度頻率)，fvc2(軸承2,3變剛度頻率)處出現(xiàn)峰值，且變剛度頻率幅值大于旋轉(zhuǎn)頻率幅值，系統(tǒng)振動(dòng)頻率以軸承變剛度頻率為主。分析結(jié)果與文獻(xiàn)[20]一致。

圖4 在n=1 432 r/min時(shí)盤1的頻譜圖

盤1水平位移隨轉(zhuǎn)速變化的三維譜圖如圖5所示，由圖可知:隨轉(zhuǎn)速增大，盤1變剛度頻率幅值逐漸減小，旋轉(zhuǎn)頻率幅值逐漸增大，不平衡激勵(lì)為盤1的主要激勵(lì)。當(dāng)轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)小于臨界轉(zhuǎn)速(8 000 r/min)時(shí)，盤1變剛度頻率和旋轉(zhuǎn)頻率的作用差別不大，軸承變剛度頻率幅值與旋轉(zhuǎn)頻率幅值接近，且頻率不可相約，故盤1表現(xiàn)為擬周期運(yùn)動(dòng)。

圖5 盤1水平位移隨轉(zhuǎn)速變化的三維譜圖

不同轉(zhuǎn)速下盤1的龐加萊圖和頻譜圖如圖6所示，由圖可知：1)n=5 254 r/min時(shí)，龐加萊圖為一個(gè)封閉曲線，頻譜圖有多個(gè)不可相約的主要峰值；2)n=9 745 r/min時(shí)，龐加萊圖為一個(gè)點(diǎn)，頻譜圖上主要是旋轉(zhuǎn)頻率及其倍頻;3)n=14 426 r/min時(shí)，龐加萊圖為一個(gè)不規(guī)則的封閉曲線，頻譜圖上出現(xiàn)較多的低倍頻。

圖6 盤1的龐加萊圖(左)和頻譜圖(右)

隨轉(zhuǎn)速增加，不平衡激勵(lì)及其分頻越來越明顯，盤1逐漸出現(xiàn)分岔運(yùn)動(dòng)。更高的轉(zhuǎn)速下，盤1的龐加萊圖如圖7所示，由圖可知：在轉(zhuǎn)速為18 535，20 636，22 356，24 936 r/min時(shí)龐加萊圖分別為2個(gè)單點(diǎn)、4個(gè)單點(diǎn)、2個(gè)單點(diǎn)和1個(gè)單點(diǎn)，對(duì)應(yīng)盤1的周期二、周期四、周期二和單周期運(yùn)動(dòng)。

圖7 高轉(zhuǎn)速下盤1的龐加萊圖

3.2 徑向游隙對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響

3.2.1 3套軸承同時(shí)變化

轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)非線性因素主要來自軸承恢復(fù)力，體現(xiàn)為軸承載荷-變形指數(shù)和恢復(fù)力分段性。根據(jù)Hertz接觸理論，載荷-變形指數(shù)與軸承類型有關(guān),恢復(fù)力分段性由徑向游隙決定，與軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。在此分析徑向游隙同時(shí)變化對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響。

3套軸承徑向游隙相同，隨徑向游隙增大盤1水平位移的分岔圖如圖8所示，由圖可知:隨徑向游隙增大，盤1經(jīng)歷了單周期、周期二、周期四和周期二運(yùn)動(dòng)。當(dāng)徑向游隙小于6.4 μm時(shí)，盤1進(jìn)行單周期運(yùn)動(dòng)，此時(shí)徑向游隙較小，軸承恢復(fù)力非線性比較弱，軸承恢復(fù)力對(duì)系統(tǒng)非線性運(yùn)動(dòng)影響較??；徑向游隙為6.4～11.1 μm時(shí)，盤1進(jìn)行周期二運(yùn)動(dòng)，徑向游隙增大使盤1發(fā)生倍周期分岔；徑向游隙為11.1～ 25.9 μm時(shí)，盤1進(jìn)行周期四運(yùn)動(dòng)；最后進(jìn)行周期二運(yùn)動(dòng)。

圖8 隨徑向游隙增大盤1水平位移的分岔圖

不同徑向游隙時(shí)盤1水平位移的相圖如圖9所示，由圖可知： 當(dāng)徑向游隙為5 μm，相圖為一個(gè)封閉曲線；當(dāng)徑向游隙為8 μm，相圖為2個(gè)封閉曲線；當(dāng)徑向游隙為20 μm時(shí)，相圖為4個(gè)封閉曲線；當(dāng)徑向游隙為28 μm時(shí)，相圖為2個(gè)封閉曲線。不同徑向游隙時(shí)盤1的龐加萊圖如圖10所示，由圖可知：當(dāng)徑向游隙為5 μm時(shí)，龐加萊圖為孤立的點(diǎn)；當(dāng)徑向游隙為8 μm時(shí)，龐加萊圖為2個(gè)孤立的點(diǎn)；當(dāng)徑向游隙為20 μm時(shí)，龐加萊圖為4個(gè)孤立的點(diǎn)；當(dāng)徑向游隙為28 μm，龐加萊圖又是2個(gè)孤立的點(diǎn)；分析結(jié)果與盤1的水平位移分岔圖對(duì)應(yīng)。

圖9 不同徑向游隙時(shí)盤1的相圖

圖10 不同徑向游隙時(shí)盤1的龐加萊圖

3.2.2 單套軸承徑向游隙變化

在實(shí)際工作過程中，由于系統(tǒng)質(zhì)量沿軸向分布不均或由于潤(rùn)滑不足等原因，滾動(dòng)體與內(nèi)、外滾道接觸而磨損,會(huì)使軸承徑向游隙發(fā)生較大的變化，偏離了原始設(shè)計(jì)值。根據(jù)某船用燃?xì)廨啓C(jī)實(shí)際工況，渦輪處軸承工作在高溫環(huán)境中時(shí)，軸承徑向游隙變化較大，在此分析右端軸承(軸承3)徑向游隙變化對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響。

隨軸承3徑向游隙變化，盤1水平位移的分岔圖如圖11所示。由圖可知：當(dāng)徑向游隙小于2.2 μm時(shí)，盤1進(jìn)行單周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)徑向游隙超過2.2 μm時(shí)，盤1通過倍周期分岔進(jìn)入周期二運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，且大范圍游隙內(nèi)盤1進(jìn)行周期二運(yùn)動(dòng)。

圖11 盤1水平位移隨軸承3徑向游隙變化的分岔圖

軸承3不同徑向游隙時(shí)盤1的相圖和龐加萊截面圖如圖12所示，由圖可知:1)徑向游隙為2 μm時(shí)，盤1相圖只有一個(gè)封閉的圓形，龐加萊圖上只有一個(gè)孤立的單點(diǎn)，充分說明了此時(shí)盤1處于單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；2)徑向游隙為20 μm時(shí)，盤1的相圖有2個(gè)互相交叉的封閉圓形，龐加萊圖有2個(gè)孤立的點(diǎn)，說明此時(shí)盤1處于周期二運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖12 軸承3不同徑向游隙時(shí)盤1的相圖和龐加萊圖

4 結(jié)論

以某船用燃?xì)廨啓C(jī)為研究對(duì)象，建立了三支承雙跨三盤滾動(dòng)軸承支承動(dòng)力學(xué)模型，分析了轉(zhuǎn)速、徑向游隙對(duì)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響，得出以下結(jié)論：

1)隨轉(zhuǎn)速增大，軸承變剛度影響變?nèi)?，系統(tǒng)主要表現(xiàn)為轉(zhuǎn)頻的倍頻和分頻運(yùn)動(dòng)，出現(xiàn)擬周期、單周期、周期二、周期四等復(fù)雜非線性運(yùn)動(dòng)。

2)3套軸承徑向游隙同時(shí)增大時(shí)，系統(tǒng)通過倍周期分岔途徑運(yùn)動(dòng)，且軸承徑向游隙越大，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)越復(fù)雜，當(dāng)徑向游隙超過一定范圍，由于游隙過大，滾動(dòng)體與內(nèi)外圈接觸不充分，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期二運(yùn)動(dòng)。在軸承設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)根據(jù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)工作環(huán)境溫度、載荷等，控制軸承徑向游隙小于6.4 μm，保證轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

3)由于轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)右端軸承徑向游隙增大，系統(tǒng)通過倍周期分岔途徑由單周期過渡到周期二運(yùn)動(dòng)，該非線性特性可作為右端軸承徑向游隙增大的判斷依據(jù)，為軸承故障診斷提供理論依據(jù)。