苗奪謙，胡聲丹

(1.同濟(jì)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系，上海 201804； 2.同濟(jì)大學(xué) 嵌入式系統(tǒng)與服務(wù)計(jì)算教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 201804)

不確定性(uncertainty)是自然界普遍存在的現(xiàn)象,如：玻爾曾指出“不確定性和模糊性是量子世界所固有的”;美籍?dāng)?shù)學(xué)家曼德博針對(duì)“英國(guó)海岸線(xiàn)有多長(zhǎng)”這一問(wèn)題,給出的答案是“不確定的”;美國(guó)氣象學(xué)家洛侖茲總結(jié)提出“蝴蝶效應(yīng)”以說(shuō)明系統(tǒng)對(duì)初值的敏感性;德國(guó)物理學(xué)家海森堡提出的“不確定性原理”等。

不確定性也是人類(lèi)認(rèn)知過(guò)程中普遍存在的現(xiàn)象,當(dāng)人們用概念、符號(hào)、語(yǔ)言、模型等來(lái)描述客觀世界時(shí),獲得的認(rèn)知具有不完備性或模糊性。同時(shí),不同認(rèn)知主體受生活經(jīng)歷、知識(shí)水平、價(jià)值觀念、思維方式、興趣愛(ài)好等諸多因素的影響,其認(rèn)知結(jié)構(gòu)是不同的,所以在感受、認(rèn)知的過(guò)程中,對(duì)同一事物的認(rèn)知是存在差異的。

作為計(jì)算機(jī)科學(xué)的前沿領(lǐng)域,人工智能目標(biāo)之一是使機(jī)器具有人類(lèi)的智能,并能像人類(lèi)一樣對(duì)客觀世界進(jìn)行感知、認(rèn)知、推理及決策。然而,客觀系統(tǒng)存在隨機(jī)性,人類(lèi)認(rèn)知存在模糊性,并且現(xiàn)有知識(shí)常常是不完整、不一致的,這一切都要求人工智能對(duì)不確定性問(wèn)題展開(kāi)深入研究,探索其度量、推理和決策的方法[1]。人工智能領(lǐng)域多年來(lái)對(duì)不確定性問(wèn)題的探索推動(dòng)了粒計(jì)算理論的興起和發(fā)展。粒計(jì)算是一種新的計(jì)算范式,它以多粒度的表示、問(wèn)題求解方法、信息處理模式等為研究對(duì)象,屬于人類(lèi)較高層次認(rèn)知機(jī)理研究的范疇[2]。由于其抽象了人類(lèi)以多層次、多視角處理問(wèn)題時(shí)所表現(xiàn)出全局觀和近似求解能力,粒計(jì)算逐漸成為不確定性問(wèn)題求解的重要理論。在過(guò)去的30年中先后涌現(xiàn)出基于模糊集[3]的詞計(jì)算[4]、粗糙集[5]、商空間[6]、云模型[1]等經(jīng)典粒計(jì)算理論模型,粒計(jì)算的應(yīng)用領(lǐng)域包括大數(shù)據(jù)分析與挖掘、知識(shí)發(fā)現(xiàn)、模式識(shí)別、聚類(lèi)分析、復(fù)雜問(wèn)題求解等。

1 粒計(jì)算理論

1.1 粒計(jì)算的發(fā)展歷程

美國(guó)數(shù)學(xué)家、控制論專(zhuān)家L.A.Zadeh教授指出，Cantor集合論為了達(dá)到精確和嚴(yán)格的目的,將思維過(guò)程絕對(duì)化,而現(xiàn)實(shí)世界中復(fù)雜事物不可能絕對(duì)精確,存在著大量模糊現(xiàn)象。于是在1965年提出模糊集合論,其主要思想是使用“隸屬函數(shù)”對(duì)“屬于”或“不屬于”之間的過(guò)渡狀態(tài)進(jìn)行量化,對(duì)經(jīng)典集合論進(jìn)行推廣。

在模糊集的基礎(chǔ)上,Zadeh于1979年首次提出并討論了模糊信息粒度化問(wèn)題[7]。他認(rèn)為，信息粒的概念存在于很多領(lǐng)域中,如自動(dòng)機(jī)與系統(tǒng)論中的“分解與劃分”、區(qū)間分析里的“區(qū)間數(shù)運(yùn)算”等。美國(guó)Stanford大學(xué)J.R. Hobbs教授于1985年,發(fā)表了題為“Granularity”的論文[8],討論了粒的分解與合并,提出了產(chǎn)生不同大小粒的模型和方法。1996年,T.Y. Lin教授在加州大學(xué)伯克利分校訪問(wèn)時(shí),向Zadeh提出了“Granular Computing”(粒計(jì)算,縮寫(xiě)為GrC)的研究,至此,粒計(jì)算一詞正式誕生。隨后,他發(fā)表了關(guān)于粒計(jì)算的論文[9],討論了二元關(guān)系下的粒計(jì)算模型,論述了粒結(jié)構(gòu)、粒表示、粒應(yīng)用等方面的問(wèn)題。1996年,Zadeh提出“詞計(jì)算理論”[4],標(biāo)志著模糊粒度化理論的誕生。在Lin的工作基礎(chǔ)上,加拿大里賈納大學(xué)的Y. Y. Yao教授于1999年提出了基于鄰域系統(tǒng)的粒度計(jì)算模型,對(duì)粒度計(jì)算進(jìn)行了研究[10],并將它應(yīng)用于知識(shí)挖掘等領(lǐng)域,建立概念之間的IF-THEN規(guī)則與粒度集合之間的包含關(guān)系,提出利用由所有劃分構(gòu)成的格求解一致分類(lèi)問(wèn)題,為知識(shí)挖掘提供了新方法和視角。

在國(guó)內(nèi),張鈸院士和張鈴教授于1990年提出了基于商空間的粒度計(jì)算模型[6]。商空間理論用商集表示不同的粒度層次,建立不同粒度世界之間的保真、保假原理。該理論通過(guò)觀察當(dāng)前粒度空間是否可解,來(lái)決定是否進(jìn)入更細(xì)、更深的粒度空間,將不同粗細(xì)的粒世界上的粒的解組合成原問(wèn)題的解,并提出一種商粒度空間上的多粒度表示法,構(gòu)建多粒度的分層遞階商空間結(jié)構(gòu)。20世紀(jì)末,李德毅院士在概率論和模糊數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上,提出了云模型,通過(guò)賦予樣本點(diǎn)以隨機(jī)確定度來(lái)統(tǒng)一刻畫(huà)概念中的隨機(jī)性、模糊性及其關(guān)聯(lián)性?；谠颇Ｐ偷脑谱儞Q可以實(shí)現(xiàn)不同粒度層次上概念的合成和分解,是一種可變粒計(jì)算[1]。進(jìn)入21世紀(jì)后,粒計(jì)算的研究在國(guó)內(nèi)受到越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注。劉清教授在他的專(zhuān)著中闡述了信息粒度及其計(jì)算,并將粒度計(jì)算的方法成功應(yīng)用于醫(yī)療診斷專(zhuān)家系統(tǒng)[11];苗奪謙教授在研究粗糙集理論時(shí)引入信息論,開(kāi)創(chuàng)性研究了知識(shí)的信息表示與信息度量,提出了知識(shí)的信息熵、條件熵和互信息等概念,分析討論了知識(shí)的不確定性(粗糙性)與信息熵之間的關(guān)系[12-14],并用粒計(jì)算的概念闡述了對(duì)不確定性的研究[15];王國(guó)胤教授等探討了模糊集、粗糙集、商空間理論模型及其他擴(kuò)展粒計(jì)算模型中知識(shí)的不確定問(wèn)題[16];梁吉業(yè)教授等研究了信息系統(tǒng)中信息粒的刻畫(huà)和表示,建立了信息粒度與熵之間的互補(bǔ)關(guān)系[17];吳偉志教授等討論了概念格中的粒度結(jié)構(gòu),并應(yīng)用到形式概念分析中[18]。近年來(lái),國(guó)內(nèi)學(xué)者張燕平[19]、錢(qián)宇華[20]、李天瑞[21]、張賢勇[22]等關(guān)于粒計(jì)算研究的論文相繼發(fā)表。

1.2 粒計(jì)算主要模型

張鈸院士、張鈴教授指出“人類(lèi)智能的一個(gè)公認(rèn)特點(diǎn),就是人們能從極不相同的粒度上觀察和分析同一問(wèn)題。人們不僅能在不同的粒度世界上進(jìn)行問(wèn)題的求解,而且能夠很快地從一個(gè)粒度世界跳到另一個(gè)粒度世界,往返自如,毫無(wú)困難”[6]。粒計(jì)算正是反映了人類(lèi)這種多層次、多視角的處理問(wèn)題方式,逐漸成為不確定性問(wèn)題求解的重要理論。粒計(jì)算的基本模型如圖1所示,包括粒結(jié)構(gòu)、粒層、粒子三部分,從不同視角看待問(wèn)題可以構(gòu)建不同的粒結(jié)構(gòu),一個(gè)粒結(jié)構(gòu)由多個(gè)粒層構(gòu)成,每個(gè)粒層又由多個(gè)粒子構(gòu)成,不同粒層的粒子可以通過(guò)粗化或細(xì)化進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

圖1 粒計(jì)算基本模型Fig.1 A basic model of granular computing

粒計(jì)算理論的代表模型有模糊集、粗糙集、商空間、三支決策和云模型等。其中,基于模糊集的詞計(jì)算模型側(cè)重于信息的模糊?；?以處理計(jì)算對(duì)象的不確定性為主要目標(biāo),而粗糙集、商空間、三支決策、云模型則側(cè)重于不同粒度上復(fù)雜問(wèn)題的不確定性,以復(fù)雜問(wèn)題的多粒度計(jì)算為主要目標(biāo)。

1)模糊集模型

模糊集合論是通過(guò)計(jì)算對(duì)象關(guān)于集合的隸屬程度來(lái)近似描述不確定性,反映了集合邊界的不分明性。

經(jīng)典模糊集(也稱(chēng)為一型模糊集)中隸屬度μA(x)(0≤μA(x)≤1)反應(yīng)了對(duì)象x屬于模糊集A的程度。隸屬度越小,說(shuō)明x屬于A的程度越低;隸屬度越大,說(shuō)明x屬于A的程度越高。當(dāng)μA(x)={0,1}時(shí),模糊集退化為經(jīng)典的精確集。該模型中隸屬度值是精確唯一的,后續(xù)研究中出現(xiàn)了對(duì)經(jīng)典模糊集的各種擴(kuò)展模型,如區(qū)間值模糊集、直覺(jué)模糊集、二型模糊集、Vague集、勾股模糊集等。

對(duì)信息的模糊粒化,使得計(jì)算機(jī)能夠在不精確以及部分精確的環(huán)境下給出合理的決策成為可能。隨著模糊集理論的不斷發(fā)展完善,以模糊邏輯和信息粒化為基礎(chǔ)的模糊信息?；碚撃苓M(jìn)一步發(fā)展,并為詞計(jì)算的發(fā)展提供了前提條件。

2)粗糙集模型

粗糙集理論[5]由波蘭科學(xué)院院士Pawlak于1982年提出,它是一種處理不精確、不一致和不確定性知識(shí)的數(shù)學(xué)工具。粗糙集模型的基本思想是利用不可分辨關(guān)系(等價(jià)關(guān)系)構(gòu)成對(duì)象的等價(jià)類(lèi),所有的等價(jià)類(lèi)構(gòu)成論域的劃分,從而建立一個(gè)近似空間。對(duì)于任意概念(集合),可以利用近似空間中的一對(duì)精確概念(集合)(下近似集和上近似集)來(lái)表示,從而建立概念(集合)的邊界定義。

定義1設(shè)信息系統(tǒng)IS=(U,A,V,f)中,對(duì)?X?U,R?A,概念X關(guān)于知識(shí)R的下近似和上近似分別定義為:

則X的R正域、負(fù)域和邊界域分別為:

即X的R正域由那些根據(jù)知識(shí)R判斷肯定屬于X的元素組成;負(fù)域由那些根據(jù)知識(shí)R判斷肯定不屬于X的元素組成;邊界域由那些根據(jù)知識(shí)R既不能判斷肯定屬于X、又不能判斷肯定不屬于X的元素組成。

經(jīng)典粗糙集模型定義在等價(jià)關(guān)系的基礎(chǔ)之上,針對(duì)只包含符號(hào)型數(shù)據(jù)的完備信息系統(tǒng),使用精確的集合進(jìn)行概念的表示及知識(shí)的獲取。但在實(shí)際問(wèn)題求解過(guò)程中,等價(jià)關(guān)系、符號(hào)數(shù)據(jù)、完備系統(tǒng)、精確的上下近似集等要求過(guò)于嚴(yán)苛,眾多學(xué)者對(duì)經(jīng)典粗糙集進(jìn)行擴(kuò)展,提出了適應(yīng)不同問(wèn)題的擴(kuò)展粗糙集模型,包括粗糙模糊集和模糊粗糙集[23],層次粗糙集[24]、多粒度粗糙集[20]、多尺度粗糙集[25]等。

3)商空間模型

我國(guó)學(xué)者張鈸院士和張玲教授在研究問(wèn)題求解時(shí),獨(dú)立地提出了商空間理論[6],將不同的粒度世界與數(shù)學(xué)上的商集概念統(tǒng)一起來(lái)。根據(jù)研究目的的不同,商空間理論對(duì)同一問(wèn)題可以構(gòu)造不同的商空間,從而得到原問(wèn)題不同角度、不同層次的解,最后綜合這些解構(gòu)成原問(wèn)題的解。

商空間理論中,由等價(jià)關(guān)系產(chǎn)生論域X的不同商集[X]及其對(duì)應(yīng)的商空間([X],[f],[T])構(gòu)成了原問(wèn)題(X,f,T)的不同粒度世界。分層遞階商空間鏈可以表示問(wèn)題的不同粒度空間,利用商空間的保真、保假原理,建立不同粒度空間之間的聯(lián)系,在不同的粒度世界上進(jìn)行推理,從而簡(jiǎn)化問(wèn)題和加快問(wèn)題求解的速度。

對(duì)商空間理論進(jìn)行的推廣,包括引入模糊等價(jià)關(guān)系[26]、模糊相容關(guān)系[27]等。

4)三支決策模型

三支決策是在傳統(tǒng)的“接受”、“拒絕”二支決策選項(xiàng)基礎(chǔ)上加入“不承諾”選項(xiàng),可以有效地規(guī)避對(duì)象認(rèn)知不確定情況下誤接受或誤拒絕所造成的損失。同時(shí),對(duì)不承諾項(xiàng)的再研究,可細(xì)化對(duì)決策對(duì)象的認(rèn)知粒度,進(jìn)而提高決策的準(zhǔn)確性[28]。

加拿大學(xué)者Y. Y. Yao教授將三支決策思想引入到概率粗糙集中,提出決策粗糙集模型,該模型使用一對(duì)閾值(α,β)(0≤β<α≤1)來(lái)決定正域、負(fù)域和邊界域,并將正域、負(fù)域和邊界域分別解釋為接受、拒絕和不承諾3種決策。其中,閾值的選取是關(guān)鍵,可以由損失函數(shù)λ決定,而λ的大小由實(shí)驗(yàn)或?qū)＜医o出。

近年來(lái),越來(lái)越多的學(xué)者研究和拓展了三支決策理論、方法,并將其應(yīng)用到多個(gè)研究領(lǐng)域,如三支決策空間[29]、決策規(guī)則沖突[30]、流計(jì)算[31]、屬性約簡(jiǎn)[32]、情感分類(lèi)[33]等。

5)云模型

云模型是由我國(guó)學(xué)者李德毅院士在概率論和模糊數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上,提出的定性定量轉(zhuǎn)換的認(rèn)知模型[1],它可以實(shí)現(xiàn)定性概念與定量數(shù)值之間的雙向轉(zhuǎn)換。云模型通過(guò)賦予樣本點(diǎn)隨機(jī)確定度來(lái)統(tǒng)一刻畫(huà)概念的隨機(jī)性、模糊性及其關(guān)聯(lián)性,利用期望、熵、超熵3個(gè)數(shù)字特征來(lái)整體表征一個(gè)定性概念,并通過(guò)正向云發(fā)生器、逆向云發(fā)生器算法形成定性概念與其定量表示之間的不確定性轉(zhuǎn)換。

云模型中云滴x對(duì)定性概念C的確定度μ(x)是具有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù),是論域U到區(qū)間[0,1]上的概率分布,而不是一個(gè)固定的數(shù)值。云滴的確定度可以理解為云滴能夠代表該定性概念的程度。云滴出現(xiàn)的概率越大,云滴的確定度越大,則云滴對(duì)概念的貢獻(xiàn)越大。

云變換是通過(guò)高斯混合模型和逆向云發(fā)生器,對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分布進(jìn)行擬合,抽取形成不同粒度的多個(gè)概念,隨著粒度的提升,細(xì)粒度的概念可以通過(guò)概念爬升形成新的更大粒度的概念?；谠颇Ｐ偷牧Ｓ?jì)算本質(zhì)上是基于概率統(tǒng)計(jì)的方法實(shí)現(xiàn)粒計(jì)算和可變粒計(jì)算。

2 粒計(jì)算理論與不確定性分析

對(duì)不確定性問(wèn)題的研究,主要包括不確定性問(wèn)題的描述、不確定性的度量、不確定性推理等。針對(duì)模糊集、粗糙集、商空間、三支決策、云模型5個(gè)粒計(jì)算理論模型,不確定性研究的主要內(nèi)容概括起來(lái)如表1所示。

表1 粒計(jì)算主要模型與不確定性研究?jī)?nèi)容Tab.1 Research contents in some granular computing models

其中,在粗糙集理論中,將知識(shí)視為關(guān)于論域的劃分,且知識(shí)是有粒度的。概念的不確定性用概念相對(duì)于知識(shí)的上下近似集合來(lái)描述;對(duì)概念、知識(shí)的不確定性度量方式有代數(shù)方法下定義的精度[34]:

粗糙度[34]:

ρR(X)=1-αR(X),

信息方法下定義的粗糙熵[35]:

知識(shí)Q相對(duì)于知識(shí)P的條件熵[13]:

H(Q|P)=

互信息[13]:

I(P;Q)=H(Q)-H(Q|P),

互補(bǔ)熵[36]、Rough熵[36]等;使用從條件集到?jīng)Q策集的IF-THEN規(guī)則進(jìn)行不確定性推理,以獲取知識(shí)。

3 基于粗糙集模型的不確定性分析

粒計(jì)算研究?jī)?nèi)容主要包括：?jiǎn)栴}的?；?即如何構(gòu)建粒的結(jié)構(gòu);粒的度量,即如何衡量粒子的“大小”或“粗細(xì)”;粒算子,即基于粒與粒之間的關(guān)系,如何構(gòu)造粒的運(yùn)算、粒的轉(zhuǎn)換等[2]。在粗糙集背景下,從粒的表示、粒的度量、粒的關(guān)系及轉(zhuǎn)換、屬性約簡(jiǎn)與規(guī)則提取等方面分析不確定性。

3.1 多粒度

經(jīng)典粗糙集理論中,論域中的任意概念可以用等價(jià)類(lèi)[x]R近似表示,每個(gè)等價(jià)類(lèi)被看成一個(gè)知識(shí)粒,粒內(nèi)部的各元素間具有不可分辨關(guān)系,所有的知識(shí)粒形成論域的一個(gè)劃分。使用一個(gè)屬性集對(duì)全域進(jìn)行等價(jià)劃分形成信息粒,由這些信息粒構(gòu)成的模型被稱(chēng)為單粒度粗糙集模型。

以單粒度粗糙集模型為基礎(chǔ)的多粒度粗糙集模型可以發(fā)掘不同粒度之間的關(guān)系,對(duì)單粒度的信息進(jìn)行融合,進(jìn)而在多粒度下進(jìn)行約簡(jiǎn)與知識(shí)獲取,引起了眾多學(xué)者的關(guān)注。其中苗奪謙、馮琴榮等[24]在分析人類(lèi)先驗(yàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化特點(diǎn)之后,從屬性值域出發(fā),將每個(gè)屬性擴(kuò)展成一個(gè)概念層次樹(shù),提出了一個(gè)粗糙集的擴(kuò)展模型,即層次粗糙集模型,并應(yīng)用于層次決策規(guī)則挖掘。基于層次粗糙集模型,錢(qián)進(jìn)[37]等提出了大數(shù)據(jù)下層次決策規(guī)則并行計(jì)算模型,用于大數(shù)據(jù)背景下不同層次決策規(guī)則的挖掘。苗奪謙、張賢勇等[22]提出雙量化粗糙集模型,對(duì)概率粗糙集和程度粗糙集進(jìn)行了擴(kuò)展,并從粒計(jì)算角度分析了4種剖分區(qū)域的特點(diǎn),研究了基于邏輯或的雙量化粗糙集模型的屬性約簡(jiǎn)、基于重要度準(zhǔn)確率的粒構(gòu)造和屬性約簡(jiǎn)[38]。錢(qián)宇華等[20]分析了在多源信息系統(tǒng)、高維特征數(shù)據(jù)集、多智能體等應(yīng)用中單粒度粗糙數(shù)據(jù)分析方法的局限性,提出了基于“求同存異”策略的樂(lè)觀多粒度粗糙集和基于“求同排異”策略的悲觀多粒度粗糙集,苗奪謙、劉財(cái)輝等提出了多粒度覆蓋粗糙集[39]、多粒度覆蓋粗糙模糊集[40]。此外,典型的多粒度粗糙集模型還有吳偉志等提出的多尺度粗糙集[25]。

3.2 粒的度量

粗糙集理論中,等價(jià)類(lèi)是信息系統(tǒng)的基本知識(shí)粒,知識(shí)粒度是知識(shí)粒的一種平均度量,反映了知識(shí)的分類(lèi)能力,粒度越細(xì),分類(lèi)能力越強(qiáng)。苗奪謙、范世棟等[15]給出了知識(shí)庫(kù)中知識(shí)粒的度量,并從知識(shí)粒度:

知識(shí)分辨度:

Dis(R)=1-GD(R),

知識(shí)熵:

的關(guān)系上研究了粗糙集的不確定性。馮琴榮、苗奪謙等在文獻(xiàn)[41]中定義了知識(shí)的劃分粒度

來(lái)度量知識(shí)的分類(lèi)能力。

不同粒層的知識(shí)粒度之間存在粗細(xì)關(guān)系,知識(shí)粒度隨知識(shí)劃分能力的增強(qiáng)而減小,而同一粒層下知識(shí)的分辨能力與粒度存在互補(bǔ)關(guān)系,而知識(shí)熵隨知識(shí)粒度的減小而單調(diào)遞增。事實(shí)上,知識(shí)的劃分粒度可以看成是期望粒度,是對(duì)知識(shí)導(dǎo)出的劃分中各劃分?！捌骄遍L(zhǎng)度的一種度量,它的值越小,表明劃分粒的平均長(zhǎng)度越短,論域中劃分粒的個(gè)數(shù)就越多,即該知識(shí)能區(qū)分開(kāi)的對(duì)象就越多,因此分類(lèi)能力也就越強(qiáng),不確定性越小。

關(guān)于知識(shí)粒度,劉財(cái)輝等在文獻(xiàn)[42]中對(duì)幾種度量方法進(jìn)行了比較研究,詳細(xì)分析了它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。

3.3 粒的關(guān)系

粗糙集模型中,從不同角度、不同層次看待對(duì)象集、屬性集、屬性值集,能形成不同的粒結(jié)構(gòu)、粒層及粒子,不同層的粒子之間存在粗細(xì)關(guān)系。

1)屬性集變化與粒度的關(guān)系

定義2設(shè)P,Q是論域U上的兩個(gè)等價(jià)關(guān)系,且U/P={X1,X2,…,Xn},U/Q={Y1,Y2,…,Ym},如果對(duì)任意Xi∈P,存在Yj∈Q,使得Xi?Yj,稱(chēng)U/P是比U/Q更細(xì)的劃分,記為P?Q。

若P?Q,則有GD(P)≤GD(Q),Dis(P)≥Dis(Q),H(P)≥H(Q),E(P)≤E(Q)成立。

通過(guò)改變屬性集中屬性的個(gè)數(shù)也會(huì)引起粒度的變化,若屬性集P，Q滿(mǎn)足P?Q,即在屬性集P上增加屬性得到屬性集Q,則由知識(shí)Q形成的劃分更細(xì),劃分空間中的粒子個(gè)數(shù)增加,粒子變細(xì),知識(shí)粒度變小,即GD(P)≥GD(Q)成立。

以UCI數(shù)據(jù)集Molecular Biology (Splice)(3190個(gè)對(duì)象,60個(gè)條件屬性)為例,當(dāng)屬性集R屬性編號(hào)分別為{1},{1,2},…，{1,2,…,10}時(shí),知識(shí)劃分的不確定性與屬性集之間的變化關(guān)系如圖2所示,即說(shuō)明了隨著屬性集R屬性的增加,知識(shí)的劃分越細(xì),粒子越細(xì),知識(shí)粒度GD(R)越小,分辨度Dis(R)越大,知識(shí)熵H(R)越大,知識(shí)的劃分粒度E(R)越小,不確定程度越小。

圖2 屬性集屬性個(gè)數(shù)與知識(shí)劃分不確定性Fig.2 Relations between the number of attributes and uncertainty of knowlege

2)屬性值變化與粒度的關(guān)系

層次粗糙集模型[24]中,屬性在不同概念層具有不同的值域,屬性值域的變化也會(huì)引起粒度的變化。

針對(duì)文獻(xiàn)[24]數(shù)據(jù)表,選取屬性集R={education-level},基于屬性集的不同概念層,數(shù)據(jù)的劃分U/R及不確性度量結(jié)果如表2所示。

表2 屬性集概念層與知識(shí)劃分不確定性Tab.2 Relations between the concept hierarchies of attributes and uncertainty of knowledge

從表2可以看出,對(duì)于某個(gè)屬性集,其值域越細(xì),該概念層對(duì)應(yīng)的等價(jià)關(guān)系劃分能力越強(qiáng),粒子越細(xì),知識(shí)粒度越小,不確定性越小。

3.4 知識(shí)約簡(jiǎn)與規(guī)則提取

粗糙集理論的一個(gè)重要任務(wù)是在決策表中獲取知識(shí),而這種知識(shí)通常是用規(guī)則形式表示的,決策表的每一行即確定一條決策規(guī)則,而利用決策表信息提取規(guī)則并進(jìn)行智能處理之前,需要利用某一標(biāo)準(zhǔn)對(duì)信息系統(tǒng)進(jìn)行知識(shí)約簡(jiǎn)[43]。

知識(shí)約簡(jiǎn)是指刪除條件屬性集中冗余的屬性或?qū)傩灾岛?能保持原始決策表?xiàng)l件屬性與決策屬性之間的依賴(lài)關(guān)系,即約簡(jiǎn)后的屬性子集是對(duì)論域的劃分空間保持不變的前提下的最粗劃分。約簡(jiǎn)算法可以通過(guò)刪除冗余屬性或添加重要屬性進(jìn)行,其中添加屬性的方式是從信息系統(tǒng)的核開(kāi)始,按照一定的啟發(fā)信息獲取屬性約簡(jiǎn)[44]。

從粒計(jì)算的角度看,條件屬性的增加或刪除會(huì)改變?？臻g的知識(shí)粒度,刪除屬性時(shí)知識(shí)粒度會(huì)增大,而添加屬性時(shí)知識(shí)粒度會(huì)減小,如圖3所示。屬性約簡(jiǎn)的過(guò)程本質(zhì)上是根據(jù)知識(shí)的變化不斷改變粒層和粒子結(jié)構(gòu)的過(guò)程,直至得到?jīng)Q策劃分空間U/D的最大近似劃分。

圖3 粒層與屬性集變化關(guān)系Fig.3 Relations between granule level and attributes

決策表中,可以從不同粒層上提取規(guī)則,由于粒度的不確定性會(huì)引起決策規(guī)則的不確定。決策規(guī)則C→xD不確定性即反映所表達(dá)知識(shí)的真實(shí)性,其度量方式有確定性因子Cer(C→xD)和覆蓋因子Cov(C→xD)[45]。

4 結(jié) 語(yǔ)

不確定性是一種普遍存在的現(xiàn)象,廣泛存在于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域。粒計(jì)算是一種新的計(jì)算范式,是研究基于多層次粒結(jié)構(gòu)的思維方式、問(wèn)題求解方法、信息處理模式及其相關(guān)理論、技術(shù)和工具的學(xué)科,由于其反應(yīng)了人類(lèi)處理具有多層次、多視角問(wèn)題時(shí)體現(xiàn)的全局觀和近似求解能力,粒計(jì)算逐漸成為不確定性問(wèn)題求解的重要理論。

雖然粒計(jì)算針對(duì)不確定性問(wèn)題在理論模型、應(yīng)用方面取得了大量研究成果,但還存在以下問(wèn)題有待深入研究:能否或者如何整合模糊集、粗糙集、商空間、云模型等模型的優(yōu)點(diǎn),構(gòu)建統(tǒng)一的粒計(jì)算模型?針對(duì)問(wèn)題空間,如何構(gòu)建合理的粒結(jié)構(gòu)、粒層、粒子,并在問(wèn)題求解時(shí),在多粒度空間下選取最合適的粒度?不同粒層的粒子轉(zhuǎn)換算子如何構(gòu)造,以及粒轉(zhuǎn)換過(guò)程中的不確定性如何度量?