鄒淇煬， 張澤田， 高 慰

(西南交通大學(xué)橋梁工程系，四川成都 610031)

為探究車輛以及橋梁在側(cè)風(fēng)作用下的動(dòng)力響應(yīng)，首先需要模擬作用于橋上以及列車車輛上的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程。Shinozuka[1]等首先將譜解法應(yīng)用于風(fēng)場(chǎng)模擬。Cooper[2]指出，基于泰勒湍流凍結(jié)假定與各向同性湍流假定，可以由固定點(diǎn)的脈動(dòng)風(fēng)速譜推導(dǎo)得到移動(dòng)列車的脈動(dòng)風(fēng)速譜。吳夢(mèng)雪[3]、李小珍、肖軍等人[4]對(duì)該方法進(jìn)行了改進(jìn)，通過(guò)維納辛欽定理，分別得到了半解析與全解析的移動(dòng)列車脈動(dòng)風(fēng)速譜模型。該脈動(dòng)風(fēng)速譜模型可以考慮列車速度與風(fēng)速比以及來(lái)流風(fēng)向角對(duì)于移動(dòng)列車脈動(dòng)風(fēng)速譜的影響。通過(guò)單變量隨機(jī)過(guò)程模擬，可以快速得到移動(dòng)列車的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程。

在模擬橋上固定點(diǎn)以及移動(dòng)列車的脈動(dòng)風(fēng)速場(chǎng)時(shí)，需要考慮模擬點(diǎn)之間在空間以及頻率上的相關(guān)性。該相關(guān)性可以由相干函數(shù)進(jìn)行刻畫(huà)。目前，工程上常用的相干函數(shù)模型為Davenport提出的指數(shù)形勢(shì)下的模型。

事實(shí)上，由于該模型中的衰減系數(shù)為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，其取值并不固定。本文主要探討采用不同的衰減系數(shù)取值，對(duì)于移動(dòng)列車的脈動(dòng)風(fēng)速譜的而影響。

1 諧波合成法

1.1 譜解法

(1)

互譜函數(shù)與自譜函數(shù)有如下關(guān)系：

(2)

式中：Coh(Δij;ω)為i和j點(diǎn)相干函數(shù)。

可以證明，相干函數(shù)矩陣可以通過(guò)Cholesky分解得到如下所示的下三角矩陣與上三角矩陣的乘積：

Coh(ω)=D(ω)DT(ω)

(3)

因此，根據(jù)Deodatis[5]的理論，隨機(jī)過(guò)程Vj(t)可以由式(4)模擬。

cos(ωmlt-θjm(ωml)+φml)},(j=1,2,…,n)

(4)

式中：N為一充分大的正整數(shù)，Δω為頻率增量，Δω=ω/N，ωup為上限截止頻率;φml為均勻分布于[0,2π]的隨機(jī)相位角；θ為矩陣D(ω)的復(fù)角，在風(fēng)場(chǎng)模擬過(guò)程中，該復(fù)角的取值為0。ωml為雙索引頻率下的頻率增量，并表示為：

(5)

為保證模擬結(jié)果不失真，根據(jù)采樣理論，其時(shí)間增量需滿足：Δt≤2π/2ωup。

另外，該模擬過(guò)程可以通過(guò)FFT算法進(jìn)行加速。

1.2 移動(dòng)列車脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程模擬

為了獲得移動(dòng)列車的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程，傳統(tǒng)的做法基于靜止模擬點(diǎn)的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程樣本，利用離散點(diǎn)提取與插值算法相結(jié)合得到。在隨機(jī)模擬中，靜止模擬點(diǎn)的間距設(shè)置為Δy=V·Δt，其中V為移動(dòng)列車的運(yùn)行速度。則對(duì)于移動(dòng)列車，其在p時(shí)刻的瞬時(shí)脈動(dòng)風(fēng)速值即為j點(diǎn)在p時(shí)刻的風(fēng)速。

1.3 相干函數(shù)

空間上兩個(gè)模擬點(diǎn)之間的相干性可以用相干函數(shù)刻畫(huà)。常用的模型有為Davenport相干函數(shù)模型，對(duì)于脈動(dòng)風(fēng)的縱向成分，可以用式6來(lái)表達(dá)：

(6)

其中k為衰減系數(shù)，Uz為高度z處的平均風(fēng)速。衰減系數(shù)k為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)。

曹映泓等人[6]指出，對(duì)于等間距分布的靜止模擬點(diǎn)，其指數(shù)形式下的相干函數(shù)，在進(jìn)行Cholesky分解時(shí)，可以通過(guò)顯示分解直接得到：

Dij(ωml)=αm·cos(α)j-m

(7)

cosα=γ21(ω)/γ11(ω)

2 靜止模擬點(diǎn)校驗(yàn)

為檢驗(yàn)上述方法在移動(dòng)列車脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)模擬中的可靠性，在高度z=40m上，以間距為10 m平均布置了100個(gè)靜止模擬點(diǎn)。在該高度處，平均風(fēng)速Uz取為30 m/s；上限截止頻率ωup=8π，共劃分為1 024個(gè)頻段，M=2N；模擬時(shí)間增量Δt=0.125s。目標(biāo)譜采用式(8)所示的Kaimal譜：

(8)

其中：f=nz/Uz為無(wú)量綱化頻率，u*為摩擦速度，z0為地表粗糙高度。

Davenport相干函數(shù)模型中的衰減系數(shù)取為16。如圖1所示可以看出模擬得到的固定點(diǎn)脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)的自譜與目標(biāo)譜均擬合較好。

圖1 靜止模擬點(diǎn)脈動(dòng)風(fēng)速譜模擬

3 衰減系數(shù)的影響

對(duì)于Davenport相干函數(shù)模型，當(dāng)衰減系數(shù)不同時(shí)，相干函數(shù)的值在低頻段有較大的差異。由圖1可知移動(dòng)列車的脈動(dòng)風(fēng)速譜能量主要集中于低頻段，該低頻段的能量增大現(xiàn)象可能會(huì)對(duì)移動(dòng)列車的脈動(dòng)風(fēng)速譜造成較大的影響。

采用Davenport提出的相干函數(shù)模型，通過(guò)取不同的衰減系數(shù)值，考慮衰減系數(shù)對(duì)于移動(dòng)列車脈動(dòng)風(fēng)速場(chǎng)的影響。在工程應(yīng)用中，衰減系數(shù)k的取值通常為7～17。因此在本文中，分別模擬k=7、k=10、k=17情況下移動(dòng)列車的脈動(dòng)風(fēng)速譜。如圖2所示為移動(dòng)列車運(yùn)行速度為V=30m/s與V=60m/s情況下，取不同衰減系數(shù)時(shí)，移動(dòng)列車脈動(dòng)風(fēng)速譜的比較。

可以看出，對(duì)于Davenport相干函數(shù)，隨著衰減系數(shù)的增大，移動(dòng)列車的脈動(dòng)風(fēng)速譜有著明顯的向高頻移動(dòng)的趨勢(shì)。該現(xiàn)象與隨著速度的增大，移動(dòng)列車的脈動(dòng)風(fēng)速譜所展現(xiàn)的多普勒效應(yīng)相吻合。事實(shí)上，由相干函數(shù)的模型可以看出，衰減系數(shù)的增大，導(dǎo)致相鄰兩點(diǎn)之間的相關(guān)度減小，這一效應(yīng)與移動(dòng)列車運(yùn)行速度增大的效應(yīng)是相同的。因此，在工程計(jì)算中，通?？梢暂^為保守地取經(jīng)驗(yàn)值中較大的值，以保證工程的安全性。

(a) V=30m/s

4 結(jié)論

基于Davenport相干函數(shù)模型，采用多變量隨機(jī)過(guò)程模擬方法，對(duì)移動(dòng)列車脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程繼續(xù)你行模擬，通過(guò)頻譜分析得到了移動(dòng)列車的脈動(dòng)風(fēng)速譜。分析不同衰減系數(shù)下的移動(dòng)列車脈動(dòng)風(fēng)速譜，可以看出不同的衰減系數(shù)會(huì)對(duì)移動(dòng)點(diǎn)脈動(dòng)風(fēng)速譜產(chǎn)生較大的影響。