郝可可

摘要：由極大-加線性（Max-plus Linear， MPL）表達(dá)和關(guān)鍵鏈項(xiàng)目管理（Critical Chain Project Management， CCPM）結(jié)合而成的關(guān)鍵鏈項(xiàng)目管理-極大-加線性（CCPM-MPL）表達(dá)方法兼?zhèn)淞藘煞N工具的優(yōu)勢，逐漸應(yīng)用于施工項(xiàng)目管理中。但是當(dāng)前CCPM-MPL表達(dá)方法僅使用缺乏數(shù)理依據(jù)的剪切法計(jì)算緩沖區(qū)，緩沖區(qū)尺寸偏大。本文在描述Max-plus代數(shù)的基礎(chǔ)上，為計(jì)算結(jié)果更為合理的緩沖區(qū)計(jì)算方法——根方差法設(shè)計(jì)Max-plus代數(shù)表達(dá)式，豐富了CCPM-MPL表達(dá)方法的研究內(nèi)容。

Abstract： The CCPM-MPL representation， integration of max-plus linear representation （MPL） and critical chain project management （CCPM）， combines the advantages of the two tools and is gradually applied in construction project schedule management. However， the cut and paste method （C&PM） used to calculate time buffers in the current CCPM-MPL representation research framework is lack of mathematical basis， causing buffer sizes to be too large. In this paper， max-plus algebra is described first and then the max-plus algebraic expression is designed for the root square error method （RSEM）， a more reasonable method for calculating time buffers， which will enrich the research content of CCPM-MPL representation.

關(guān)鍵詞：緩沖區(qū);關(guān)鍵鏈項(xiàng)目管理-極大-加線性表達(dá)方法;關(guān)鍵鏈項(xiàng)目管理;極大-加線性代數(shù)

Key words： buffer; critical chain project management-max-plus linear representation;critical chain project management;max-plus Algebra

中圖分類號：TU71 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1006-4311（2019）08-0003-04

0 ?引言

Max-plus算法誕生于二十世紀(jì)八十年代，由法國國家信息與自動(dòng)化研究所Max-plus工作小組提出[1]。該算法作為系統(tǒng)控制理論的研究分支，采用矩陣的形式表達(dá)系統(tǒng)元素間的邏輯關(guān)系，以Max-plus代數(shù)表示離散時(shí)間系統(tǒng)（Discrete event systems， DES）演變的計(jì)算公式。使用Max-plus算法可以構(gòu)造具有多個(gè)非并發(fā)、同步和并行處理的任務(wù)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)。因?yàn)镸PL與現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)-空間表達(dá)相類似 ，該方法目前已廣泛應(yīng)用到模型預(yù)測控制[2]、自適應(yīng)控制[3]和項(xiàng)目管理[4]等控制相關(guān)理論中。關(guān)鍵鏈項(xiàng)目管理思想是基于約束理論（Theory of Constraints， TOC）發(fā)展而成[5]。TOC理論由Goldratt博士提出，該理論自誕生起便受到了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，并迅速在各行各業(yè)中得到了廣泛應(yīng)用[6]。關(guān)鍵鏈項(xiàng)目管理技術(shù)是傳統(tǒng)關(guān)鍵路徑法、計(jì)劃評審技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，被業(yè)界普遍認(rèn)為是較兩者更為先進(jìn)科學(xué)[7]。該理論認(rèn)為資源約束和時(shí)間約束對于一個(gè)項(xiàng)目的進(jìn)展同樣重要。針對資源、人的行為模式等不確定性因素，CCPM通過在進(jìn)度計(jì)劃上相應(yīng)位置設(shè)置緩沖區(qū)以對項(xiàng)目中各種不確定性因素進(jìn)行聚合管理，削弱其對項(xiàng)目進(jìn)度的影響[8]。而關(guān)鍵鏈即為插入各種緩沖區(qū)后所形成的關(guān)鍵路徑。關(guān)鍵鏈項(xiàng)目管理中緩沖區(qū)主要有三種：①項(xiàng)目緩沖區(qū)（Project Buffer，PB）。設(shè)置于進(jìn)度計(jì)劃的尾部以避免關(guān)鍵路徑上工序出現(xiàn)問題而導(dǎo)致的工期延誤;②接駁緩沖區(qū)（Feeding Buffer， FB）。設(shè)置于非關(guān)鍵路徑匯入關(guān)鍵路徑的關(guān)鍵工序之前，用以避免該非關(guān)鍵路徑工序出現(xiàn)問題導(dǎo)致后續(xù)關(guān)鍵工作延后進(jìn)行;③資源緩沖區(qū)（Resource Buffer， RB），放置于鏈路上關(guān)鍵資源發(fā)生變動(dòng)的緊前緊后活動(dòng)之間，用以提示資源準(zhǔn)備，不消耗時(shí)間。

2010年，Yoshida等人[9]首次將Max-plus代數(shù)和關(guān)鍵鏈項(xiàng)目管理相結(jié)合，形成了關(guān)鍵鏈項(xiàng)目管理-極大加線性表達(dá)方法，該方法以簡單的Max-plus代數(shù)有效計(jì)算出具有魯棒性的進(jìn)度計(jì)劃。之后Goto等人[10][11]在此基礎(chǔ)上再一次展開研究，對此框架進(jìn)行有益的補(bǔ)充，解決了資源受限情況下使用CCPM-MPL方法進(jìn)行項(xiàng)目進(jìn)度計(jì)劃安排的問題。CCPM-MPL是一個(gè)高效的項(xiàng)目進(jìn)度管理方法，它以統(tǒng)一的方式將項(xiàng)目中的多個(gè)輸入和輸出納入項(xiàng)目進(jìn)度安排之中，使用Max-plus算法將施工項(xiàng)目活動(dòng)間復(fù)雜的邏輯關(guān)系轉(zhuǎn)化為簡單的基于矩陣的運(yùn)算，因此大幅度降低了計(jì)劃生成的計(jì)算荷載，使得其對于大型復(fù)雜工程也同樣適用[12]。

但是CCPM-MPL方法目前仍有待完善，該方法在計(jì)算緩沖區(qū)時(shí)采用最為簡單的剪切法，而剪切法缺乏數(shù)理支撐，往往高估了項(xiàng)目工期，導(dǎo)致時(shí)間和資源的浪費(fèi)。與之相對，基于大數(shù)定理和中心極限定理的根方差法已被證明是較剪切法更有效得緩沖區(qū)計(jì)算方法[13][14]（Shi et al. 2012， Roghanian， 2017）。本文將在描述Max-plus代數(shù)和調(diào)度過程的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)根方差法下的緩沖區(qū)Max-plus代數(shù)表達(dá)式，最后以算例驗(yàn)證所設(shè)計(jì)公式的可行性。

1 ?基于CCPM-MPL表達(dá)方法的基準(zhǔn)進(jìn)度計(jì)劃生成

4 ?結(jié)語

針對現(xiàn)有CCPM-MPL研究缺乏RSEM法下緩沖區(qū)計(jì)算max-plus代數(shù)表達(dá)式的缺陷，本文在對Max-plus代數(shù)描述的基礎(chǔ)上，通過在進(jìn)度計(jì)劃末端添加一個(gè)虛擬活動(dòng)構(gòu)造了TP矩陣，設(shè)計(jì)了RSEM法下項(xiàng)目緩沖區(qū)計(jì)算max-plus代數(shù)表達(dá)式;接著拓展了前人的研究，構(gòu)造了RSEM法下接駁緩沖區(qū)計(jì)算max-plus代數(shù)表達(dá)式。最后以一個(gè)算例演示了使用CCPM-MPL方法生成項(xiàng)目進(jìn)度計(jì)劃生成過程，驗(yàn)證了所提出方法的可行性。此外，仍要指出的是：使用傳統(tǒng)的方法計(jì)算接駁緩沖區(qū)時(shí)，某關(guān)鍵活動(dòng)前的接駁緩沖區(qū)的大小取與其連接的多條非關(guān)鍵鏈路所計(jì)算活動(dòng)安全時(shí)間平方和的平方根的最大值，與此相區(qū)別，本文方法所求取的接駁緩沖區(qū)是該關(guān)鍵活動(dòng)多條非關(guān)鍵鏈路中活動(dòng)數(shù)量最多的那條的各項(xiàng)活動(dòng)安全時(shí)間平方和的平方根。

參考文獻(xiàn)：

[1]Cohen G， Gaubert S， Quadrat J. Max-plus Algebra and System Theory： Where We Are and Where We Go now[J]. Annual Reviews in Control， 1999， 23： 207-219.

[2]Necoara I， Schutter B D ， Boom T J J V D ， et al. Stable Model Predictive Control for Constrained Max-Plus-Linear Systems[J]. Discrete Event Dynamic Systems， 2007， 17（3）： 329-354.

[3]Menguy E ， Boimond J L ， Hardouin L ， et al. A First Step Towards Adaptive Control for Linear Systems in Max Algebra[J]. Discrete Event Dynamic Systems， 2000， 10（4）： 347-367.

[4]Goto， H.， Masuda， S. Monitoring and scheduling methods for MIMO-FIFO systems utilizing maxplus linear representation[J]. Ind. Eng. Manag. Syst. 2008， 7（1）： 23-33.

[5]Goldratt E M. Critical chain： A business novel[M]. Great Barrington， MA： North River Press， 1997.

[6]Wang L . Study on Project Management Based on Critical Chain Management and Heuristic Method[J]. Lecture Notes in Electrical Engineering， 2014.

[7]Paprocka I ， Czuwaj W . Location Selection and Size Estimation of Resource Buffers in the Critical Chain Project Management Method[J]. Applied Mechanics and Materials， 2015， 809-810： 1390-1395.

[8]Zhang A L ， Geng T T . Study on the Schedule Management Methods of Projects Based on Critical Chain Technology[J]. Applied Mechanics and Materials， 2014， 488-489： 4.

[9]Yoshida S ， Takahashi H ， Goto H . Modified Max-Plus Linear representation for inserting time buffers[C]// IEEE International Conference on Industrial Engineering & Engineering Management. IEEE， 2010.

[10]Goto H ， Truc N T N ， Takahashi H . Simple Representation of the Critical Chain Project Management Framework in a Max-Plus Linear Form[J]. Sice Journal of Control Measurement & System Integration， 2013.

[11]Goto， Hiroyuki. Forward-compatible Framework with Critical-Chain Project Management Using a Max-Plus Linear Representation[J]. OPSEARCH， 2016.

[12]Goto， H.， Takahashi， H.. Fast Computation Methods for the Kleene Star in Max-Plus Linear Systems with a DAG Structure. IEICE Trans. Fundam， 2009， E92-A（11）： 2794-2799.

[13]Shi Q， Wang Y T， Gong T. An Improved Approach for Project Buffer Sizing and Evaluation. Systems Engineering-Theory & Practice， 2012， 32（8）： 1739-1746.

[14]Roghanian E， Alipour M， Rezaei M. An Improved Fuzzy Critical Chain Approach in Order to Face Uncertainty in Project Scheduling[J]. International Journal of Construction Management， 2017， 18（1）： 1-13.