聞卉 鄭列

摘 要 本文針對微積分教學(xué)中求旋轉(zhuǎn)體體積時，涉及到旋轉(zhuǎn)軸的特點，給出了求旋轉(zhuǎn)體體積的積分技巧，并通過具體例題加以闡述。

關(guān)鍵詞 旋轉(zhuǎn)軸 體積 積分

中圖分類號：O172.2文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

0引言

已知某一平面圖形繞著平面內(nèi)的某一直線（旋轉(zhuǎn)軸）旋轉(zhuǎn)一周所得的立體稱之為旋轉(zhuǎn)體，求旋轉(zhuǎn)體的體積是微積分教學(xué)內(nèi)容“定積分應(yīng)用”章節(jié)的重點內(nèi)容，尤其是曲邊梯形繞軸或軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積的計算是經(jīng)管專業(yè)的學(xué)生必須掌握的知識，求這類旋轉(zhuǎn)體的體積采用的是微元法的思想，即通過“分割”的方法，將不規(guī)則的立體的體積用圓柱體近似替代，從而用定積分刻畫體積公式。該內(nèi)容比較抽象，對學(xué)生畫圖的要求也較高，這類題型是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中普遍存在的難點.本文針對這一現(xiàn)象，通過具體例題加以說明，分析處理這類題目的技巧。

1基礎(chǔ)知識

（1）曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積。

（2）曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積。

2實例

下面針對具體例題闡述如何靈活的理解和掌握上述基礎(chǔ)知識及其應(yīng)用。

例1：求由，=2所圍的平面圖形D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

說明：（1）先畫出平面圖形D，再利用對稱性畫出旋轉(zhuǎn)體;（2）寫體積公式即定積分：旋轉(zhuǎn)軸為軸，不妨在體積的計算公式中取為積分變量，由D被兩條鉛直線和夾住確定積分區(qū)間：積分下限和積分上限，在軸上任取一點（在積分區(qū)間內(nèi)），過該點作垂直于軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體，所得的截面（圓面）的面積即為被積函數(shù)。

例2：求由，所圍的平面圖形D繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

說明：（1）先畫出平面圖形D，再畫出D關(guān)于直線=1的對稱圖形，再利用對稱性畫出旋轉(zhuǎn)體;（2）寫體積公式即定積分：旋轉(zhuǎn)軸為（平行于軸），故在體積的計算公式中仍取為積分變量，由D被兩條鉛直線和夾住確定積分區(qū)間：積分下限和積分上限，在旋轉(zhuǎn)軸上任取一點（在積分區(qū)間內(nèi)），過該點作垂直于軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體，所得的截面（圓環(huán)面）的面積即為被積函數(shù)。

例3：求由，和所圍的平面圖形D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

說明：（1）先畫出平面圖形D，再畫出D關(guān)于軸的對稱圖形，再利用對稱性畫出旋轉(zhuǎn)體;（2）寫體積公式即定積分：旋轉(zhuǎn)軸為軸，故在體積的計算公式中取為積分變量，由D被兩條水平線和夾住確定積分區(qū)間：積分下限和積分上限，在軸上任取一點（在積分區(qū)間內(nèi)），過該點作垂直于軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體，所得的截面（圓環(huán)面）的面積即為被積函數(shù)。

3結(jié)語

本文針對學(xué)生學(xué)習(xí)過程中普遍存在的難點，給出了平面圖形分別繞軸（或平行于軸）和繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積的解題技巧，寫體積公式的技巧關(guān)鍵在于：首先由旋轉(zhuǎn)軸確定積分變量，然后由平面圖形的特點（被鉛直線或水平線夾?。┐_定積分變量的積分限，最后根據(jù)截面的面積寫被積函數(shù)。

基金項目：課題來源：湖北省高校人文社會科學(xué)重點研究基地項目，編號：DSS20170304。

參考文獻(xiàn)

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