鄭光澤,王振宇，王 波

(1.重慶理工大學 車輛工程學院， 重慶 400054；2.中國長安汽車集團股份有限公司 重慶青山變速器分公司， 重慶 402761)

永磁同步電機因具有響應迅速、功率密度高和效率高的特點，作為驅動電機被廣泛應用于乘用車。驅動電機冷卻系統多為水冷型，隨著生產加工精度的提高，流動噪聲和機械噪聲占比變小，車用永磁同步電機的振動噪聲主要為電磁噪聲[1]。 永磁同步電機氣隙磁場導致徑向電磁力作用于定子系統(定子鐵心、繞組和殼體)，產生電磁噪聲。定子鐵心的脈動和形變是引起電磁噪聲的主要原因[2]，當電磁力波頻率和定子系統固有頻率接近時，即使很小的電磁力也會引起劇烈的電磁振動噪聲。為了改善電機的振動噪聲，需控制電機定子系統的動態(tài)特性。目前，已有大量學者對定子鐵心或定子集成(鐵心和繞組)進行動態(tài)特性分析，但鮮有考慮到定子系統的振動特性[2-6]。

定子鐵心為了降低渦流損耗，通常采用涂有絕緣漆的硅鋼片疊壓而成。本文將考慮疊壓效應的定子集成視為正交各向異性結構，對一款48槽8極永磁同步電機的定子系統進行模態(tài)識別。基于模態(tài)計算理論，對比分析幾種常用的模態(tài)提取算法，得到適用于正交各向異性結構的模態(tài)提取算法。采用仿真分析方法對比研究了正交各向異性和各向同性結構定義的定子系統動態(tài)特性，并將仿真結果和實驗數據對比分析，證明采用正交各向異性結構定義的定子系統的模態(tài)頻率具有較好的計算精度。

1 各向異性結構模態(tài)分析理論基礎

模態(tài)分析是結構動力學中的一種“逆問題”分析方法，其實質是坐標變換，將相應向量從物理坐標系轉換到模態(tài)坐標系中進行表達[7]。根據Hamilton原理，得到系統矩陣形式的動力方程為

(1)

其中：M為質量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；u為節(jié)點的位移矢量；F為節(jié)點力矢量。

考慮到阻尼對結構的模態(tài)特性影響較小，一般情況下可以忽略[8]。因此，對于無阻尼的自由振動，令式(1)中的C和F等于零，得到：

(K-λM){φ}=0

(2)

(3)

(4)

其中：ρ為密度；N為形狀函數矩陣；B為幾何矩陣；D為彈性矩陣，表征的是單元應力與應變的關系，對于不同的結構，彈性矩陣也有所不同。

一般對于簡單結構的模態(tài)分析，可以將其等效成各向同性結構，但為了準確考慮硅鋼片的疊壓效應，需要將鐵心等效成正交各向異性結構。

圖1 定子鐵心

(5)

(6)

利用Lanczos法進行模態(tài)參數提取，正交向量組成的矩陣約化對稱矩陣為三對角矩陣。計算三對角矩陣的特征值，求得原廣義特征值問題的前若干階特征值。

2) 第i+1個Lanczos向量由第i個Lanczos向量迭代計算得到，并與前2個Lanczos向量正交。

Ri=Sqi

(7)

(8)

(9)

當βi(i=1,2,…,m)趨于零時，算法收斂。

4) 由正交化系數形成三對角矩陣

(10)

求解三對角矩陣特征值，即可求得原廣義特征值問題的前m階特征值的近似解。

Tmzi=ρzi

(11)

(12)

(13)

2 定子系統模態(tài)仿真分析

在仿真模態(tài)分析中定子集成和殼體的有限元等效處理較為復雜。首先對殼體進行有限元處理，在保留加強筋等結構的基礎上，只簡化處理小圓角和倒角。定子集成方面，考慮疊壓后徑向和軸向彈性力學參數不同，將其定義為正交各向異性結構。以X、Y軸為電機徑向，Z軸為電機軸向建模，X、Y方向彈性力學參數與硅鋼片屬性一致，Z方向參數與空氣組成的復合材料可由Halpain-Tsai經驗公式求得(這里材料1和材料2分別為硅鋼合金和空氣)。

(14)

因為定子鐵心槽內繞組浸漆之后會有效提高電機鐵心剛度[9-10]，故將繞組和絕緣空隙看成一個整體，并定義為正交各向異性結構。密度由繞組質量除以繞組等效體積得到，彈性力學參數由復合材料經驗公式求得。具體各部分材料參數見表1。

表1 定子系統正交各向異性材料參數

表2 定子系統各向同性材料參數

基于上述假設及簡化，定子鐵心和繞組均采用六面體單元，殼體采用四面體單元建模。殼體各部件之間采用Bar單元模擬螺栓連接。各部分具體模型如圖2所示。

圖2 定子系統有限元模型

目前，適合求解對稱矩陣的模態(tài)提取算法有AMES法、Lanczos法、Subspace法、Supernode法。用以上4種算法提取定義為正交各向異性結構的定子鐵心的模態(tài)參數，結果見表3。

表3 定子鐵心模態(tài)計算結果 Hz

由表3可以看出，各個算法求解出的每階模態(tài)頻率相差不大，但Lanczos法計算效率最高。這是由于Lanczos法儲存量較小，計算速度快，適用于求解大型稀疏實對稱矩陣[11-13]。

利用Lanczos法分別計算定義為正交各向異性和各向同性結構的定子系統前4階自由振動模態(tài)，各階振型見圖3、4。位移云圖中黑色框線部分為未變形模型，云圖為變形模型?？梢钥闯?2種結構的模態(tài)振型差別不大，但正交各向異性結構的模態(tài)頻率明顯減小。

表4 仿真模態(tài)分析結果 Hz

圖3 正交各向異性結構的位移云圖

圖4 各向同性結構的位移云圖

3 定子系統模態(tài)實驗測試

對定子系統進行模態(tài)實驗，驗證電機定子系統有限元模型的正確性。模態(tài)實驗坐標系與仿真坐標系保持一致。用2根柔軟橡膠帶將定子系統懸掛于吊架水平位置來模擬自由邊界條件。使用移動傳感器法，共布置28個測點，2個激勵點。對每組數據進行重復性和一致性檢測選取最優(yōu)實驗數據。

圖5 模態(tài)實驗測試

定子系統的模態(tài)振型如圖6所示，第1階模態(tài)為電機的徑向模態(tài)(1 012 Hz)，第2階也為電機的徑向模態(tài)(1 028 Hz)，第3階為電機端蓋的局部模態(tài)(1 233 Hz)，第4階為電機的端部擠壓模態(tài)(1 683 Hz)。

為檢驗實驗模態(tài)的有效性,利用模態(tài)置信判據MAC矩陣來表示所識別各模態(tài)的可信程度[14-15]。2個模態(tài)向量φr和φs之間的MAC定義為

(15)

當MAC接近于1，表示φr和φs本質上是同一物理模態(tài)；當MAC接近于0，表示φr和φs是2個不同的振型。對識別的模態(tài)進行相關性分析，如圖7所示，除對角線外其他均接近于0，顯示前4階模態(tài)振型正交性較好，模態(tài)實驗識別有效性得到驗證。

圖6 定子系統的實驗模態(tài)振型

圖7 模態(tài)置信判據圖

4 有限元模態(tài)分析模型有效性檢驗

對2 000 Hz以下的模態(tài)實驗結果與仿真模態(tài)結果進行對比分析。將實驗結果視為真實值，則計算偏差等于計算模態(tài)頻率減去實驗頻率的差除以實驗頻率。對正交各向異性和各向同性結構定義的定子系統計算模態(tài)結果與實驗模態(tài)結果進行誤差分析，結果如圖8所示?？梢钥闯?，采用正交各向異性結構的模態(tài)頻率更接近實驗值。

圖8 計算模態(tài)的誤差分析

從圖3、4和圖8可以看出，實驗模態(tài)的前4階振型和2種結構定義的定子系統仿真模態(tài)振型較為吻合。1階彈性模態(tài)和2階彈性模態(tài)的振型均為徑向2階模態(tài)，3階彈性模態(tài)為端蓋的局部模態(tài)，4階彈性模態(tài)為大端的擠壓模態(tài)。對于同一振型，實驗測得的固有頻率值和2種結構定義的定子系統仿真計算得到的固有頻率值相差不大，最大誤差在5%以內。其中仿真值均大于實驗值，這是由于實驗中電機定子系統存在阻尼，固有頻率較仿真值會略有降低。綜合比較，定子系統實驗模態(tài)的結果與正交各向異性結構定義的定子系統的仿真模態(tài)較為吻合，驗證了正交各向異性結構定義的定子系統有限元模型的準確性。

5 結論

1) 模態(tài)提取算法中，采用Lanczos法計算正交各向異性結構模態(tài)具有較好的計算精度和效率。

2) 采用MAC矩陣識別各階模態(tài)可信程度高，各階實驗模態(tài)均正交獨立，驗證了實驗模態(tài)的有效性。

3) 定子系統定義為正交各向異性結構后，定子系統的模態(tài)頻率更接近實驗值。