毛柏源，李君龍，張銳，葉松青

(1.北京電子工程總體研究所，北京 100854；2.中國航天科工集團(tuán)有限公司 第二研究院，北京 100854；3.中國船舶工業(yè)物資東北有限公司，遼寧 沈陽 110011)

0 引言

對(duì)于傳統(tǒng)攔截彈的制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，普遍采用將制導(dǎo)與控制回路分別單獨(dú)設(shè)計(jì)的方法，這種方法是基于頻譜分離的假設(shè)，而在攔截大機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)，導(dǎo)彈制導(dǎo)回路的時(shí)間常數(shù)比較小，帶寬隨之變大，此時(shí)頻譜分離的假設(shè)不再成立，通常會(huì)導(dǎo)致攔截彈末制導(dǎo)段脫靶量較大，為解決此問題，制導(dǎo)控制一體化技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生。

制導(dǎo)控制一體化是將導(dǎo)彈制導(dǎo)回路與控制回路整合為一個(gè)回路，充分考慮了兩回路之間的耦合，根據(jù)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)信息與彈體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)信息，直接產(chǎn)生控制指令，既能減少制導(dǎo)與控制兩回路間的延遲，同時(shí)能減少控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)周期和成本。

自從Williams[1]首次提出制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)后，國內(nèi)外大量學(xué)者對(duì)導(dǎo)彈制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[2-4]對(duì)于機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截問題，采用滑?？刂品椒ㄑ芯苛酥茖?dǎo)控制一體化算法，并且考慮了模型不確定性。文獻(xiàn)[5]針對(duì)控制輸入飽和問題，采用自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面反步法設(shè)計(jì)一體化控制器。文獻(xiàn)[6]基于小增益理論研究了復(fù)合控制導(dǎo)彈的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)，該算法適用于機(jī)動(dòng)性較差的目標(biāo)。文獻(xiàn)[7]針對(duì)彈目視線角速率與導(dǎo)彈攻角都無法測(cè)量的攔截情形，研究了一種基于部分狀態(tài)反饋的一體化控制律。對(duì)于末制導(dǎo)攻擊角度約束場(chǎng)景，郭超等[8]將攻擊角約束轉(zhuǎn)化為終端視線角約束問題，提出一種基于反演滑模與擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[9]基于自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面的反步法研究了三維攔截空間的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法。目前，制導(dǎo)控制一體化的相關(guān)研究大都是采用單一執(zhí)行機(jī)構(gòu)的控制對(duì)象，而對(duì)于直/氣復(fù)合控制的制導(dǎo)控制一體化研究較少。

本文針對(duì)制導(dǎo)控制一體化在直氣復(fù)合控制導(dǎo)彈上的應(yīng)用進(jìn)行相關(guān)研究，首先建立了攔截彈直/氣復(fù)合控制的制導(dǎo)控制一體化模型，針對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)信息未知、存在建模誤差等干擾量，采用有限時(shí)間收斂的非線性干擾觀測(cè)器補(bǔ)償未知信息，之后基于動(dòng)態(tài)面的反步法設(shè)計(jì)了一體化控制律，最后通過與傳統(tǒng)制導(dǎo)與控制分開設(shè)計(jì)的方法進(jìn)行仿真對(duì)比，結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)的一體化控制律使得末制導(dǎo)段脫靶量更小，具有更高的制導(dǎo)精度。

1 模型建立

為提高攔截彈高空機(jī)動(dòng)能力同時(shí)減小末制導(dǎo)段脫靶量，本文研究了一種基于大姿控力矩直/氣復(fù)合控制的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法。該方法中的直接側(cè)向力與氣動(dòng)舵共同構(gòu)成姿控模式的直/氣復(fù)合控制形式。

直接力的建立過程如圖1所示，其中，F(xiàn)max代表穩(wěn)態(tài)推力，T0代表直接力機(jī)構(gòu)開機(jī)延遲，ΔT代表關(guān)機(jī)延遲。

圖1 直接側(cè)向力推力特性Fig.1 Thrust characteristic of lateral force

復(fù)合控制攔截彈俯仰通道數(shù)學(xué)模型如下[10]

(1)

對(duì)于本文研究的攔截彈直/氣復(fù)合控制模型，考慮將直接力F引入后，定義直接力產(chǎn)生等效舵偏角為

(2)

式中：δmax為氣動(dòng)舵偏角限幅值。

則建立等效彈體模型，令δz=δp=δ，式(1)可寫為

(3)

為了研究方便，本文將末制導(dǎo)段的攔截空間解耦為2個(gè)二維平面。將導(dǎo)彈和目標(biāo)視為質(zhì)點(diǎn)，在縱向平面內(nèi)，彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖2所示，圖中M，T分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)；vM，vT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度；aM，aT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的法向加速度；θM，θT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的航跡角；R為彈目相對(duì)距離；q為視線角。在極坐標(biāo)系下建立彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程：

(4)

(5)

(6)

(7)

圖2 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系示意圖Fig.2 Relative motion geometry of missile and target

將式(5)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并結(jié)合式(4)，(6)，(7)得到

(8)

忽略偏航和滾轉(zhuǎn)通道的影響，得到

(9)

不失一般性，本文的研究基于如下假設(shè)：

假設(shè)1在末制導(dǎo)過程中，認(rèn)為導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)停止工作且不考慮重力影響。

假設(shè)2認(rèn)為在末制導(dǎo)階段，導(dǎo)彈與目標(biāo)速度大小不變。

假設(shè)3不考慮導(dǎo)彈舵面產(chǎn)生的升力。

根據(jù)以上假設(shè)，將目標(biāo)機(jī)動(dòng)信息、通道間耦合因素、氣動(dòng)參數(shù)攝動(dòng)等視為外界干擾，結(jié)合式(3)，(8)，(9)得到復(fù)合控制導(dǎo)彈制導(dǎo)控制一體化數(shù)學(xué)模型[11]:

(10)

其他相關(guān)函數(shù)表達(dá)式為

(11)

式中:dvq為目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度信息；dα及dωz分別為攻角及角速率通道的未知干擾。

假設(shè)4對(duì)于系統(tǒng)式(10)，未知干擾均有界，即

(12)

顯然，系統(tǒng)式(10)為一個(gè)帶有不確定參數(shù)的具有級(jí)聯(lián)形式的非線性系統(tǒng)，本文制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)的目標(biāo)是使攔截彈命中目標(biāo)，并同時(shí)保證彈體姿態(tài)的穩(wěn)定。

2 復(fù)合控制導(dǎo)彈制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)

2.1 制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)

攔截彈的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)通常是將制導(dǎo)回路與控制回路融合為一個(gè)回路，充分利用了制導(dǎo)與控制系統(tǒng)之間的耦合，有效減小了指令的時(shí)間延遲?？刂葡到y(tǒng)框圖如圖3所示。

本文針對(duì)式(10)建立的非線性系統(tǒng)，采用有限時(shí)間收斂的非線性干擾觀測(cè)器估計(jì)系統(tǒng)中的未知干擾量，并基于動(dòng)態(tài)面的反步法設(shè)計(jì)制導(dǎo)控制一體化控制器。為簡化設(shè)計(jì)過程，首先給出如下引理。

引理1[12]設(shè)在原點(diǎn)領(lǐng)域U?Rn上存在連續(xù)正定函數(shù)V(t)，假設(shè)有實(shí)數(shù)a1,a2>0,0<γ<1使得式(13)成立

(13)

式中：t>t0，t0為系統(tǒng)初始時(shí)刻，則函數(shù)V(t)可在有限時(shí)間tf內(nèi)收斂至0，并且收斂時(shí)間滿足：

(14)

對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)式(10)，為設(shè)計(jì)干擾觀測(cè)器，引入如下輔助變量：

si=zi-xi,i=1,2,3.

(15)

根據(jù)文獻(xiàn)[13]，zi設(shè)計(jì)為

(16)

式中：ki>0;ηi>0;ρsi=pi/qi，pi,qi為正奇數(shù)，且pi

|fi(xi)|sign(si)-fi(xi).

(17)

對(duì)式(15)求微分，并結(jié)合式(10),(16)，得到

|fi(xi)|sign(si)-fi(xi)-di.

(18)

設(shè)觀測(cè)器誤差為

(19)

選取Lyapunov函數(shù)

(20)

結(jié)合式(18)有

|fi(xi)|sign(si)-fi(xi)-di)=

|fi(xi)||si|-fi(xi)si-disi.

(21)

顯然

(22)

則式(21)可寫為

(23)

根據(jù)引理1可知，si在有限時(shí)間收斂到0。

將式(17)，18)代入式(19)，得到觀測(cè)器誤差：

(24)

由si的有限時(shí)間收斂特性可知，干擾的估計(jì)誤差εi也將在有限時(shí)間收斂到0。

基于動(dòng)態(tài)面的反步法設(shè)計(jì)的制導(dǎo)控制一體化控制器設(shè)計(jì)步驟如下[14]：

第1步：針對(duì)式(10)第1式定義第1個(gè)誤差面

e1=x1-x1d，

(25)

式中：x1d為系統(tǒng)式(10)第1個(gè)公式的期望指令信號(hào)。將式(25)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并結(jié)合式(10)第1式得

圖3 制導(dǎo)與控制一體化框圖Fig.3 Block diagram of integrated guidance and control

(26)

則虛擬控制量可設(shè)計(jì)為

(27)

(28)

設(shè)第1個(gè)虛擬控制量的濾波誤差為

(29)

第2步：針對(duì)式(10)第2式定義第2個(gè)誤差面

(30)

將式(27)，(29)和(30)代入式(26)可得

(31)

式(30)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并結(jié)合式(10)第2式得

(32)

則虛擬控制量可設(shè)計(jì)為

(33)

(34)

設(shè)第2個(gè)虛擬控制量的濾波誤差為

(35)

第3步：針對(duì)式(10)第3式定義第3個(gè)誤差面

(36)

將式(33)，(35)和(36)代入式(32)可得

(37)

式(36)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并結(jié)合式(10)第3式得

(38)

則系統(tǒng)的實(shí)際控制量設(shè)計(jì)為

(39)

將式(39)代入式(38)可得

(40)

至此，導(dǎo)彈制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)完成，式(39)即為系統(tǒng)最終設(shè)計(jì)的一體化制導(dǎo)控制律。

2.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

定理1對(duì)于非線性系統(tǒng)(10)，若采用如式(39)的控制量，以及如式(27)，(33)的虛擬控制量，則可以使整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定。

證明針對(duì)系統(tǒng)式(10)構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)

(41)

對(duì)該Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)得

(42)

根據(jù)式(31)，(37)和(40)，可得

e2(e3-e1-m2e2+n2+ε2)+

e3(-e2-m3e3+ε3)=

(43)

根據(jù)式(29)，(35)可得

(44)

將式(43)，(44)代入(42)可得

(45)

應(yīng)用Young不等式[15]：ab

(46)

將式(46)代入(45)可得

(47)

求解式(47)，可得

(48)

所以V(t)最后會(huì)收斂到一個(gè)界限為λ/c0的鄰域內(nèi)，即閉環(huán)系統(tǒng)的所有狀態(tài)均可收斂到原點(diǎn)附近任意小的鄰域內(nèi)。

3 仿真校驗(yàn)

針對(duì)第1節(jié)建立的復(fù)合控制導(dǎo)彈制導(dǎo)控制一體化模型，本節(jié)將對(duì)某攔截彈末制導(dǎo)段進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真。仿真步長取為0.001 s，從末制導(dǎo)時(shí)刻開始，機(jī)動(dòng)目標(biāo)的初始位置為(200，20) km，目標(biāo)速度為vT=1 800 m/s，目標(biāo)執(zhí)行正弦機(jī)動(dòng)，機(jī)動(dòng)加速度為aT=7.5gsin(πt) m/s2，且目標(biāo)加速度極限值為aTmax=100 m/s2。導(dǎo)彈的飛行狀態(tài)參數(shù)如表1所示。導(dǎo)彈的初始位置為(170，18) km，初始姿態(tài)角和初始姿態(tài)角速度均設(shè)為0。導(dǎo)彈各氣動(dòng)系數(shù)與直接力系數(shù)如下：

表1 導(dǎo)彈飛行狀態(tài)參數(shù)Table 1 Flight state parameters of missile

為驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)控制一體化控制律的有效性，使用傳統(tǒng)制導(dǎo)控制系統(tǒng)單獨(dú)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行對(duì)比，仿真結(jié)果如圖4～9所示。

為更好地驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)方法的有效性，取3種攔截情形進(jìn)行對(duì)比。仿真初值如表2所示。

圖4 視線角速率曲線Fig.4 Curves of line of sight angular rate

圖5 目標(biāo)加速度估計(jì)Fig.5 Estimation of target maneuver

圖6 攻角曲線Fig.6 Curves of angle of attack

圖7 舵偏角曲線Fig.7 Curves of rudder deflection

圖8 彈目相對(duì)距離Fig.8 Relative distance of missile and target

圖9 攔截過程脫靶量變化曲線Fig.9 Miss distance curves of intercepting process

表2 仿真初值Table 2 Initial values of the simulation

3種攔截情形下的攔截時(shí)間與脫靶量統(tǒng)計(jì)如表3所示。

表3 仿真結(jié)果Table 3 Simulation results

由圖4可得出，本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)控制一體化控制律能夠使視線角速度迅速收斂到零附近，而采用傳統(tǒng)制導(dǎo)方法時(shí)視線角速度收斂過程隨著目標(biāo)機(jī)動(dòng)存在較大波動(dòng)，說明本文所提出算法相對(duì)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法具有更優(yōu)良的性能。由圖6，7可知，采用一體化控制器得到的攻角與舵偏角曲線相對(duì)于制導(dǎo)與控制分開設(shè)計(jì)時(shí)更加平穩(wěn)。根據(jù)表3可知，在多種攔截情形下，采用一體化設(shè)計(jì)得到的脫靶量均小于傳統(tǒng)制導(dǎo)與控制分開設(shè)計(jì)得到的結(jié)果?？梢?，本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)控制一體化控制器具有更高的制導(dǎo)精度。

4 結(jié)束語

本文基于動(dòng)態(tài)面的反步法設(shè)計(jì)了復(fù)合控制導(dǎo)彈制導(dǎo)控制一體化控制律，采用有限時(shí)間收斂的非線性干擾觀測(cè)器估計(jì)與補(bǔ)償了系統(tǒng)中不確定信息，有效提升了控制器的魯棒性。從仿真結(jié)果可以看出，相比于傳統(tǒng)制導(dǎo)與控制分開設(shè)計(jì)的方法，本文提出的一體化控制律具有更高的制導(dǎo)精度與更優(yōu)良的性能。