發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)“思維建?！蹦芰Σ呗赞?/h1>
2019-07-15 07:39:28董志俊王英姿
江蘇教育 2019年43期
董志俊 王英姿
一、問題提出
筆者在教學(xué)中常遇到下述狀況：（1）學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的解題策略體現(xiàn)出“無章法”，學(xué)生在解題時的指向性與組織性不強；（2）學(xué)生對一些問題的解決過程中呈現(xiàn)出“碎片化”，學(xué)生不能把相關(guān)知識有效地整合在一起，而是處于一種似懂非懂的狀態(tài)；（3）學(xué)生對一些問題的細(xì)節(jié)處理“欠優(yōu)化”，解題時往往事倍功半，容易迷失方向，也很難體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔美。
以上的狀況說明，當(dāng)學(xué)生遇到問題時，缺乏一套相對完整的應(yīng)對策略，筆者認(rèn)為“思維建?！蹦芎芎玫亟鉀Q上面提出的問題。
二、國內(nèi)外研究借鑒
“思維建?！钡母拍钭钤缡怯擅绹芴K里大學(xué)的教育專家喬納森（David Jonassen）教授系統(tǒng)提出。喬納森在《技術(shù)支持的思維建模：用于概念轉(zhuǎn)變的思維工具》一書中認(rèn)為：思維建模通過思維建模工具幫助學(xué)習(xí)者具化內(nèi)部的認(rèn)知概念模型，促使學(xué)習(xí)者在建模的過程中積極地調(diào)整與修改自我的概念模型結(jié)構(gòu)，并通過多種形式的認(rèn)知呈現(xiàn)，幫助學(xué)習(xí)者豐富和拓展內(nèi)部認(rèn)知概念模型的意義。有意義的學(xué)習(xí)需要概念參與，學(xué)習(xí)的目標(biāo)就是概念的轉(zhuǎn)變與發(fā)展；對學(xué)習(xí)者來說，支持有意義學(xué)習(xí)最有力的策略之一是對他們所學(xué)的知識進(jìn)行模型的建構(gòu)，思維工具的使用可以看作是能引發(fā)和支持概念轉(zhuǎn)變的建模工具。喬納森的這些思想在整個世界產(chǎn)生了很大的影響。
國內(nèi)目前也已有部分學(xué)者專家對思維建模的理論進(jìn)行了關(guān)注及研究。北京師范大學(xué)劉儒德在《建模：一種有效的建構(gòu)性學(xué)習(xí)方式》的文章中提出，建模作為一種建構(gòu)性學(xué)習(xí)方式，可促使學(xué)習(xí)者根據(jù)先前的知識經(jīng)驗，使用所給的物件和工具，來探究當(dāng)前情境，建構(gòu)起對當(dāng)前情境的理解，并將自己的這種理解表達(dá)出來，從而可促進(jìn)學(xué)生對知識的深層理解和靈活應(yīng)用。劉教授還具體將建模分為探究性建模和表達(dá)性建模兩種形式，并提出了關(guān)于建模的三種抽象水平，即定量、半定量和定性；他同時強調(diào)，在教學(xué)中，教學(xué)者可根據(jù)學(xué)生的發(fā)展水平，提供適當(dāng)?shù)闹С?，幫助學(xué)生展開不同形式、水平的建模活動。此外，郭秀霞在《淺析思維建模工具對學(xué)習(xí)者思維品質(zhì)的培養(yǎng)》一文中著重對思維建模（思維建模也是一種思維工具）和思維品質(zhì)做出理論性的研討。
本文中的“思維建?！睆娬{(diào)通過對數(shù)學(xué)經(jīng)典問題及相關(guān)知識和結(jié)論的剖析，從中提煉關(guān)鍵詞，建構(gòu)思維過程，讓學(xué)生不斷積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，在遇到新問題時，可以快速提取關(guān)鍵信息，形成有效的解決策略。
三、探析思維建模途徑
思維建模不是知識建模，是對學(xué)生知識內(nèi)化過程建立的模型。如何才能實現(xiàn)知識的最優(yōu)組合與新知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，促成學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升，是每一位教師都值得思考的問題。筆者對此進(jìn)行了一些探究，具體過程如下：
1.挖掘關(guān)鍵詞，形成知識鏈。
數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，每一個字、每一詞都有確切的含義。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要“字斟句酌”，將每一個字、每一詞的意義講清楚。例如，在教學(xué)“函數(shù)”概念時，通過對“非空”“任意”“唯一”等幾個關(guān)鍵詞的分析，能進(jìn)一步加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解。
提煉關(guān)鍵詞除了可以幫助學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性，也可以讓學(xué)生構(gòu)建問題解決的知識鏈。學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識和做練習(xí)題時，首先要進(jìn)行讀文、讀圖。在讀的過程中要找關(guān)鍵詞，把所找到的關(guān)鍵詞進(jìn)行勾畫、批注。這一步可操作性強，通過長期落實，學(xué)生自主閱讀能力自然提高。關(guān)鍵詞的提煉是思維建模的前提，學(xué)生整合以往所學(xué)數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)經(jīng)驗，從知識、方法和思想三個維度去探索問題的解決方案。具體如圖1所示。
2.剖析經(jīng)典，設(shè)計題組。
美國科學(xué)哲學(xué)家?guī)於髡J(rèn)為學(xué)生正是通過學(xué)習(xí)范例，通過做習(xí)題等活動來掌握一門科學(xué)知識及其方法，沒有范例，科學(xué)知識就不能清楚地表達(dá)出來。設(shè)計題組是思維建模的關(guān)鍵。題組是具有內(nèi)在聯(lián)系的一組習(xí)題，一般先易后難，問題背景可以不同，但核心知識是相同的。思維建模需經(jīng)歷“感知—感受—感悟”一系列過程，在題組設(shè)計上充分考慮學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，切合教學(xué)實際。在課堂實施中要注重學(xué)生的主體性和教師的主導(dǎo)性，讓學(xué)生積極主動參與教與學(xué)的全過程，從而促成各個層次學(xué)生思維的發(fā)展。
例如，在人教版高中數(shù)學(xué)必修二中有如下3道習(xí)題。
（3）已知點 M（x，y）與兩定點 M1，M2的距離之比是一個正數(shù)m，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形。（考慮m=1和m≠1兩種情形）（P144）
以上3道題都涉及平面到兩個定點的距離之比是不等于1的正常數(shù)的點的軌跡，其共同的數(shù)學(xué)背景就是經(jīng)典的軌跡——阿波羅尼斯圓。教學(xué)中可以在分析三道題目共性的基礎(chǔ)上，歸納引出阿波羅尼斯圓，并設(shè)計如下兩個引申習(xí)題。
問題 1：已知平面向量 a，b，c 滿足|a|=3，b+c=2a，且|b|=|b-c|，若對每一個確定的向量b，記|b-ta|（t∈R）的最小值為dmin，則b變化時，dmin的最大值為_______。
問題2：四棱錐P－ABCD滿足AD⊥平面PAB，BC ⊥ 平 面 PAB，AD ＝4，BC ＝8，AB ＝6，∠APD＝∠CPB則四棱錐P－ABCD的體積最大值為_______。
設(shè)計類似題組，能讓學(xué)生學(xué)會對經(jīng)典題型和知識點的歸類，可提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維建模能力。
3.理清思維脈絡(luò)，構(gòu)建邏輯框圖。
學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知過程是一個建構(gòu)的過程，在數(shù)學(xué)認(rèn)知方面需要培養(yǎng)建構(gòu)思維，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、定理、公式、命題以及蘊涵其中的思想方法。為此，提升學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)思維建模能力的第3個策略，是幫助學(xué)生形成邏輯框圖，理順解題思路與策略。
（圖2）
在教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生通過關(guān)鍵詞“垂直”，縱橫鏈接相關(guān)知識點，構(gòu)建解題邏輯框圖。如圖3。
綜上，數(shù)學(xué)思維建模能力的提升是一個逐步的過程。學(xué)生的思維建模有助于學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，實現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的目標(biāo)。
（圖3）
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以上的狀況說明，當(dāng)學(xué)生遇到問題時，缺乏一套相對完整的應(yīng)對策略，筆者認(rèn)為“思維建?！蹦芎芎玫亟鉀Q上面提出的問題。
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國內(nèi)目前也已有部分學(xué)者專家對思維建模的理論進(jìn)行了關(guān)注及研究。北京師范大學(xué)劉儒德在《建模：一種有效的建構(gòu)性學(xué)習(xí)方式》的文章中提出，建模作為一種建構(gòu)性學(xué)習(xí)方式，可促使學(xué)習(xí)者根據(jù)先前的知識經(jīng)驗，使用所給的物件和工具，來探究當(dāng)前情境，建構(gòu)起對當(dāng)前情境的理解，并將自己的這種理解表達(dá)出來，從而可促進(jìn)學(xué)生對知識的深層理解和靈活應(yīng)用。劉教授還具體將建模分為探究性建模和表達(dá)性建模兩種形式，并提出了關(guān)于建模的三種抽象水平，即定量、半定量和定性；他同時強調(diào)，在教學(xué)中，教學(xué)者可根據(jù)學(xué)生的發(fā)展水平，提供適當(dāng)?shù)闹С?，幫助學(xué)生展開不同形式、水平的建模活動。此外，郭秀霞在《淺析思維建模工具對學(xué)習(xí)者思維品質(zhì)的培養(yǎng)》一文中著重對思維建模（思維建模也是一種思維工具）和思維品質(zhì)做出理論性的研討。
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思維建模不是知識建模，是對學(xué)生知識內(nèi)化過程建立的模型。如何才能實現(xiàn)知識的最優(yōu)組合與新知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，促成學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升，是每一位教師都值得思考的問題。筆者對此進(jìn)行了一些探究，具體過程如下：
1.挖掘關(guān)鍵詞，形成知識鏈。
數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，每一個字、每一詞都有確切的含義。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要“字斟句酌”，將每一個字、每一詞的意義講清楚。例如，在教學(xué)“函數(shù)”概念時，通過對“非空”“任意”“唯一”等幾個關(guān)鍵詞的分析，能進(jìn)一步加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解。
提煉關(guān)鍵詞除了可以幫助學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性，也可以讓學(xué)生構(gòu)建問題解決的知識鏈。學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識和做練習(xí)題時，首先要進(jìn)行讀文、讀圖。在讀的過程中要找關(guān)鍵詞，把所找到的關(guān)鍵詞進(jìn)行勾畫、批注。這一步可操作性強，通過長期落實，學(xué)生自主閱讀能力自然提高。關(guān)鍵詞的提煉是思維建模的前提，學(xué)生整合以往所學(xué)數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)經(jīng)驗，從知識、方法和思想三個維度去探索問題的解決方案。具體如圖1所示。
2.剖析經(jīng)典，設(shè)計題組。
美國科學(xué)哲學(xué)家?guī)於髡J(rèn)為學(xué)生正是通過學(xué)習(xí)范例，通過做習(xí)題等活動來掌握一門科學(xué)知識及其方法，沒有范例，科學(xué)知識就不能清楚地表達(dá)出來。設(shè)計題組是思維建模的關(guān)鍵。題組是具有內(nèi)在聯(lián)系的一組習(xí)題，一般先易后難，問題背景可以不同，但核心知識是相同的。思維建模需經(jīng)歷“感知—感受—感悟”一系列過程，在題組設(shè)計上充分考慮學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，切合教學(xué)實際。在課堂實施中要注重學(xué)生的主體性和教師的主導(dǎo)性，讓學(xué)生積極主動參與教與學(xué)的全過程，從而促成各個層次學(xué)生思維的發(fā)展。
例如，在人教版高中數(shù)學(xué)必修二中有如下3道習(xí)題。
（3）已知點 M（x，y）與兩定點 M1，M2的距離之比是一個正數(shù)m，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形。（考慮m=1和m≠1兩種情形）（P144）
以上3道題都涉及平面到兩個定點的距離之比是不等于1的正常數(shù)的點的軌跡，其共同的數(shù)學(xué)背景就是經(jīng)典的軌跡——阿波羅尼斯圓。教學(xué)中可以在分析三道題目共性的基礎(chǔ)上，歸納引出阿波羅尼斯圓，并設(shè)計如下兩個引申習(xí)題。
問題 1：已知平面向量 a，b，c 滿足|a|=3，b+c=2a，且|b|=|b-c|，若對每一個確定的向量b，記|b-ta|（t∈R）的最小值為dmin，則b變化時，dmin的最大值為_______。
問題2：四棱錐P－ABCD滿足AD⊥平面PAB，BC ⊥ 平 面 PAB，AD ＝4，BC ＝8，AB ＝6，∠APD＝∠CPB則四棱錐P－ABCD的體積最大值為_______。
設(shè)計類似題組，能讓學(xué)生學(xué)會對經(jīng)典題型和知識點的歸類，可提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維建模能力。
3.理清思維脈絡(luò)，構(gòu)建邏輯框圖。
學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知過程是一個建構(gòu)的過程，在數(shù)學(xué)認(rèn)知方面需要培養(yǎng)建構(gòu)思維，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、定理、公式、命題以及蘊涵其中的思想方法。為此，提升學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)思維建模能力的第3個策略，是幫助學(xué)生形成邏輯框圖，理順解題思路與策略。
（圖2）
在教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生通過關(guān)鍵詞“垂直”，縱橫鏈接相關(guān)知識點，構(gòu)建解題邏輯框圖。如圖3。
綜上，數(shù)學(xué)思維建模能力的提升是一個逐步的過程。學(xué)生的思維建模有助于學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，實現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的目標(biāo)。
（圖3）
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