李 超，金福藝

（長沙航空職業(yè)技術(shù)學院，湖南 長沙 410124）

目前先進航空發(fā)動機多為采用帶有中介支承的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)[1，2]，例如 F119、EJ200、F136、AL-31F-117S、AL-41F等。采用中介支承不僅可以減少一個承力框架，進而提高推重比，而且通過高、低壓轉(zhuǎn)子的反向旋轉(zhuǎn)使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)工作過程中產(chǎn)生的陀螺力矩，在中介支承位置抵消一部分，避免外傳[3]，大大提高了靜子結(jié)構(gòu)的可靠性。然而，中介支承的出現(xiàn)使得高、低壓轉(zhuǎn)子互相耦合，模態(tài)特征復雜，給分析和設計均帶來一定的困難[4]。雖然眾多學者對航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)展開研究[5-8]，但是多基于商用有限元仿真軟件展開，使得對力學特征的理論分析和結(jié)構(gòu)優(yōu)化的方向均不夠透明。馬艷紅[9,10]等提出了航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)效率的評估參數(shù)和計算方法，在一定程度上，可以合理的定量評價轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的合理性，但是未指出轉(zhuǎn)子優(yōu)化的方向。廖明夫等[11]提出了高壓轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)動力學設計方法，“可容模態(tài)”[12]的設計思想可以有效降低航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子的共振峰值，但是在實際航空發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的應用上，依然具有一定的局限性。國外由于技術(shù)保密等原因，對航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)更深入一步的動力學設計理論與方法鮮有報道。

在充分總結(jié)前人經(jīng)驗基礎上，本文建立了一種典型的帶有中介支承的雙轉(zhuǎn)子耦合力學模型，基于拉格朗日方程獲得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動微分方程解析表達式，通過解析解詳細討論了轉(zhuǎn)速比和轉(zhuǎn)動方向?qū)﹄p轉(zhuǎn)子的渦動頻率，不平衡響應和渦動軌跡的影響,探討該模型對深入分析雙轉(zhuǎn)子的振動特性的重要意義。

1 有中介支點雙轉(zhuǎn)子力學模型

如圖1所示的雙轉(zhuǎn)子模型是Lalanne M. 所提到的模型[13]延伸，其質(zhì)量/剛度沿軸向是非均勻分布的對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，不計阻尼。應用拉格朗日方程,可以得到其振動微分方程。通過得到的解析解，可以得到耦合系統(tǒng)某些定性的運動規(guī)律和一些物理現(xiàn)象所涉及的影響因素，可以給出正確并具有指導意義的結(jié)論。假設：所有軸承的支承剛度均足夠大（轉(zhuǎn)子近似簡支狀態(tài)）；高壓轉(zhuǎn)子只做剛體運動(實際航空發(fā)動機高壓轉(zhuǎn)子亦是在一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速以下，做剛體運動)，則有：

圖1 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)力學模型

轉(zhuǎn)子1可以認為是兩端簡支的彎曲梁，設其中，u和w分別代表x和z方向的位移，對于該轉(zhuǎn)子的求解如下：

角位移如下：

且有：

轉(zhuǎn)子2假設為剛體，因此有：

并且：

因為g2是常數(shù)，所以有：

對于盤和柔性軸動能的一般表達式為：

2 共振轉(zhuǎn)速

從式（27）和（28）可以看出，共振轉(zhuǎn)速除 了與廣義質(zhì)量m（即質(zhì)量的分布形式），廣義剛 度k(剛度的分布形式)有關(guān)，還與幾何構(gòu)形a有關(guān)。同時可以得到雙轉(zhuǎn)子航空發(fā)動機的共振轉(zhuǎn)速隨轉(zhuǎn)速比n的變化規(guī)律，如圖2所示。

圖2 坎貝爾圖

對于C,D兩點，有：

對于A,B兩點，有：

聯(lián)立式（27）和式（28）可以求出相應的共振轉(zhuǎn)速，已標于各圖中。

觀察圖2可得，當兩個轉(zhuǎn)子反向旋轉(zhuǎn)時，隨著轉(zhuǎn)速比增加，轉(zhuǎn)子1和轉(zhuǎn)子2所經(jīng)過正進動和反進動的臨界轉(zhuǎn)速之間距離加大，且兩個轉(zhuǎn)子最外側(cè)的臨界轉(zhuǎn)速出現(xiàn)兩邊靠攏的趨勢，即轉(zhuǎn)子2激起的反進動臨界轉(zhuǎn)速越來越小，轉(zhuǎn)子1激起的正進動越來越大，而兩個轉(zhuǎn)子中間兩個臨界轉(zhuǎn)速則向中間靠，即轉(zhuǎn)子1激起的正進動臨界轉(zhuǎn)速變大，轉(zhuǎn)子2激起的反進動臨界轉(zhuǎn)速變小。

通過比較同轉(zhuǎn)速下的正轉(zhuǎn)和反轉(zhuǎn)可知，正轉(zhuǎn)激起的正進動臨界轉(zhuǎn)速更大，一般不激起反進動，這是因為兩個轉(zhuǎn)子正轉(zhuǎn)時，陀螺力矩的作用使轉(zhuǎn)子剛性增加，所以增大了臨界轉(zhuǎn)速，這是符合實際的。

3 不平衡響應

將偏心不平衡分別加在轉(zhuǎn)子1和轉(zhuǎn)子2上。

3.1 轉(zhuǎn)子1的不平衡響應

系統(tǒng)的振動微分方程如式(24)和(25)，不平衡力如式(20)和(21)。則方程解具有如下形式：

代入振動微分方程，可以解得：

式中：m1為不平衡質(zhì)量。

相應的臨界轉(zhuǎn)速為：

這與式(30)是相同的。

當高、低壓轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速比n=-5，n=-1，n=+1，n=+5時，相應的不平衡響應如圖3所示。

3.2 轉(zhuǎn)子2的不平衡響應

系統(tǒng)的振動系統(tǒng)的振動微分方程如式(24)和(25)，不平衡力具有同式(20)和(21)相同的形式。方程解同樣具有形如式(31)的形式，可以解得：

相應的臨界轉(zhuǎn)速為：

這與式(29)是相同的。

當高、低壓轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速比n= -5，n= -1，n=+1，n= +5時，相應的不平衡響應如圖4所示。

圖3 轉(zhuǎn)子1上的不平衡響應

圖4 轉(zhuǎn)子2上的不平衡響應

以圖4可以看出，當轉(zhuǎn)子1（低壓轉(zhuǎn)子）上存在不平衡量：反向旋轉(zhuǎn)時，隨著轉(zhuǎn)速比的提升，正反進動區(qū)域線（圖中虛線）右移，進動方向由反進動變?yōu)檎M動，且第一次共振峰值明顯增加。正向旋轉(zhuǎn)時，隨著轉(zhuǎn)速比的提升，正反進動區(qū)域線（圖中虛線）左移，轉(zhuǎn)子1的兩階共振峰值均明顯增加。當轉(zhuǎn)速方向由反向變?yōu)檎驎r，兩個共振峰值之間的距離明顯增加，且當兩個轉(zhuǎn)子正向旋轉(zhuǎn)時，隨著轉(zhuǎn)速比的增加，共振峰值間的距離也明顯增加，這對雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)來說是不利的。以上可以看出，正向旋轉(zhuǎn)且轉(zhuǎn)速比較小時，可有效減小轉(zhuǎn)子1上的振動峰值。反向旋轉(zhuǎn)且轉(zhuǎn)速比較小時，可有效減小共振頻率間距。

當轉(zhuǎn)子2（高壓轉(zhuǎn)子）上存在不平衡量：反向旋轉(zhuǎn)時，隨著轉(zhuǎn)速比的提升，正反進動區(qū)域線左移（圖中虛線），共振頻率和振動幅值明顯降低，共振頻率間距明顯減小。正向旋轉(zhuǎn)時，隨著轉(zhuǎn)速比的提升，正反進動區(qū)域線左移（圖中虛線），共振頻率和振動幅值明顯降低，共振頻率間距明顯減小。兼顧轉(zhuǎn)子2振動峰值和共振頻率間距，應選擇反向旋轉(zhuǎn)且轉(zhuǎn)速比較大好一些，當然這對轉(zhuǎn)子1是不利的。因此，轉(zhuǎn)速比的選取應同時兼顧轉(zhuǎn)子1和轉(zhuǎn)子1。

需要注意的是，實際航空發(fā)動機高低壓轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系并非線性，因受氣動條件的限制，高低壓轉(zhuǎn)子之間的轉(zhuǎn)速關(guān)系十分復雜。

4 渦動軌跡

兩個向量的叉積：

4.1 轉(zhuǎn)子1上的不平衡量

當不平衡量在轉(zhuǎn)子1上時，根據(jù)式(32)(33)和式(39)可得：

4.2 轉(zhuǎn)子2上的不平衡量

圖6 轉(zhuǎn)子2存在不平衡質(zhì)量時的渦動軌跡(a)n＜-a1/a2 (b)-a1/a2＜n＜0 (c)n＞0

表達式(56)和(58)相同，但是其渦動軌跡不同。當如圖6所示。

本小節(jié)給出了計算渦動軌跡的方法，由此可以預算轉(zhuǎn)子在任意轉(zhuǎn)速下的運動軌跡，可以通過調(diào)整轉(zhuǎn)速使渦動幅值達到合理的設計值（當也可以通過簡單的臨界轉(zhuǎn)速函數(shù)的零點估計渦動軌跡轉(zhuǎn)型（由正進動變?yōu)榉催M動，或由反進動變?yōu)檎M動）的位置，這些方法對實際航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子設計是有益的。

5 結(jié)論

本文首次搭建起基于假設的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)理論解析力學模型，避開了數(shù)值仿真計算，可以比較清晰的解釋雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)內(nèi)部運動規(guī)律，對航空發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)方案的初始布局設計具有較大的指導意義；轉(zhuǎn)速比（包括轉(zhuǎn)動方向）對航空發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性具有較大的影響，可以通過改變轉(zhuǎn)速比，進而對共振頻率，渦動軌跡進行調(diào)節(jié)，合理選取轉(zhuǎn)速比可以有效地調(diào)節(jié)共振轉(zhuǎn)速的配置，可以減小振動幅值。

根據(jù)本文所提出的雙轉(zhuǎn)子力學模型，可以進一步計算其應變能，探索轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的不同的質(zhì)量、剛度分布對應變能分布形式的影響，這對轉(zhuǎn)子的總體結(jié)構(gòu)設計是有意義的。