廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門高級中學(528225) 徐正印

函數(shù)零點問題在近四年高考數(shù)學的解答題中連續(xù)出現(xiàn).題目設問方式一般有兩種，一種是根據(jù)零點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍;另一種是討論函數(shù)零點的個數(shù).無論是哪種，都需要借助“零點存在定理”，把問題轉(zhuǎn)化為尋求在某個單調(diào)區(qū)間的存在兩個不等的x1、x2，使得它們對應的函數(shù)值異號，即尋求函數(shù)零點所在區(qū)間端點.通常，函數(shù)零點所在區(qū)間的一個端點容易找到，但另一個端點卻很難找.官方提供的答案簡直是天外來客，考生感嘆做夢也想不到!

為此，本文以近年高考試題為例，闡述尋求函數(shù)零點存在區(qū)間端點的思維途徑，以幫助讀者突破難點.

題型一、求函數(shù)有兩個零點時參數(shù)的取值范圍

這類題目一般先討論函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)有兩個零點求參數(shù)的取值范圍.限于篇幅，不詳細討論函數(shù)的單調(diào)性，只研究函數(shù)的零點問題，特別是如何尋求函數(shù)零點存在區(qū)間端點.

例1(2017年新課標I 卷理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(I)討論f(x)的單調(diào)性;

(II)若f(x)有兩個零點，求a 的取值范圍.

分析(I)(i)當a ≤0 時，在(-∞,+∞)上，f(x)單調(diào)遞減.

(II)由(I)知： (i)當a ≤0 時，f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減，f(x)最多有一個零點.

當a ≥1 時，fmin(x) ≥0(當且僅當x = 0 時等號成立)，f(x)最多有一個零點.

綜上所述，a 的取值范圍為(0,1).

難點突破因為0 ＜a ＜1 時， f(x) 在上單調(diào)遞增，所以， 證明“當0 ＜a ＜1時， f(x) 在上有且只有一個零點”的關鍵就是尋求f(x0) ＞ 0 且考慮到f(x) =aex(ex+1) - 2ex- x， x0可能與有關， 自然想到檢驗而不能確定其值為正值; 于是檢驗而就是x0的一個值.其中是利用不等式x-ln x ＞0.

例2(2016年新課標I 卷文科) 已知函數(shù)f(x) =(x-2)ex+a(x-1)2.

(I)討論f(x)的單調(diào)性;

(II)若f(x)有兩個零點，求a 的取值范圍.

分析(I)(1)當a ≥0 時，在(-∞,1)上，f(x)單調(diào)遞減;在(1,+∞)上，f(x)單調(diào)遞增.

(4)當a=0 時，f(x)=(x-2)ex只有一個零點.

(5)當a ＞0 時，在(1,+∞)上，f(x)單調(diào)遞增，f(1) =-e，f(2)=a ＞0，f(x)在(1,+∞)上有且只有一個零點.

(i)當a ≥2 時， 在(-∞,1)上， f(x)單調(diào)遞減， f(1) =-e，f(0)=-2+a ≥0，f(x)在(-∞,1)上有且只有一個零點，f(x)在(-∞,+∞)上有且只有兩個零點.

(ii) 當0 ＜ a ＜ 2 時， 在(-∞,1) 上， f(x) 單調(diào)遞減，f(x) 在(-∞,1)上有且只有一個零點，f(x)在(-∞,+∞)上有且只有兩個零點.

綜上所述，a 的取值范圍為(0,+∞).

難點突破因為當a ＞0 時，f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞減，f(1) ＜0， 所以證明“當a ＞0 時， f(x)在(-∞,1)上有且只有一個零點”的關鍵就是尋求f(x0) ＞0 且x0＜1.考慮到f(x) = (x-2)ex+a(x-1)2，首先想到檢驗f(0)，而f(0) = -2+a， 可見當a ≥2 時， 0 就是x0的一個值.當0 ＜a ＜2 時，f(0)＜0，可見0 不是x0的值，x0的值應該是負值.考慮到于是想到檢驗而

例3(2014年高考山東卷理科第20 題) 函數(shù)f(x) =是自然對數(shù)的底數(shù)，k 為常數(shù)，

(I)當k ≤0 時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點，求k 的取值范圍.

分析(I) 當k ≤0 時， 在(0,2) 上， f(x) 單調(diào)遞減; 在(2,+∞)上，f(x)單調(diào)遞增.

(II)(1)由(I)知： 當k ≤0 時，在(0,2)上，f(x)單調(diào)遞減，f(x)沒有極值點.

(2)當k ＞0 時，

題型二、討論函數(shù)零點的個數(shù)

這類題目一般要先對所給的變形(分離常數(shù)或參數(shù))，提取具有單調(diào)性的一個簡單的函數(shù)，再討論新函數(shù)的的函數(shù)的單調(diào)性，利用新函數(shù)的單調(diào)性與零點存在定理確定函數(shù)零點的個數(shù).

例4(2015年新課標I 卷文科第21 題) 設函數(shù)f(x)=e2x-a ln x.

(I)討論f(x)的導函數(shù)f′(x)的零點的個數(shù);

解(I)f′(x)=

(1)當a ≤0 時，在(0,+∞)上，f′(x) ＞2，f′(x)沒有零點.

綜上所述，當a ＜0 時，f′(x)零點的個數(shù)為0;當a ＞0，f′(x)的零點個數(shù)為1.

(II)略.

難點突破因為當a ＞0 時，g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，g(a) ＞0，所以證明“當a ＞0 時，g(x)在(0,+∞)上有且只有一個零點”的關鍵就是尋求g(x0)＜0 且0 ＜x0＜a.考慮到自然想到檢驗不夠小;想到檢驗當0 ＜a ≤1 時，就是x0的一個值.當a ＞1 時，不能確定其為負值;不是x0的一個值.就是x0的一個值.

例5(2018 新課標II 卷文科第21 題) 已知函數(shù)

(I)若a=3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)求證： f(x)只有一個零點.

解(I)略;(II)因為

所以

在? 上， g′(x) ＞ 0， g(x) 單調(diào)遞增， g(x) 最多有一個零點.

g(x)只有一個零點.

難點突破因為g(x)在? 上單調(diào)遞減，所以證明“g(x)只有一個零點”的關鍵就是尋求g(x1)＞0 且g(x2)＜0，其中x1x2.

自然想到檢驗 g(3a + 1)， 而 g(3a + 1)=就是x1的一個值.因為g(x) 在? 上單調(diào)遞增， 所以x2＜ 3a + 1，自然想到檢驗g(3a)， 而不能確定其值為負值， 說明3a 不夠小， 于是檢驗g(3a-1)，而g(3a-1) =就是x2的一個值.

另外，本題容易誤導考生這樣思考： f′(x)=x2-2axa=(x-a)2-a(a+1)，

(i)當a(a+1) ≤0 時，在? 上，f′(x) ≥0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)最多有一個零點，問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)在零點區(qū)間的端點.

讓考生陷于繁雜的運算，欲罷不能!

例6(2018年新課標II 卷理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(I)若a=1，求證： 當x ≥0 時，f(x)≥1;

(II)若f(x)在(0,+∞)上只有一個零點，求az.

解(I)略;(II)f(x)=ex設(x ∈?)， 則f(x) 在(0,+∞) 上只有一個零點?g(x) 在(0,+∞)上只有一個零點.

(1)當a ≤0 時，g(x)≥1，g(x)在(0,+∞)上沒有零點.

由(I) 知： 當x ＞0 時， ex＞x2+ 1， 4a ＞e2＞5，在(2,+∞) 上有且只有一個零點.g(x)在(0,+∞)上有且只有兩個零點.

難點突破因為當時，g(x)在(2,+∞)單調(diào)遞增， g(2) ＜0， 所以證明“當時， g(x)在(2,+∞)上有且只有一個零點”的關鍵是尋求g(x0) ＞0 且x0＞2.說明要找的x0可能與a 有關.考慮到想到檢驗g(2a)，而不能確定其值為正值， 2a 不夠大; 又想到檢驗g(4a)，4a 就是x0的一個值.