黃 浩，王良龍

(1.合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽合肥230601；2.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230039)

積分微分方程可以對(duì)生物學(xué)、化學(xué)動(dòng)力學(xué)、電力學(xué)、流體力學(xué)等許多領(lǐng)域中的問(wèn)題進(jìn)行建模。近年來(lái)，確定型的Volterra型積分微分方程由于其很強(qiáng)的應(yīng)用性而備受關(guān)注，一些學(xué)者利用預(yù)解算子理論研究其溫和解的存在性和可控性，獲得了一系列結(jié)果[1-3]。此處的預(yù)解算子與抽象空間中微分方程的發(fā)展算子在形式上類似，但由于其不滿足半群性質(zhì)，因此本質(zhì)不同。

Sakthivel[1]考察了式(1)形式的非線性發(fā)展積分微分方程

借助預(yù)解算子理論和不動(dòng)點(diǎn)定理得到了方程(1)可控的結(jié)果。顯然，方程(1)是退化的,而在很多實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域中，用中立型積分微分方程去刻畫現(xiàn)實(shí)模型更為貼切,如:可以將具有有限波速的剛性熱傳導(dǎo)方程抽象為中立型Volterra型積分微分方程來(lái)研究[4]。慮到現(xiàn)實(shí)生活中一些系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)都充分依賴于過(guò)去的狀態(tài),Liu[2]研究了一類具無(wú)窮時(shí)滯的非線性中立型發(fā)展積分微分方程,利用Schaefer不動(dòng)點(diǎn)定理、預(yù)解算子理論和粘貼技巧獲得了系統(tǒng)可控性的充分條件。

時(shí)滯依賴于狀態(tài)的微分方程可以用來(lái)建立電動(dòng)力學(xué)中的粒子運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型[5],在近些年被廣泛應(yīng)用于物理、生態(tài)學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域[6-7]。此外,Ito型隨機(jī)微分方程(SDE)能夠更為貼切地描述現(xiàn)實(shí)世界中的隨機(jī)現(xiàn)象[8]。因此,考慮脈沖和隨機(jī)白噪聲的綜合影響,研究時(shí)滯依賴于狀態(tài)的脈沖中立型隨機(jī)積分微分方程更具現(xiàn)實(shí)意義。Lin等[9]和Li等[10]分別利用解析預(yù)解算子理論和不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了脈沖中立型隨機(jī)積分微分方程溫和解的存在性和漸近可控性結(jié)果,Ma等[11]利用分?jǐn)?shù)階算子理論、算子半群方法和不動(dòng)點(diǎn)定理研究了一類分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的脈沖中立型隨機(jī)積分微分方程的指數(shù)穩(wěn)定性，但他們并沒(méi)有考慮時(shí)滯依賴于狀態(tài)的情形，而且文獻(xiàn)[9-11]中所用到的解析預(yù)解算子理論和分?jǐn)?shù)階算子理論也不能用來(lái)處理如方程(1)中帶有算子族A(t)的隨機(jī)發(fā)展積分微分方程的相關(guān)問(wèn)題。

受文獻(xiàn)[1-2]啟發(fā),本文研究如下帶有無(wú)窮時(shí)滯且時(shí)滯依賴于狀態(tài)的脈沖中立型隨機(jī)發(fā)展積分微分方程溫和解的存在性。

1 預(yù)備知識(shí)

L(K;H)表示由K到H的有界線性算子的全體，賦以范數(shù)||?||。設(shè)對(duì)稱的非負(fù)定跡族算子Q:K→K，滿足是Q的非負(fù)特征值序列。記L(K,H)為L(zhǎng)(K;H)的完備化空間，其范數(shù)定義為Q。將強(qiáng)可測(cè)且均方可積的H—值隨機(jī)變量的集合記為L(zhǎng)2(Ω,H)，范數(shù)定義為。記C(J,L2(Ω,H))為所有將J映到L2(Ω,H)，且滿足 supt∈JE||x(t)||2＜∞的連續(xù)映射組成的Banach 空間，其子集定義為是L0可測(cè)的}。關(guān)于Q-Wiener過(guò)程更為詳細(xì)的介紹參見(jiàn)文獻(xiàn)[12]。

如果函數(shù)x:[α,β]→H是分段連續(xù)且在區(qū)間(α,β]上左連續(xù)，則稱x在區(qū)間[α,β]上是標(biāo)準(zhǔn)的分段連續(xù)函數(shù)。將區(qū)間[α,β]映到H的標(biāo)準(zhǔn)分段連續(xù)且Ft—適應(yīng)的可測(cè)過(guò)程的集合記為P([α,β],H)。用P來(lái)表示所有Ft—適應(yīng)可測(cè)的H—值隨機(jī)過(guò)程{x(t):t∈[0,T]}的全體，其中x在t≠tk處連續(xù)，且存在，k=1,2,…,n，則(P,||·||P)是一個(gè)Banach空間，其上范數(shù)為

將(-∞,0]映到H的F0—可測(cè)函數(shù)的集合定義為相空間?并賦以半模||·||?，則?滿足以下公理性假設(shè)[13]：

Hg1：若x:(-∞,η+T]→H，T＞0 使得xη∈? 和x|[η,η+T]∈P([η,η+T],H)，則對(duì)任意的t∈[η,η+T)，下列條件成立：

1)xt∈?,

2)E||x(t)||≤γ||xt||,

其中γ＞0 是一個(gè)常數(shù)，M(·),N(·):[0,+∞)→[0,+∞)，M(·)是連續(xù)的，N(·)是局部有界的，γ，M(·)，N(·)與x(·)無(wú)關(guān)。對(duì)于 Hg1中的x(·)，xt在 [η,η+T]上是 ? —值連續(xù)函數(shù)。

Hg2：空間?是完備的。

引理1[9]設(shè)x:(-∞,T]→H是一個(gè)Ft適應(yīng)的可測(cè)過(guò)程，使得F0—適應(yīng)過(guò)程且x|J∈P(J,H)，則有

對(duì)于?t∈[0,T]，方程(2)中的A(t)是閉線性算子族。設(shè)：D(A)為其定義域，為稠密的且與t無(wú)關(guān)；0≤s≤t≤T，B(t,s)也是閉線性算子族；Y是D(A)的子集，賦以圖范數(shù)||y||Y=:||A(0)y||+||y||，?y∈Y，則Y是一個(gè)Banach空間。將Y映到H的有界線性算子全體記為B(Y,H)，用B(H)表示H中的有界線性算子。此外，假設(shè)A(t)和B(t,s)分別在0≤t≤T和0≤s≤t≤T上連續(xù)。

定義1[1,14]方程(2)的預(yù)解算子R(t,s)∈B(H)，0≤s≤t≤T具有如下性質(zhì)：

1)R(t,s)關(guān)于s和t是強(qiáng)連續(xù)的，R(s,s)=I，0≤s≤T，且存在常數(shù)M和β使得||R(t,s)||≤Meβ(t-s)；

2)R(t,s)Y?Y，R(t,s)在Y上關(guān)于s和t是強(qiáng)連續(xù)的；

3)對(duì)于任意的x∈D(A)，R(t,s)x關(guān)于s和t強(qiáng)連續(xù)可微，且有

2 主要結(jié)論

定義2如果x0=φ∈?，xρ(s,xs)∈? 滿足，x|J∈P，s∈J。當(dāng)s∈[0,T]時(shí)，函數(shù)A(s)R(t,s)h(s,xs)可積，且如下條件成立：

1){xt:t∈J}是 ? —值的，且x(·)在(tk,tk+1]，k=1,2,…,n上連續(xù)；

2) Δx(tk)=Ik(xtk)，k=1,2,…,n；

3)對(duì)于任意的t∈J}，x(t)滿足

則稱Ft適應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程x:(-∞,T]→H是方程(2)的一個(gè)溫和解。

假設(shè)ρ:J×?→(-∞,T]是連續(xù)的且φ∈?，并作如下假設(shè)：

(H1)令R(ρ-)={ρ(s,ψ)≤0,ρ(s,ψ):(s,ψ)∈J×?}。 函數(shù)t→φt將集合R(ρ-)映到 ?，且存在連續(xù)有界函數(shù)Jφ:R(ρ-)→(0,∞)使得||φt||?≤Jφ(t)||φ||?，t∈R(ρ-)。

(H2)存在常數(shù)Mi＞0，i=1,2,3，使得||R(t,s)||2≤M1，||R(t,s)A(s)||2≤M2，||B(t,s)||2≤M3。

(H3)映射F:J×?→H是連續(xù)的且存在常數(shù)MF＞0 和，對(duì)于任意的x,y∈?，有。

(H4)映射f:J×?→H是連續(xù)的且存在常數(shù)Mf＞0和，對(duì)于任意的x,y∈?，有。

(H5)映射σ:J×?→LQ(K,H)是連續(xù)的且存在常數(shù)Mσ＞0 和，對(duì)于任意的x,y∈?，有。

(H6)映射Ik：?→H是連續(xù)的且存在常數(shù)MIk＞0 和，k=1,2,…,n,對(duì)于任意的x,y∈?，有。

由公理性假設(shè)Hg1及假設(shè)條件(H1)易得如下引理：

引理2設(shè)x：(-∞,T]→H，x0=φ且x|J∈P，則有

定理1假設(shè)條件(H1)-(H6)成立且。若

則方程(2)存在一個(gè)溫和解。

證明令Y={x∈P:x(0)=φ(0)}為一個(gè)一致收斂拓?fù)淇臻g。對(duì)于任意的正數(shù)r，記Br(0,Y)={x∈Y:E||x||2≤r}，則Br(0,Y)是Y中的一個(gè)有界閉凸子集。定義算子Φ:Y→Y如下：

第一步：存在常數(shù)r＞0，使得Φ(Br(0,Y))?Br(0,Y)。

對(duì)于任意的r＞0，Br(0,Y)={x∈Y|E||x||2≤r}顯然是P的一個(gè)有界閉凸子集。可斷言存在正數(shù)r＞0使得Φ(Br(0,Y))?Br(0,Y)成立。假如斷言不成立，則對(duì)?r＞0，存在xr(tr)∈Br(0,Y)，但Φ(xr)?Br(0,Y)，即存在tr∈J使得r＜E||(Φxr)(tr)||2。然而，由引理2，Ho¨lder不等式和其他假設(shè)條件可知

這與式(5)矛盾，故斷言成立。

第二步：Φ是壓縮的。取x,y∈Br(0,)，有

其中

由式(3)可知l1＜1，從而可證算子Φ是壓縮的。利用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理知算子Φ在Br(0,Y)存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，其實(shí)該不動(dòng)點(diǎn)也就是方程(2)的一個(gè)溫和解。

3 實(shí)例論證

考慮如下時(shí)滯依賴于狀態(tài)的隨機(jī)熱傳導(dǎo)方程：

其中w(t)表示實(shí)可分的Hilbert空間H中的一個(gè)Wiener過(guò)程。設(shè)H=L2[0,1]，a(t,y)和B(t,s)是連續(xù)函數(shù)且存在正數(shù)M使得||B(t,s)||2≤M。

定義A(t):H→H為 (A(t)ω)(y)=a(t,y)ω″，其定義域?yàn)镈(A)={ω∈H:ω,ω″絕對(duì)連續(xù)，ω″∈H,ω(0)=ω(1)=0}。R(t,s)為方程(6)的一個(gè)預(yù)解算子并滿足||R(t,s)||2≤M1，||R(t,s)A(s)||2≤M2，其中M1和M2為兩個(gè)正數(shù)。

這里取相空間 ?=P0×L2(g,H)，其驗(yàn)證見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。假設(shè)當(dāng)t≤0 時(shí)，函數(shù)φ(t,·)∈? 且φ(t,y)=φ(t)(y)，(t,y)∈(-∞,0]×[0,1]。定義映射h，f，ρ，σ，Ik如下：

于是方程(6)能抽象為方程(2)。另外，作如下假設(shè)：

1)函數(shù)z1，z2在(-∞,0]上連續(xù)，且有

2)函數(shù)bk在R上連續(xù)且。

3)函數(shù)c:R→R，ρi:[0,∞)→[0,∞)(i=1,2)均連續(xù)，且有

在以上假設(shè)條件下，可得h，f，σ，Ik(k=1,2,…,n)均有界，即||h||2≤Mh，||f||2≤Mf，||σ||2≤Mσ，||Ik||2≤MIk,k=1,2,…,n。因此，由定理1可知方程(6)在J上存在一個(gè)溫和解。