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        基于變權(quán)新息協(xié)方差的自適應(yīng)卡爾曼濾波器

        2019-07-11 11:46:38朱文超
        關(guān)鍵詞:新息歷元協(xié)方差

        朱文超, 何 飛

        (1.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所, 安徽 合肥 230041; 2.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué), 安徽 合肥 230027;3.中國(guó)科學(xué)院合肥智能機(jī)械研究所, 安徽 合肥 230031)

        卡爾曼(Kalman)濾波器具有實(shí)時(shí)性高、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量小、估計(jì)精度高等特點(diǎn),已廣泛運(yùn)用于數(shù)字信號(hào)處理、故障聯(lián)合診斷、目標(biāo)跟蹤等領(lǐng)域[1]。然而,傳統(tǒng)Kalman濾波器依賴于系統(tǒng)模型的準(zhǔn)確性,當(dāng)狀態(tài)參數(shù)發(fā)生擾動(dòng)時(shí),通常無(wú)法精確跟蹤系統(tǒng)突變狀態(tài),嚴(yán)重時(shí)會(huì)發(fā)生發(fā)散現(xiàn)象[2]。針對(duì)這一問(wèn)題,文獻(xiàn)[3-4]針對(duì)SINS/DVL組合導(dǎo)航系統(tǒng),利用Sage-Husa估計(jì)原理確定量測(cè)新息協(xié)方差的取值準(zhǔn)則,并實(shí)時(shí)解算漸消因子,調(diào)整預(yù)測(cè)協(xié)方差。文獻(xiàn)[5-6]將強(qiáng)跟蹤思想融入自適應(yīng)容積Kalman濾波器,提升其魯棒特性,解決因船舶及飛行器運(yùn)動(dòng)模型偏差導(dǎo)致濾波精確度下降的問(wèn)題。文獻(xiàn)[7-8] 在強(qiáng)跟蹤濾波器中引入了限定記憶理論,形成區(qū)間Kalman濾波器,通過(guò)漸消因子修正濾波增益,增強(qiáng)跟蹤突變狀態(tài)的能力。文獻(xiàn)[9]利用交互多模型算法與衰減記憶Kalman濾波,實(shí)時(shí)更新衰減因子,調(diào)整濾波增益,并成功運(yùn)用于預(yù)警機(jī)運(yùn)動(dòng)跟蹤領(lǐng)域。文獻(xiàn)[10] 基于模糊控制理論模型,動(dòng)態(tài)調(diào)整弱化因子與漸消因子,膨脹量測(cè)新息,降低估計(jì)誤差,并成功應(yīng)用于GPS定位解算領(lǐng)域中。

        然而,上述研究均未對(duì)狀態(tài)突變程度進(jìn)行分層,致使?fàn)顟B(tài)收斂速度慢。為解決該問(wèn)題,本文在濾波發(fā)散判據(jù)的基礎(chǔ)上,梳理儲(chǔ)備系數(shù)與量測(cè)新息協(xié)方差的關(guān)系,對(duì)狀態(tài)突變程度進(jìn)行劃分,針對(duì)不同幅度的狀態(tài)突變,利用變權(quán)新息協(xié)方差求解漸消因子,提升了估計(jì)精度,能實(shí)時(shí)跟蹤系統(tǒng)突變狀態(tài)。

        1 Kalman濾波

        1.1 線性離散時(shí)間系統(tǒng)

        k歷元下,線性離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程和量測(cè)方程可表示為

        Xk=Φk,k-1Xk-1+Γk,k-1Uk-1+Ψk,k-1Wk-1

        (1)

        Zk=HkXk+Vk

        (2)

        式中:Xk是m維狀態(tài)向量;Φk,k-1是m×m維k-1歷元過(guò)渡至k歷元的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;Uk-1是p維輸入控制量;Γk,k-1是m×p維控制輸入系數(shù)矩陣;Wk-1是q維系統(tǒng)過(guò)程噪聲序列;Ψk,k-1是m×q維過(guò)程噪聲系數(shù)矩陣;Zk是j維量測(cè)向量;Hk是j×m維量測(cè)系數(shù)矩陣;Vk是j維系統(tǒng)量測(cè)噪聲序列。

        1.2 傳統(tǒng)Kalman濾波魯棒性分析

        假設(shè)狀態(tài)擾動(dòng)(控制參數(shù)突變、噪聲統(tǒng)計(jì)特性變化等)于k歷元加載至穩(wěn)態(tài)系統(tǒng),則真實(shí)狀態(tài)將發(fā)生突變,突變信息首先表現(xiàn)在量測(cè)新息,作用于狀態(tài)模型中的系數(shù)矩陣,如擾動(dòng)方程(3)中ΔΦk,k-1、ΔΓk,k-1、ΔΨk,k-1。若仍依靠舊模型進(jìn)行狀態(tài)估計(jì),則必然產(chǎn)生較大的偏差。然而,穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的濾波增益為定值,無(wú)法實(shí)時(shí)增權(quán)量測(cè)新息,估計(jì)量將逐漸偏離真實(shí)值,最終發(fā)散。

        Xk=(Φk,k-1+ΔΦk,k-1)Xk-1+(Γk,k-1+ΔΓk,k-1)Uk-1+

        (Ψk,k-1+ΔΨk,k-1)Wk-1

        (3)

        精確跟蹤系統(tǒng)突變狀態(tài),避免濾波發(fā)散的方法有2種:1)研究擾動(dòng)參數(shù)特性,構(gòu)建精確的數(shù)學(xué)模型,獲取準(zhǔn)確預(yù)測(cè)估計(jì);2)實(shí)時(shí)激活濾波增益,在狀態(tài)擾動(dòng)環(huán)境下,增權(quán)量測(cè)新息。

        然而,擾動(dòng)種類繁多,特性復(fù)雜,難以準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型。本文在分析狀態(tài)突變程度的基礎(chǔ)上,綜合考慮跟蹤精度及算法時(shí)耗,利用變權(quán)量測(cè)新息協(xié)方差解算漸消因子,激活濾波增益,增權(quán)量測(cè)新息,實(shí)時(shí)精確跟蹤系統(tǒng)突變狀態(tài)。

        2 自適應(yīng)Kalman濾波

        2.1 自適應(yīng)Kalman遞推公式

        在傳統(tǒng)Kalman濾波的基礎(chǔ)上,引入漸消因子λk優(yōu)化預(yù)測(cè)估計(jì)協(xié)方差,結(jié)合線性離散時(shí)間系統(tǒng)模型,獲取自適應(yīng)Kalman濾波遞推公式。

        1)狀態(tài)預(yù)測(cè)。

        狀態(tài)預(yù)測(cè)估計(jì)

        (4)

        預(yù)測(cè)估計(jì)協(xié)方差

        (5)

        2)觀測(cè)更新。

        量測(cè)新息

        (6)

        濾波增益

        (7)

        最優(yōu)估計(jì)

        (8)

        后驗(yàn)協(xié)方差

        (9)

        式中:Qk-1、Rk分別為過(guò)程噪聲Wk-1與量測(cè)噪聲Vk的協(xié)方差矩陣。

        2.2 漸消因子解算

        線性最優(yōu)Kalman濾波最重要的一個(gè)特點(diǎn)是當(dāng)濾波增益最優(yōu)時(shí),量測(cè)新息序列Yk處處正交。自相關(guān)函數(shù)[12]可表示為

        (10)

        式中:Ck為量測(cè)新息協(xié)方差矩陣,上標(biāo)opt代表最優(yōu)矩陣。

        依據(jù)Kalman濾波遞推公式,化簡(jiǎn)式(10),為

        (11)

        (12)

        (13)

        式中:上標(biāo)base代表傳統(tǒng)Kalman濾波器產(chǎn)生的協(xié)方差矩陣。

        (14)

        (15)

        聯(lián)立式(12)、式(14)、式(15)進(jìn)行矩陣的跡運(yùn)算,獲取λk的函數(shù)解析式

        (16)

        (17)

        (18)

        式中:ξk-j為各歷元新息協(xié)方差權(quán)值;bk為k歷元下的突變程度系數(shù);[N/μ0]為取整函數(shù)。

        (19)

        (20)

        綜合式(16)—(20),獲取漸消因子λk的三段式函數(shù)模型,即

        (21)

        3 試驗(yàn)驗(yàn)證

        本文以中科院智能機(jī)械研究所自行研制的雙E型彈性體六維力傳感器為研究對(duì)象,在靜態(tài)標(biāo)定環(huán)境下,研究傳統(tǒng)Kalman濾波器(traditional Kalman filter,TKF)、抗差Kalman濾波器[15](robust Kalman filter,RKF)、自適應(yīng)Kalman濾波器(adaptive Kalman filter,AKF)的魯棒特性。

        六維力傳感器標(biāo)定實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖1所示。依次從Fz方向標(biāo)定數(shù)據(jù)庫(kù)中抽取恒載、卸載、加載3種控制方式的量測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。其中:恒載輸出的理論值為25 mV;卸載輸出的理論值為10 mV;加載輸出的理論值為60 mV。取限定記憶窗口長(zhǎng)度N=8;儲(chǔ)備系數(shù)μ0=2。假設(shè)前47歷元,傳感器持續(xù)進(jìn)行恒載輸出,第48歷元時(shí),分別進(jìn)行卸載或加載操作,狀態(tài)將產(chǎn)生不同程度的突變,理想突變趨勢(shì)如圖2所示。由于系統(tǒng)狀態(tài)突變的原因?yàn)閭鞲衅鬏d荷變化,即輸入控制發(fā)生變化,故k歷元下的擾動(dòng)方程(3)可化為式(22),分別利用TKF、RKF、AKF對(duì)量測(cè)值進(jìn)行濾波處理,結(jié)果如圖3—7所示。

        Xk=Xk-1+(Uk-1+ΔUk-1)+Wk-1

        (22)

        圖 1 六維力傳感器標(biāo)定實(shí)驗(yàn)臺(tái)

        圖 2 理想狀態(tài)突變信號(hào)

        圖 3 恒載至卸載3種算法跟蹤效果

        圖3—5反映了恒載轉(zhuǎn)變至卸載環(huán)境下,3種算法的跟蹤效果。從圖4中可以看出,前47歷元,系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)環(huán)境,AKF與RKF均退化為TKF。3種算法狀態(tài)收斂速度與估計(jì)精度均相同。

        系統(tǒng)狀態(tài)在第48歷元發(fā)生突變,TKF算法逐漸偏離真實(shí)狀態(tài),后驗(yàn)誤差無(wú)限增大,如圖3所示。反觀AKF與RKF,兩者均能有效地跟蹤系統(tǒng)突變狀態(tài)。由于狀態(tài)突變程度較淺,故AKF采用均權(quán)新息協(xié)方差求解λk。此時(shí)AKF退化為RKF,兩者估計(jì)性能相同,如圖5所示。

        圖 4 恒載3種算法跟蹤效果

        圖 5 卸載后RKF與AKF跟蹤效果

        圖6—7反映了恒載轉(zhuǎn)變至加載環(huán)境下,3種算法的跟蹤效果。系統(tǒng)狀態(tài)在第48歷元突變,TKF濾波發(fā)散。RKF利用均權(quán)漸消因子增權(quán)量測(cè)信息,有效跟蹤突變狀態(tài)。然而,AKF調(diào)整了各歷元新息協(xié)方差的權(quán)值,在保證平滑性的同時(shí),深層次利用當(dāng)前量測(cè)新息跟蹤狀態(tài),濾波性能優(yōu)于RKF。尤其在第78歷元至第100歷元階段,AKF狀態(tài)收斂速度優(yōu)于RKF。從表1中可以看出,相較于RKF,AKF穩(wěn)態(tài)精度提升了42.05%

        圖 6 恒載至加載3種算法跟蹤效果

        圖 7 加載后RKF與AKF跟蹤效果

        濾波算法突變后誤差精度提升RKFAKF2.645 21.532 9—42.05%

        4 結(jié)論

        為解決傳統(tǒng)Kalman濾波無(wú)法精確跟蹤系統(tǒng)突變狀態(tài)的問(wèn)題,設(shè)計(jì)了自適應(yīng)Kalman濾波器,針對(duì)不同的狀態(tài)突變程度,采用變權(quán)新息協(xié)方差求解漸消因子,實(shí)時(shí)激活濾波增益,增權(quán)量測(cè)新息。實(shí)驗(yàn)表明,所述自適應(yīng)Kalman濾波器具有較強(qiáng)健的魯棒性,穩(wěn)態(tài)精度優(yōu)于抗差Kalman濾波。然而,本文僅分析了標(biāo)量漸消因子的求解方法,對(duì)于多維漸消因子的優(yōu)化策略,還有待于進(jìn)一步深入研究。

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