梁曉艷，高 麗，高 倩

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

對(duì)于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)φ(n)表示1，2，…n-1中與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。歐拉函數(shù)在數(shù)論中有著重要的作用，近年來(lái)，有關(guān)歐拉函數(shù)的性質(zhì)以及歐拉方程吸引了很多學(xué)者的興趣。在文獻(xiàn)[1-7]中分別研究了k=2，4，5，6，7，8，9時(shí)歐拉函數(shù)方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))的全部正整數(shù)解。文獻(xiàn)[8-10]研究了三元?dú)W拉函數(shù)方程當(dāng)k=3，4，5時(shí)φ(abc)=k(φ(a)+φ(b)+φ(c)的全部正整數(shù)解。文獻(xiàn)[11]研究了四元?dú)W拉方程φ(abcd)=2(φ(a)+φ(b)+φ(c)+φ(d)的全部正整數(shù)解。文獻(xiàn)[12]研究了三元變系數(shù)歐拉方程φ(abc)=2φ(a)+3φ(b)+4φ(c)的全部正整數(shù)解。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，利用初等數(shù)論的相關(guān)知識(shí)研究了歐拉函數(shù)方程φ(abc)=φ(a)+3(b)+5φ(c)的正整數(shù)解。

1 相關(guān)引理

當(dāng)(m,n)=1時(shí)，有φ(mn)=φ(m)φ(n)。

引理3[1]當(dāng)n≥2時(shí)，有φ(n)

引理4[1]在歐拉函數(shù)方程φ(abc)=k+hφ(c)中，若φ(ab)≥k+h+1，則該方程無(wú)正整數(shù)解。

2 結(jié)論及證明

定理1 歐拉函數(shù)方程φ(abc)=φ(a)+3(b)+5φ(c)共有19組正整數(shù)解，其解為：

(a，b，c)=(2，14，2)，(2，18，2)，(3，5，3)，(3，8，3)，(3，10，3)，(3，5，6)，(6，5，3)，(3，4，13)，(4，3，13)，(15，1，2)，(15，2，1)，(16，1，2)，(16，2，1)，(20，1，2)，(20，2，1)，(24，1，2)，(24，2，1)，(30，1，2)，(30，2，1)。

證明：對(duì)于歐拉函數(shù)方程

φ(abc)=φ(a)+3(b)+5φ(c)

(1)

由引理3所以φ(a)+3φ(b)+5φ(c)=

φ(abc)≥φ(a)φ(b)φ(c)，

φ(a)+3φ(b)=φ(abc)-5φ(c)≥

φ(a)φ(b)φ(c)-5φ(c)，

(φ(a)φ(b)-5)φ(c)≥φ(a)φ(b)-5，

即(φ(a)-3)(φ(b)-1)≤8。

根據(jù)φ(a)、φ(b)的不同取值分10種情況分別進(jìn)行討論：

情況1：當(dāng)(φ(a)-3)(φ(b)-1)<0時(shí)，則有

φ(a)=1,2,φ(b)>1。

1.1當(dāng)φ(a)=1,φ(b)>1時(shí)，有

1+3φ(b)+5φ(c)=φ(abc)≥φ(b)φ(c)，

即(φ(b)-5)(φ(c)-3)≤16。

(1)當(dāng)φ(a)=1,φ(b)=2時(shí)，φ(c)為任意值時(shí)，此時(shí)(1)為φ(abc)=7+5φ(c)，經(jīng)檢驗(yàn)，(1)無(wú)解。

(2)當(dāng)φ(a)=1,φ(b)=4時(shí)，此時(shí)φ(abc)=13+5φ(c)，經(jīng)檢驗(yàn)，(1)無(wú)解。

(3)當(dāng)φ(a)=1,φ(b)=6時(shí)，此時(shí)φ(c)-3≤16，即φ(c)=1，2，4，6，8，10，12，14，16，18。

若φ(c)=1,φ(abc)=24，即abc=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90，又a=c=1,2,b=7,9,14,18，將a,b,c的值因子分解，在a,b,c中尋找相關(guān)因子，得(a,b,c)=(2,14,2),(2,18,2)使(1)成立。

若φ(c)=2，4，6，8，10，12，14，16，18時(shí)，

φ(abc)=19+5φ(c)，由引理3知(1)無(wú)解。

(4)當(dāng)φ(a)=1,φ(b)=8時(shí)，此時(shí)φ(c)-3≤5，即φ(c)=1，2，4，6，8。

若φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=30，即abc=31,62，經(jīng)檢驗(yàn)，(1)無(wú)解。

若φ(c)=2，4，6，8時(shí)，φ(abc)=25+5φ(c)，由引理3知(1)無(wú)解。

(5)當(dāng)φ(a)=1,φ(b)=10時(shí)，此時(shí)φ(c)-3≤3，即φ(c)=1，2，4，6。

若φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=36，abc=37，57，63，74，76，108，114，126，經(jīng)檢驗(yàn)，(1)無(wú)解。

若φ(c)=2，4，6時(shí)，φ(abc)=31+5φ(c)，由引理3知(1)無(wú)解。

(6)當(dāng)φ(a)=1,φ(b)=12時(shí)，此時(shí)φ(c)-3≤2，即φ(c)=1，2，4。

若φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=42，abc=43，49，86，98，經(jīng)檢驗(yàn)，(1)無(wú)解。

若φ(c)=2，4時(shí)，φ(abc)=37+5φ(c)，由引理3知(1)無(wú)解。

(7)當(dāng)φ(a)=1,φ(b)=14時(shí)，此時(shí)不存在b使得φ(b)=14成立。

(8)當(dāng)φ(a)=1,φ(b)=16時(shí)，此時(shí)φ(c)-3≤1，即φ(c)=1，2，4。

若φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=54，abc=81,162，經(jīng)檢驗(yàn)，(1)無(wú)解。

若φ(c)=2,4時(shí)，φ(abc)=49+5φ(c)，由引理3知(1)無(wú)解。

(9)當(dāng)φ(a)=1,φ(b)=18時(shí)，此時(shí)φ(c)-3≤1，即φ(c)=1,2,4。

若φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=60，abc=61，77，93，99，122，124，154，186，198，經(jīng)檢驗(yàn)，(1)無(wú)解。

若φ(c)=2，4時(shí)，φ(abc)=55+5φ(c)，由引理3知(1)無(wú)解。

(10)當(dāng)φ(a)=1,φ(b)=20時(shí)，此時(shí)φ(c)-3≤1，即φ(c)=1,2,4。

若φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=66，abc=67,134，經(jīng)檢驗(yàn)，(1)無(wú)解。

若φ(c)=2,4時(shí)，φ(abc)=61+5φ(c)，由引理3知(1)無(wú)解。

(11)當(dāng)φ(a)=1,φ(b)=22時(shí)，此時(shí)φ(c)-3≤1，即φ(c)=1,2,4。

若φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=72，

abc=73,91，95，111，117，135，146，148，152，182，190，216，222，228，234，252，270，

經(jīng)檢驗(yàn)，(1)無(wú)解。

若φ(c)=2,4時(shí)，φ(abc)=67+5φ(c)，由引理3知(1)無(wú)解。

(12)當(dāng)φ(a)=1,φ(b)≥22時(shí)，此時(shí)φ(c)-3<0，即φ(c)=1,2。

若φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=6+3φ(b)，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)不存在滿足φ(abc)=6+3φ(b)且φ(b)≥22的a,b,c，所以(1)無(wú)解。同理當(dāng)φ(c)=2時(shí)(1)無(wú)解。

1.2當(dāng)φ(a)=2,φ(b)>1時(shí)，有

φ(abc)=2+3φ(b)+5φ(c)。

(1)當(dāng)φ(a)=2,φ(b)=2時(shí)，

φ(abc)=8+5φ(c)≥4φ(c)，

不存在c使(1)式成立。

(2)φ(a)=2,φ(b)=4時(shí)，

φ(abc)=14+5φ(c)≥8φ(c)，

即φ(c)≤4，即φ(c)=1，2，4。

當(dāng)φ(c)=1,4時(shí)不存在a,b,c使(1)成立。

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，(a,b,c)=(3,5,3),(3,8,3),(3,10,3),(3,5,6),(6,5,3)。

(3)φ(a)=2,φ(b)=6時(shí)，

φ(abc)=20+5φ(c)≥12φ(c)，

即φ(c)≤2，即φ(c)=1,2。

若φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=25，由引理3知(1)無(wú)解。

若φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=30，abc=31,62，經(jīng)檢驗(yàn)，(1)無(wú)解。

(4)φ(a)=2,φ(b)=8時(shí)，

φ(abc)=26+5φ(c)≥16φ(c)，

即φ(c)≤2，即φ(c)=1,2。

若φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=31，由引理3知(1)無(wú)解。

若φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=36，abc=37,57,63,74,76,108,114,126，經(jīng)檢驗(yàn)，(1)無(wú)解。

(5)φ(a)=2,φ(b)=10時(shí)，

φ(abc)=32+5φ(c)≥20φ(c)，

即φ(c)≤2，即φ(c)=1,2。

若φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=37，由引理3知(1)無(wú)解。

若φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=42，abc=43,49,86,98，經(jīng)檢驗(yàn)，(1)無(wú)解。

(6)φ(a)=2,φ(b)=12時(shí)，

φ(abc)=38+5φ(c)≥24φ(c)，

即φ(c)≤2，即φ(c)=1,2。

若φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=43，由引理3知(1)無(wú)解。

若φ(c)=2時(shí)，

φ(abc)=48,abc=65，104，105，112，130，140，144，156，168，180，210，

經(jīng)檢驗(yàn)，(a,b,c)=(3,4,13),(4,3,13)。

(7)φ(a)=2,φ(b)≥14時(shí)，

φ(abc)=44+5φ(c)≥28φ(c)，

即φ(c)=1。

若φ(c)=1時(shí)，φ(abc)為奇數(shù)，由引理3知(1)無(wú)解。

情況2：當(dāng)(φ(a)-3)(φ(b)-1)=0時(shí)，φ(b)=1，φ(a)為任意值時(shí)，此時(shí)(1)為

φ(abc)=φ(a)+3+5φ(c)≥φ(a)φ(c)，

即(φ(a)-5)(φ(c)-1)≤8。

(1)當(dāng)φ(c)=1且φ(a)為任意值時(shí)，此時(shí)

φ(abc)=8+φ(a)，由引理4知，φ(bc)=1,2≤8+1+1，所以方程有正整數(shù)解，

當(dāng)φ(a)=8時(shí)，a=15,16,20,24,30,

有(a,b,c)=(15,1,2),(15,2,1),(16,1,2),(16,2,1),(20,1,2),(20,2,1),(24,1,2),(24,2,1),(30,1,2),(30,2,1)。

(2)當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(a)-5≤8，

即φ(a)=1,2,4,6,8,10,12。

若φ(a)=1,φ(abc)=14，不存在a,b,c使得

φ(abc)=14，所以(1)無(wú)解。

若φ(a)=2,4,6,8,10,12時(shí)，

φ(abc)=13+φ(a)，由引理3知(1)無(wú)解。

(3)當(dāng)φ(c)=4時(shí)，φ(a)-5≤2，即

φ(a)=1,2,4,6。

若φ(a)=1,φ(abc)=24，即abc=25,39,45,52,56,70,72,78,84,90，經(jīng)檢驗(yàn)，(1)無(wú)解。

若φ(a)=2,4,6時(shí)，φ(abc)=23+φ(a)，由引理3知(1)無(wú)解。

(4)當(dāng)φ(c)=6時(shí)，φ(a)-5≤1，即

φ(a)=1,2,4,6。

若φ(a)=1,φ(abc)=36，即abc=37,57,63,74,76,108,114,126，經(jīng)檢驗(yàn)，(1)無(wú)解。

若φ(a)=2,4,6時(shí)，φ(abc)=33+φ(a)，由引理3知(1)無(wú)解。

(5)當(dāng)φ(c)=8時(shí)，φ(a)-5≤1，即

φ(a)=1,2,4,6。

若φ(a)=1,φ(abc)=44，即abc=69,92,138，經(jīng)檢驗(yàn)，(1)無(wú)解。

若φ(a)=2,4,6時(shí)，φ(abc)=43+φ(a)，由引理3知(1)無(wú)解。

(6)當(dāng)φ(c)≥10時(shí)，φ(a)-5≤0，即

φ(a)=1,2,4。

若φ(a)=1,φ(abc)=4+5φ(c)，經(jīng)檢驗(yàn)，(1)無(wú)解。

若φ(a)=2,4時(shí)，φ(abc)=φ(a)+3+5φ(c)為奇數(shù)，由引理3知(1)無(wú)解。

情況3：(φ(a)-3)(φ(b)-1)=1時(shí)，則有

φ(a)=4,φ(b)=2，則

φ(abc)=10+5φ(c),a=5,8,10,12,b=3,4,6，

經(jīng)檢驗(yàn)，(1)無(wú)解。

情況4：(φ(a)-3)(φ(b)-1)=2時(shí)，則有

φ(a)=5,φ(b)=2或φ(a)=4,φ(b)=3，由引理3知(1)無(wú)解。

情況5：(φ(a)-3)(φ(b)-1)=3時(shí)，則有

φ(a)=4,φ(b)=4或φ(a)=6,φ(b)=2。

當(dāng)φ(a)=4,φ(b)=4時(shí)，則

φ(abc)=16+5φ(c)≥16φ(c)，φ(c)≤1，

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=21，由引理3知(1)無(wú)解。

當(dāng)φ(a)=6,φ(b)=2時(shí)，則

φ(abc)=12+5φ(c)≥12φ(c)，φ(c)≤1，

當(dāng)φ(c)=1時(shí)φ(abc)=17，由引理3知(1)無(wú)解。

情況6：(φ(a)-3)(φ(b)-1)=4時(shí)，則有

φ(a)=5,φ(b)=3或φ(a)=4,φ(b)=5或φ(a)=7，φ(b)=2，由引理3知(1)無(wú)解。

情況7：(φ(a)-3)(φ(b)-1)=5時(shí)，則有

φ(a)=4,φ(b)=6或φ(a)=8,φ(b)=2。

當(dāng)φ(a)=4，φ(b)=6時(shí),則

φ(abc)=22+5φ(c)≥24φ(c)，φ(c)≤1，

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=27，由引理3知(1)無(wú)解。

當(dāng)φ(a)=8,φ(b)=2時(shí)，則

φ(abc)=14+5φ(c)≥16φ(c)，φ(c)≤1，

當(dāng)φ(c)=1時(shí)φ(abc)=19，由引理3知(1)無(wú)解。

情況8：(φ(a)-3)(φ(b)-1)=6時(shí)，則有

φ(a)=4,φ(b)=7或φ(a)=5,φ(b)=4或φ(a)=6,φ(b)=3或φ(a)=9,φ(b)=2，由引理3知(1)無(wú)解。

情況9：(φ(a)-3)(φ(b)-1)=7時(shí)，則有

φ(a)=4,φ(b)=8或φ(a)=10,φ(b)=2。

當(dāng)φ(a)=4,φ(b)=8時(shí)，則

φ(abc)=28+5φ(c)≥32φ(c)，φ(c)≤1，

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=33，由引理3知(1)無(wú)解。

當(dāng)φ(a)=10,φ(b)=2時(shí)，則

φ(abc)=16+5φ(c)≥20φ(c)，φ(c)≤1，

當(dāng)φ(c)=1時(shí)φ(abc)=21，由引理3知(1)無(wú)解。

情況10：(φ(a)-3)(φ(b)-1)=8時(shí)，則有

φ(a)=4,φ(b)=9或φ(a)=5,φ(b)=5或φ(a)=7,φ(b)=3或φ(a)=11,φ(b)=2，由引理3知(1)無(wú)解。

綜上所述，可知方程φ(abc)=φ(a)+3(b)+5φ(c)有19組正整數(shù)解，證畢。