張 煒，王加陽，帥 勇，龍陳鋒

1.中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，長沙 410006

2.湖南農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，長沙 410128

1 引言

粗糙集理論[1-2]由Pawlak于1982年提出，是一種處理不確定性信息的數(shù)學(xué)工具，已在機(jī)器學(xué)習(xí)、模式識別、決策分析和知識發(fā)現(xiàn)等領(lǐng)域[3-6]廣泛應(yīng)用。該理論的主要思想是用等價(jià)關(guān)系形成的知識粒來近似表示信息，其主要應(yīng)用之一是屬性約簡。如，景運(yùn)革等人[7]提出的知識增量屬性約簡算法，然而隨著現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜化、多樣化，經(jīng)典粗糙集已無法滿足求解需要，眾多學(xué)者從不同角度出發(fā)對其進(jìn)行擴(kuò)展，模糊粗糙集也是其中一個(gè)重要分支。Pawlak等人在文獻(xiàn)[8]給出了將經(jīng)典粗糙集推廣到模糊粗糙集的可能性。隨后Mi和Sun等人[9-10]將信息表中條件屬性和決策屬性均模糊化處理，使得經(jīng)典粗糙集中的相似關(guān)系變?yōu)槟：葍r(jià)關(guān)系。文獻(xiàn)[11-14]進(jìn)一步研究了模糊粗糙集的約簡，并提出了多重約簡方法。然而研究發(fā)現(xiàn)模糊粗糙集存在缺陷：它僅用隸屬度來刻畫“完全肯定”的程度，缺少對“完全否定”的判斷。接下來，Atanassov[15]提出用直覺模糊對模糊理論進(jìn)行擴(kuò)充，克服了上述缺陷。吳偉志等人[16]和苗奪謙等人[17-18]將直覺模糊理論同粗糙集結(jié)合，提出了直覺模糊粗糙集模型并給出了約簡方法。

Dempster提出的證據(jù)理論[19]是處理不確定性問題的另一種方法。它通過一對對偶函數(shù)（信任函數(shù)和似然函數(shù)）定量表示信息的不確定性。粗糙集理論和證據(jù)理論這兩種工具相似卻又不同，眾多學(xué)者對它們之間的關(guān)系進(jìn)一步展開了研究。Yao等人[20]給出了用信任函數(shù)和似然函數(shù)來刻畫經(jīng)典粗糙集中上下近似的可能性；Wu等人[21]從證據(jù)理論角度出發(fā)研究了Pawlak的粗糙約簡。上述研究均是刻畫經(jīng)典Pawlak粗糙集同證據(jù)理論的聯(lián)系，但沒提及功能更強(qiáng)大的直覺模糊粗糙集與證據(jù)理論之間的關(guān)系以及通過兩者結(jié)合進(jìn)行知識約簡，且國內(nèi)外對此方向的研究較少。

2 基本知識

首先介紹直覺模糊粗糙集和證據(jù)理論的基本知識。

2.1 直覺模糊粗糙集

定義1（直覺模糊粗糙集[15]）設(shè)U為非空集合函數(shù)μ:U→[0,1]，ν:U→[0,1]，且 ?x∈U，滿足 0≤μ(x)+ν(x)≤1，則稱集合A={＜x,μ(x),ν(x)＞|x∈U}為直覺模糊集。μ(x)、ν(x)分別表示U中元素屬于A的隸屬度和非隸屬度，πA(x)=1-μ(x)-ν(x)表示對元素x屬于A的懷疑度；s(A(x))=μ(x)-ν(x)為集合A關(guān)于x的得分函數(shù)；h(A(x))=μ(x)+ν(x)為集合A關(guān)于x的精確函數(shù)。

從上述定義可知，傳統(tǒng)集合是直覺模糊的特例。用直覺模糊集合形式表示，即對A∈P(U)，如果x∈A，則A(x)=(1,0)；如果x?A,則A(x)=(0,1)。

定義2（直覺模糊粗糙集運(yùn)算[15]）有模糊集A={＜x,μA(x),νA(x)＞|x∈U}和B={＜x,μB(x),νB(x)＞|x∈U}則可得如下運(yùn)算：

（1）s(A(x))＜s(B(x))?A(x)?B(x)

（2）s(A(x))=s(B(x))∧h(A(x))=h(B(x))?A(x)=B(x)

（3）s(A(x))=s(B(x))∧h(A(x))＜h(B(x))?A(x)?B(x)

（4）s(A(x))=s(B(x))∧h(A(x))＞h(B(x))?A(x)?B(x)

由定義可知，若A(x)=(0.2,0.5)，B(x)=(0.3,0.6)，則s(A(x))=s(B(x))=-0.3,h(A(x))=0.7,h(B(x))=0.9，故A(x)?B(x)。

性質(zhì)1對模糊集A={＜x,μA(x),νA(x)＞|x∈U}和B={＜x,μB(x),νB(x)＞|x∈U}而言，具有以下性質(zhì)：

（1）A?B?μA≤μB,νA≥νB

（2）A?B?{＜x,min(μA,μB),max(νA,νB)＞|x∈U}

（3）A?B?{＜x,max(μA,μB),min(νA,νB)＞|x∈U}

（4）A⊕B={＜x,μA+μB-μA?μB,νA(x)?νB(x)＞|x∈U}

（5）A?B={＜x,μA?μB,νA(x)+νB(x)-νA(x)?νB(x)＞|x∈U}

（6）λA={＜x,1-(1-μA)λ,(ν(x))λ＞|x∈U}

（7）Aλ={＜x,(μ(x))λ,1-(1-ν(x)λ)＞}

（8）～A={＜x,νA(x),μA(x)＞ |x∈U}

由性質(zhì)1可得如下定義。

定義3（模糊集和運(yùn)算、積運(yùn)算[9]）模糊集簇Ai={＜x,μAi(x),νAi(x)|x∈U＞}，且i=1,2,…,n，則關(guān)于和⊕運(yùn)算算子和積?運(yùn)算算子的定義如下：

定義4（普通優(yōu)勢關(guān)系[9]）直覺模糊信息系統(tǒng)IFIS=(U,AT=C,V,f)且U為非空論域，C為條件屬性集，函數(shù)f為值域函數(shù)，f(x,c)=(μc(x),νc(x)),c∈C可得關(guān)系，則稱為普通優(yōu)勢關(guān)系。

定義6（廣義和優(yōu)勢的上、下近似關(guān)系[10]）IFIS=(U,AT=C,V,f)為直覺模糊信息系統(tǒng)，對?X?U有：

根據(jù)廣義和優(yōu)勢關(guān)系的上近似和下近似的定義可知其具有如下性質(zhì)。

性質(zhì)2IFIS=(U,AT=C,V,f)為直覺模糊信息系統(tǒng)，C={c1,c2,…,cm}，?X,Y?U有：

因（1）～（6）的性質(zhì)由定義5得到，故不再證明。

2.2 證據(jù)理論

定義7（mass函數(shù)[19]）設(shè)Θ為識別框架，A是Θ中的任意子集，定義在識別框架Θ的函數(shù)m:2Θ→[0,1]滿足如下條件：

則稱函數(shù)m為2Θ上的基本可信度分配函數(shù)或mass函數(shù)。

m(A)表示證據(jù)對A的信任度。若m(A)＞0，則A為焦元，所有焦元的并稱為核，記作F。同時(shí)根據(jù)基本可信度分配函數(shù)可得出信任函數(shù)和似然函數(shù)的定義。

定義8（信任函數(shù)、似然函數(shù)[19]）設(shè)Θ為識別框架，A是Θ的任意子集，m是識別框架Θ上的基本可信度分配函數(shù)。

則稱Bel(X)和Pl(X)分別為信任函數(shù)和似然函數(shù)。

信任函數(shù)Bel(X)表示對X為真的信任度，似然函數(shù)Pl(X)表示不懷疑X為真的信任度，且Bel(X)=1-Pl(～X)。同樣也可以根據(jù)半加性定義信任函數(shù)。

定義9（信度函數(shù)[19]）對識別框架Θ的任意子集2Θ，若函數(shù)Bel:2Θ→[0,1]滿足如下條件：

則稱函數(shù)Bel:2Θ→[0,1]為信度函數(shù)。

3 直覺模糊粗糙集與證據(jù)理論的關(guān)系

文獻(xiàn)[20]研究表明Pawlak粗糙集和基于覆蓋的粗糙集所獲得的下、上近似均可通過證據(jù)理論的信任函數(shù)和似然函數(shù)分別刻畫。接下來，將分析直覺模糊粗糙集和證據(jù)理論之間的關(guān)系，是否也能滿足以上特征。

定理1IFIS=(U,AT=C,V,f)為直覺模糊信息系統(tǒng)，A?AT=C,?X?U，則：

通過對上述定理分析得出，直覺模糊粗糙集的下、上近似也可以用證據(jù)理論的信任函數(shù)和似然函數(shù)分別刻畫。接下來，給出此時(shí)的mass函數(shù)表達(dá)式。

如果不滿足上面的條件，m(X)=0。

證明由定理1可得如下結(jié)果：

下面給出實(shí)例說明直覺模糊粗糙集和證據(jù)理論相結(jié)合的屬性約簡方法。

例1現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如表1，用于判斷硬盤是否為損壞。其中論域U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10}，條件屬性為C={c1,c2,c3,c4,c5}。

Table 1 Intuitive fuzzy information systems表1 直覺模糊信息系統(tǒng)

由定義3計(jì)算可得如下結(jié)果：

同理可得：

由定義1可得各元素的得分：

故可得如下排序結(jié)果：

對應(yīng)的廣義和優(yōu)勢關(guān)系的等價(jià)類為：

令X={x8,x9,x10}，則對應(yīng)的上、下近似為：

對應(yīng)的質(zhì)量函數(shù)為：

4 決策系統(tǒng)的約簡

決策系統(tǒng)可分為協(xié)調(diào)決策表和不協(xié)調(diào)決策表兩種。進(jìn)行屬性約簡前，先給出協(xié)調(diào)決策表和不協(xié)調(diào)決策表的定義。

定義10（直覺模糊不協(xié)調(diào)決策系統(tǒng)[20]）IFDS=(U,AT=C?rtfdnp7,V,f)為直覺模糊決策系統(tǒng)，分別為基于條件屬性集C和決策屬性集d計(jì)算而得到的廣義和優(yōu)勢關(guān)系{Cl1,Cl2,…,Cln}。若?x∈U有，則IFDS=(U,AT=C?3d5dxxz,V,f)為協(xié)調(diào)決策系統(tǒng)；若?x∈U有，則稱IFDS=(U,AT=C?5bbzvdn,V,f)為不協(xié)調(diào)決策系統(tǒng)。

定義11（直覺模糊決策系統(tǒng)的三種約簡[20]）IFDS=(U,AT=C?3j5fnr5,V,f)為直覺模糊決策系統(tǒng)，屬性子集A?C，則：

（2）若?Clt,1≤t≤n，BelA(Clt)=BelAT(Clt)，則稱A是相對信任協(xié)調(diào)集。若A為相對信任協(xié)調(diào)集且A的任意非空真子集B不為相對信任協(xié)調(diào)集，則稱A是相對信任約簡。

（3）若?Clt,1≤t≤n，PlA(Clt)=PlAT(Clt)則稱A是相對似然協(xié)調(diào)集。若A為相對似然協(xié)調(diào)集且A的任意非空真子集B不為相對似然協(xié)調(diào)集，則稱A是相對似然約簡。

定義11從分類、信任度和似然度三個(gè)角度給出了相對約簡的概念。接下來，協(xié)調(diào)決策系統(tǒng)中分析三者的一致性。

定理4IFDS=(U,AT=C?bljhdv5,V,f)為協(xié)調(diào)直覺模糊決策系統(tǒng)，屬性子集A?C，則有：

（1）A為相對協(xié)調(diào)集、相對信任協(xié)調(diào)集和相對似然協(xié)調(diào)集三者等價(jià)。

（2）A為相對約簡、相對信任約簡和相對似然約簡三者等價(jià)。

（2）同（1）可證。

由定理4可知在協(xié)調(diào)直覺模糊決策系統(tǒng)中，相對約簡、相對信任約簡和相對似然約簡等價(jià)，要獲得三者，只需確定其中之一即可。接下來，將研究不協(xié)調(diào)直覺模糊決策系統(tǒng)的約簡關(guān)系。針對不協(xié)調(diào)決策系統(tǒng)，其處理方式是將它轉(zhuǎn)化為協(xié)調(diào)決策系統(tǒng)。同理,給出由不協(xié)調(diào)直覺模糊決策系統(tǒng)得到廣義直覺模糊決策系統(tǒng)的定義12。

定義13（廣義直覺模糊系統(tǒng)的三種約簡[20]）IFDS=(U,AT=C?{?C},V,f)為廣義直覺模糊決策系統(tǒng)，屬性子集A?C，則：

以下將給出一個(gè)算例表明如何將不協(xié)調(diào)決策系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為協(xié)調(diào)決策系統(tǒng)。

例2給定決策表2，用于判斷硬盤是否損壞。其中論域U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10}，條件屬性為C={c1,c2,c3,c4,c5}，決策屬性d表示接受硬盤的與否概率。

Table 2 Intuitionistic fuzzy decision making system表2 直覺模糊決策系統(tǒng)

由定義1的得分函數(shù)和精確函數(shù)可計(jì)算屬性論域的覆蓋如表3。

Table 3 Dominant class of decision attributes表3 決策屬性的優(yōu)勢類

根據(jù)定義5可得廣義優(yōu)勢關(guān)系對論域的覆蓋如表4。

Table 4 Dominant class of condition attributes表4 條件屬性的優(yōu)勢類

根據(jù)定義10可知，決策表3為不協(xié)調(diào)決策系統(tǒng)，故可根據(jù)定義11來計(jì)算轉(zhuǎn)換后的決策值。

同理可得：

直覺模糊廣義決策系統(tǒng)如表5所示。

Table 5 Intuitionistic fuzzy generalized decision system表5 直覺模糊廣義決策系統(tǒng)

接下來，分析廣義相對約簡和相對約簡之間的關(guān)系。

定理5IFDS=(U,AT=C?{?C},V,f)為廣義直覺模糊決策系統(tǒng)，屬性子集A?C，則：

（1）A為廣義相對協(xié)調(diào)集當(dāng)且僅當(dāng)A為相對協(xié)調(diào)集。

（2）A為廣義相對約簡當(dāng)且僅當(dāng)A為相對協(xié)調(diào)集。

證明（1）由定義可知，若，故A是相對協(xié)調(diào)集；同理可得，若A是相對協(xié)調(diào)集，則A是廣義相對協(xié)調(diào)集，故結(jié)論成立。

定理6IFDS=(U,AT=C?f5bn5f5,V,f)為廣義直覺模糊決策系統(tǒng)，屬性子集A?C，則：

（1）A為廣義相對協(xié)調(diào)集、廣義相對信任協(xié)調(diào)集和廣義相對似然協(xié)調(diào)集三者等價(jià)。

（2）A為廣義相對約簡、廣義相對信任約簡和廣義相對似然約簡三者等價(jià)。

證明同定理4，故不再贅述。

5 結(jié)束語

協(xié)調(diào)決策系統(tǒng)和不協(xié)調(diào)決策系統(tǒng)的約簡通常不一致。本文首先分析了直覺模糊粗糙集與證據(jù)理論之間的關(guān)系，即當(dāng)上、下近似具有可加性和可乘性時(shí)，直覺模糊粗糙集所獲得下、上近似可通過證據(jù)理論的信任函數(shù)和似然函數(shù)分別刻畫。接下來，分析了決策系統(tǒng)約簡的一致性，當(dāng)為協(xié)調(diào)決策系統(tǒng)時(shí)，直覺模糊決策系統(tǒng)的相對約簡、相對信任約簡和相對似然約簡三者等價(jià)；當(dāng)為不協(xié)調(diào)決策系統(tǒng)時(shí)，在廣義決策優(yōu)勢關(guān)系下，協(xié)調(diào)決策系統(tǒng)的約簡與不協(xié)調(diào)決策系統(tǒng)的約簡一致。通過上述研究，進(jìn)一步完善了直覺模糊粗糙集決策約簡理論。