彭家寅

內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641199

1 引言

最近二十年，量子力學(xué)在計算機(jī)科學(xué)和信息論領(lǐng)域的應(yīng)用得到迅速發(fā)展，已經(jīng)成為包括量子計算和量子通信在內(nèi)的一門新興學(xué)科[1-2]。1993年Bennett等人[3]率先提出的量子隱形傳態(tài)是量子通信的一個應(yīng)用，它借助于貝爾測量和兩比特經(jīng)典通信，且以EPR（Einstein-Podolsky-Rosen）對為量子信道，就能傳輸未知量子態(tài)。不久，相關(guān)工作被報道，并在理論[4-14]和實驗[15-16]方面取得了很大進(jìn)展。作為隱形傳態(tài)協(xié)議的擴(kuò)展，一個是遠(yuǎn)程態(tài)制備（remote state preparation，RSP）協(xié)議[17-18]，其發(fā)送者知道要被制備態(tài)的信息；另一個是聯(lián)合遠(yuǎn)程態(tài)制備（joint remote state preparation，JRSP）協(xié)議[19]，其發(fā)送者多于一個，并且每個發(fā)送者只知道要制備的態(tài)的部分信息，從而確保目標(biāo)態(tài)的保密性。自Pati[17]于2001年提出第一個以Bell態(tài)為信道的RSP方案以來，用不同量子態(tài)作為量子信道的許多RSP和JRSP協(xié)議被報道，如Brown態(tài)[20]、EPR 對[21]、GHZ（Greenberger-Horne-Zeilinger）態(tài) 和GHZ 類型態(tài)[22-24]、W態(tài)[25]、八粒子團(tuán)簇態(tài)[26]、高維量子態(tài)[27]等。

到目前為止，幾乎所有的多方RSP和JRSP協(xié)議的研究都局限于對稱的RSP和JRSP協(xié)議上，在這些對稱協(xié)議中所有接收者都以相同能力去重構(gòu)發(fā)送者發(fā)送的未知量子態(tài)。2013年，Shukla等[28]討論了分層量子通信問題，并提出了分層的聯(lián)合遠(yuǎn)程態(tài)制備協(xié)議，其中空間分離的多個代理按其重構(gòu)未知量子態(tài)的能力被分層，高層能力的代理不需要其他所有代理商的幫助就能恢復(fù)發(fā)送者發(fā)送的量子態(tài)，而低層能力的代理當(dāng)且僅當(dāng)在所有其他代理的合作下才能重構(gòu)秘密態(tài)。直到最近，除文獻(xiàn)[28]外，很少看到關(guān)于分層遠(yuǎn)程態(tài)制備(hierarchical remote state preparation，HRSP)和分層聯(lián)合遠(yuǎn)程態(tài)制備(hierarchical joint remote state preparation，HJRSP)的報道。

為拓展Shukla等[28]的思想，本文給出分別以任意的(n+1)-粒子和(n+2)-粒子糾纏態(tài)為信道來研究HRSP和HJRSP的兩個通用程序，并用幾個實例來說明本文方法的可行性。考慮到在現(xiàn)實世界中制備和保存最大糾纏的技術(shù)挑戰(zhàn)，提出了一種概率版本的HJRSP的一般協(xié)議，并證明了當(dāng)以非最大糾纏的5粒子團(tuán)簇態(tài)作為量子信道時，這樣的概率HJRSP方案確實存在。

2 一般確定的HRSP協(xié)議

2.1 HRSP協(xié)議基本框架

假定發(fā)送者Alice打算幫助接收者制備如下一個任意單粒子態(tài)：

為此，考慮如下的一般(n+1)-粒子態(tài)：

從式（4）可知，Alice的投影測量將粒子A′和代理商們的粒子的聯(lián)合態(tài)等可能的變成下列態(tài)之一：

Alice通過經(jīng)典信道將測量結(jié)果告知代理商們，并根據(jù)相應(yīng)的測量對粒子A′施行酉操作I（恒等算子）或σx（Pauli-X算子）后，上述塌陷態(tài)變?yōu)椋?/p>

對輔助粒子A′進(jìn)行投影測量（PMA′），從而代理商們的粒子態(tài)坍塌為下列態(tài)之一：

具體地，記Alice對粒子A′施行的酉操作為UA′,最后的塌陷態(tài)記為μ±或ν±，則上述Alice操作及其結(jié)果可以總結(jié)于表1中。

Table 1 Relations between measurement and unitary operation ofAlice and result表1 Alice的測量、酉操作與測量結(jié)果的關(guān)系

例如Alice對粒子A進(jìn)行投影測量PMA，獲得測量結(jié)果后，先對粒子A′施行酉操作σx，再投影測量PMA′，塌陷態(tài)為

上述表1實質(zhì)上提供了研究以不同量子態(tài)為信道的HRSP協(xié)議的成為可能一個基本的框架。余下的任務(wù)就是據(jù)Alice關(guān)于測量信息適當(dāng)?shù)胤纸獯砩虃兊穆?lián)合態(tài)，使得他們中的任何人都能重構(gòu)式（1）所示的原始態(tài)，并找出相應(yīng)的酉變換。

2.2 HRSP協(xié)議驗證實例

下面，考慮一種特殊情況，并以此說明上述框架可以用來設(shè)計以4粒子[15]為量子信道的HRSP協(xié)議。

如果代理商們決定由Diana來重構(gòu)Alice發(fā)送的量子態(tài)，則可以分解為：

從上述兩組表達(dá)式可以看出，僅僅需要Bob和Charlie中的任何一人對其粒子進(jìn)行計算基測量，并公布其測量結(jié)果，Diana就能選擇適當(dāng)?shù)挠献儞Q恢復(fù)量子態(tài)例如，Alice的測量結(jié)果為Bob的測量結(jié)果為，則Diana的態(tài)塌陷為，故Diana僅需施行Pauli-Z算子σz就能獲得

從上述兩組式子可知，當(dāng)且僅當(dāng)Charlie和Diana對粒子C和D做聯(lián)合Bell態(tài)測量JMCD時，Bob才能恢復(fù)態(tài)。現(xiàn)將Alice測量、Charlie和Diana聯(lián)合測量JMCD、Bob的塌陷態(tài)和其恢復(fù)算子RB總結(jié)于表2。

Table 2 Relations amongPMAPMA′,JMCD,andRB表2 PMAPMA′、JMCD 、及RB關(guān)系

Table 2 Relations amongPMAPMA′,JMCD,andRB表2 PMAPMA′、JMCD 、及RB關(guān)系

PMAPMA′JMCD TB s0ε0?+x0-yeiθ1 RB σz s0ε0?-x0+yeiθ1I s0ε0ψ+x1+yeiθ0σx s0ε0ψ-x1-yeiθ0 s0ε1?+x0+yeiθ1 s0ε1?-x0-yeiθ1 s0ε1ψ+x1-yeiθ0 iσy I σz iσy s0ε1ψ-x1+yeiθ0σx s1ε0?+x1+yeiθ0σx s1ε0?-x1-yeiθ0iσy s1ε0ψ+x0-yeiθ1σz s1ε0ψ-x0+yeiθ1I s1ε1?+x1-yeiθ0iσy s1s1?-x1+yeiθ0σx s1s1ψ+x0+yeiθ1I s1s1ψ-x0-yeiθ1σz

從表2可以看出，對于Alice的任意一測量，Bob都需要知道Charlie和Diana的聯(lián)合測量結(jié)果，才能重構(gòu)態(tài)，并且成功的概率為1。這就意味著Bob同時需要Charlie和Diana才能恢復(fù)原始秘密。因此，Bob比Diana需要更多的幫助才能重構(gòu)原始秘密態(tài)，即Diana比Bob有更強(qiáng)的能力去完成量子任務(wù)。

注1因為4-粒子團(tuán)簇態(tài)也是一種重要的量子資源，所以一個自然的問題是，用4-粒子團(tuán)簇態(tài)去替代作為量子信道，又會有什么結(jié)果？為了回答這個問題，假定Alice、Bob、Charlie和Diana事先依次分享態(tài)第1、第2、第3和第4個粒子，在這種情況下：

這表明Alice測量后，代理商們的聯(lián)合態(tài)（Q=C4）等價于先前的情況(Q=Ω)，唯一不同的是，Diana和Bob的角色現(xiàn)在顛倒過來了。因此，也能獲得在Q=C4情形下的HRSP協(xié)議，并且Bob處于比Diana和Charlie能力更高的層面上。

3 一般確定的HJRSP協(xié)議

本章給出HRSP的一個擴(kuò)展版，即HJRSP協(xié)議。

3.1 HJRSP協(xié)議框架

假定有兩個發(fā)送者Alice1和Alice2，Alice1知道式（1）的振幅的信息，而Alice2掌握了式（1）的相位的信息。這意味著兩個發(fā)送者聯(lián)合地掌握了要被遠(yuǎn)程制備的態(tài)的信息。假定接收者不知道的任何信息，并要求設(shè)計一個分層的聯(lián)合遠(yuǎn)程態(tài)制備協(xié)議。為此，考慮一個一般的(n+2)-粒子態(tài)：

為了完成任務(wù)，Alice1利用基對粒子A進(jìn)行投影測量PMA，并將測量結(jié)果通知給其他參與者。余下粒子的塌陷態(tài)為下列態(tài)之一：

收到Alice1傳來的信息后，Alice2如上一章Alice那樣對粒子A′執(zhí)行適當(dāng)?shù)挠献儞QUA′，再用基對粒子A′進(jìn)行投影測量PMA′，并公布測量結(jié)果。這樣，代理商們的粒子態(tài)變成下列形式之一：

PMA、UA′、PMA′及代理商們的塌陷態(tài)之間的關(guān)系也如表1所示。

顯然，表1也提供了用不同量子態(tài)作為量子信道去研究HJRSP協(xié)議的一個一般框架。余下的工作和上一章完全類似。

注2本節(jié)的上述工作剛好是將上一章中Alice的操作PMA由 Alice1來執(zhí)行，而操作UA′和PMA′由Alice2來完成而已。即在第2章里，用量子信道去替換式（3）中的，然后將Alice的操作PMA、UA′和PMA′拆分為兩部分，一部分由Alice1來執(zhí)行，另一部分由Alice2來實施，這樣就把HRSP協(xié)議演繹成了HJRSP協(xié)議。

3.2 HJRSP協(xié)議驗證

下面給出一個實例來說明上述框架是可行的HJRSP協(xié)議架構(gòu)。為此，選擇如下5-粒子團(tuán)簇態(tài)作為量子信道：

其中，粒子A和A′分別屬于Alice1、Alice2，而粒子B、C和D分別屬于Bob、Charlie和Diana，并且：

在 Alice1的測量PMA以及 Alice2的操作UA′和PMA′后，Bob、Charlie和Diana的粒子態(tài)變成如表1所述情況。如果Alice1和Alice2的測量結(jié)果分別為和，那么塌陷態(tài)為：

如果Alice1和Alice2的測量結(jié)果分別為，那么塌陷態(tài)為：

若代理商們決定由Charlie來重構(gòu)ξ，則和可以分解為：

現(xiàn)將 Alice1和 Alice2的測量PMAPMA′、Bob（或Diana）的測量PM、Charlie的塌陷態(tài)CS及其恢復(fù)算子R之間的關(guān)系總結(jié)于表3中。

例如Alice1和Alice2的測量分別為Bob的測量為，則Charlie的塌陷態(tài)為，Charlie執(zhí)行iσy便獲得秘密態(tài)。

Table 3 Relations amongPMAPMA′,PM ，CSandR表3 PMAPMA′、PM 、CS及R關(guān)系

從表3可知，Bob和Diana中的任何一人的協(xié)助就足以使Charlie獲得原始秘密態(tài)ξ，而不需Bob和Diana都給出幫助，就能達(dá)成目標(biāo)，因此協(xié)議成功的概率為1。

現(xiàn)將Alice1和Alice2的測量PMAPMA′、Charlie的測量PMC、Diana的測量PMD、Bob的塌陷態(tài)BS及其恢復(fù)算子R之間的關(guān)系總結(jié)于表4中，其理解類似于表1～表3。

從表4可知，Bob必須要收到Charlie和Diana兩人的測量結(jié)果，才能重構(gòu)原始秘密態(tài)，且成功的概率為1。

由粒子B與D在中的對稱性可知，Bob和Diana有相同的能力恢復(fù)

Table 4 Relations amongPMAPMA′,PMC,PMD,BSandR表4 PMAPMA′、PMC、PMD、BS和 R的關(guān)系

4 一般概率的HJRSP協(xié)議

在前兩章中，雇傭了最大糾纏態(tài)作為量子信道。由于噪聲等環(huán)境的影響，量子態(tài)通常以非最大糾纏態(tài)形式存在。本章考慮以非最大糾纏態(tài)作為量子信道的HJRSP協(xié)議。

4.1 概率的HJRSP協(xié)議框架

假設(shè)Alice1和Alice2和她們的代理商們事先分享如下的一個非最大糾纏態(tài)：

其中，Alice1和Alice2及其代理商依次擁有粒子A，A′,…；實數(shù)a和b滿足a2+b2=1。不失一般性，假定a≥b。

現(xiàn)在，Alice1利用基對粒子A執(zhí)行投影測量PMA后，公布其測量結(jié)果；Alice2根據(jù)Alice1的信息進(jìn)行UA′操作，再用基對粒子A′進(jìn)行投影測量PMA′，并公布她的測量結(jié)果。在以上操作后，代理商們的粒子態(tài)坍塌為如下形式之一：

具體地，Alice1的測量PMA、Alice2的UA′運(yùn)算和PMA′，以及代理商們的坍塌態(tài)AS之間的關(guān)系歸納到表5中，其理解類似前面的表。

Table 5 Relations amongPMA,PMA′,UA′andAS表5 PMA、PMA′、UA′及 AS 間的關(guān)系

表5實質(zhì)上也提供了一個研究以不同非最大糾纏態(tài)為量子的HJRSP協(xié)議成為可能的一般框架。

4.2 概率的HJRSP協(xié)議驗證

當(dāng)Alice1和Alice2測量后，按表5可知，代理商的粒子態(tài)坍塌為下列態(tài)之一：

從上述兩組式子知，當(dāng)且僅當(dāng)Bob和Diana中任何一人將測量結(jié)果公布時，Charlie才可能恢復(fù)因此Bob和Diana位于低能力層。

為了完成量子任務(wù)，Charlie根據(jù)所收到信息，需要引進(jìn)處于初始態(tài)的輔助粒子C′，然后對粒子C和C′施行適當(dāng)?shù)挠献儞QUj(j=1,2)，這里Uj是2-量子比特矩陣，即為4階方陣，具體形式如下：

例如Alice1和Alice2的測量結(jié)果分別為和，而Bob和Diana之一的測量為，則Charlie根據(jù)得到的信息，應(yīng)用U2作用于粒子C和C′有：

接著，Charlie用計算基測量粒子C′。如果測量結(jié)果為，則他將對粒子C執(zhí)行iσy操作就能以b2(a2x2+b2y2)-1的概率獲得測量信息，并恢復(fù)。如果測量結(jié)果為，則重構(gòu)失敗。

現(xiàn)在來計算方案的概率，獲得Alice1、Alice2、Bob或Diana的測量結(jié)果的概率為1 2，Charlie獲得對C′的測量結(jié)果的概率為b2(a2x2+b2y2)-1。在這種情況下，Charlie重構(gòu)的概率為：

對于Alice1、Alice2、Bob或Diana的測量結(jié)果的其他7種情形，可以類似地討論。將Alice1的測量結(jié)果PMA、Alice2的測量結(jié)果PMA′、Bob和Diana之一的測量結(jié)果PM、Charlie的Uj操作和恢復(fù)算子R及概率p總結(jié)于表6中。

Table 6 Relations amongPMA,PMA′,PM,Uj,Randp表6 PMA、PMA′、PM 、Uj、R和 p的關(guān)系

于是，方案總的成功概率為：

從上述兩組式子知，當(dāng)且僅當(dāng)Charlie和Diana都必須將測量結(jié)果告知Bob時，Bob才可能恢復(fù)，因此Bob處于低能力層。

在Alice1和Alice2進(jìn)行投影測量后，Charlie利用計算基對粒子C進(jìn)行投影測量PMC，同時Diana利用基對粒子D進(jìn)行投影測量PMD，并公布其測量結(jié)果。從而Bob的粒子態(tài)變成下列形式之一：

類似于前面Charlie的操作，Bob在收到測量結(jié)果的信息后，首先引入處于態(tài)的輔助粒子B′，接著對粒子B和B′施行適當(dāng)?shù)腢j變換，然后利用計算基對粒子B′測量，最后執(zhí)行適當(dāng)恢復(fù)算子R操作便能以一定概率重構(gòu)態(tài)。將Alice1和Alice2的投影測量PMA和PMA′、Charlie的測量PMC、Diana的測量PMD、Bob的Uj操作及恢復(fù)操作R，及其相應(yīng)的概率pj的關(guān)系總結(jié)于表7，這里p1=b2/16(a2x2+b2y2)，p2=b2/16(b2x2+a2y2)。

Table 7 Relations amongPMA,PMA′,PMC,PMD,Uj,Randpj表7 PMA、PMA′、PMC、PMD、Uj、R 和 pj的關(guān)系

注意到Bob和Diana的粒子B與粒子C在量子信道是對稱的，故Bob與Diana處在同一層中。

注3（1）關(guān)于表6、表7的含義與前面類似。

5 結(jié)論

糾纏是量子世界中的一個重要資源，糾纏的一個驚人應(yīng)用是遠(yuǎn)程態(tài)制備[17-18]，其中要制備的量子態(tài)由一個人（稱之為發(fā)送者）擁有。在許多實際情況下，初始態(tài)是由兩個發(fā)送者共同擁有的，因此降低了與單個決策者相關(guān)的風(fēng)險。通過下面的具體例子來闡述這個特性。

現(xiàn)在考慮：在一家大型制藥公司，有一個開啟某特效中藥秘方的代碼。因這個秘方是最高機(jī)密，所以這個秘方不能交給一個授權(quán)的人。這樣，該秘方的信息必須分布在至少兩個授權(quán)人之間，以便授權(quán)的人都不能濫用該秘方。假定居住在成都的蕭華和王娜（兩名授權(quán)人）分別是這家制藥公司的董事長和總經(jīng)理，而Bob、Charlie和Diana是他們在紐約的代理人。當(dāng)且僅當(dāng)董事長和總經(jīng)理都希望在適當(dāng)?shù)臅r候允許使用秘方，那么他們聯(lián)合在三個代理商之間分發(fā)該代碼的信息來制備這種中藥。然而，其中一個代理人可能是不誠實的，董事長和總經(jīng)理也不知道誰是不誠實的。但Charlie是公司的高級雇員，他在這家公司工作了很長一段時間，而Bob和Diana最近才加入了公司。這致使蕭華和王娜更信任Charlie一些，因此，在代理之間有一個聯(lián)合的層次結(jié)構(gòu)。在此情境中，蕭華和王娜可以聯(lián)合使用第3章中描述的以5-粒子團(tuán)簇態(tài)為量子信道的HJRSP方案，并發(fā)送到三個片段信息，使得Bob、Charlie和Diana中的任何一個在沒有其他人的幫助下都不能獲得蕭華和王娜的完整信息，三人協(xié)助才能幫助其中一人解密代碼，達(dá)到制備特效中藥的目的。當(dāng)然，Charlie比Bob和Diana需要的幫助更少一些，但他沒有足夠的力量去開啟秘方。同時，董事長和總經(jīng)理中的任何一人也沒有足夠的力量傳遞一個單獨(dú)的信息，讓接收者開啟秘方。這種相互牽制的聯(lián)合職責(zé)是必不可少的，并且通常在群團(tuán)中行使。

本文從不同的角度擴(kuò)展了Shukla等人的非對稱聯(lián)合遠(yuǎn)程態(tài)制備的思想。首先，提供了一個研究分層遠(yuǎn)程態(tài)制備的通用框架，并分別以4-粒子態(tài)和4-粒子團(tuán)簇態(tài)為信道來說明框架是可行的。它是遠(yuǎn)程態(tài)制備的拓展，擴(kuò)展性這一工作是有意義的，因為存在不對稱的遠(yuǎn)程態(tài)制備相關(guān)的實際情況，且早期沒有研究HRSP的可能性。其次，所提出的框架已經(jīng)被修改為一個新的框架，使得發(fā)送者從一個增加到了兩個，成了研究分層聯(lián)合遠(yuǎn)程態(tài)制備的框架，提高量子通信的安全性，并以5-粒子團(tuán)簇態(tài)為信道驗證了HJRSP的可能性。因量子態(tài)不可避免地受到環(huán)境的影響，最大糾纏態(tài)很容易演化成部分糾纏態(tài)，為此通過非最大糾纏信道將HJRSP推廣到概率的情形，并以非最大糾纏5-粒子團(tuán)簇態(tài)為信道說明概率HJRSP的可能性。