關(guān) 菲， 韓樹(shù)新， 任建勇

(1.河北經(jīng)貿(mào)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，河北 石家莊 050061; 2.國(guó)網(wǎng)河北省石家莊供電公司，河北 石家莊 050000)

0 引言

產(chǎn)品定價(jià)在廠商營(yíng)銷(xiāo)管理中具有重要地位。通常，廠商會(huì)綜合考慮市場(chǎng)需求量、目標(biāo)利潤(rùn)、市場(chǎng)波動(dòng)等因素進(jìn)而制定有效的產(chǎn)品定價(jià)方案。然而，近年來(lái)隨著產(chǎn)品差異化的逐步減小，產(chǎn)品的替代性逐步增強(qiáng)，價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)變得越來(lái)越激烈。產(chǎn)品如何有效定價(jià)問(wèn)題引發(fā)國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注。關(guān)于產(chǎn)品定價(jià)研究，Hotelling模型是一個(gè)很重要的工具。1883年，Bertrand[1]首次提出了企業(yè)間的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)模型，其主要結(jié)論是，同質(zhì)的企業(yè)在進(jìn)行價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，最終結(jié)果是定價(jià)等于邊際成本，企業(yè)利潤(rùn)為零。而這與現(xiàn)實(shí)是不相符的，被稱為 Bertrand悖論。1979年，D’Aspremont等人[2]提出了一種解決Bertrand悖論的方法。他們?cè)贖otelling區(qū)位競(jìng)爭(zhēng)模型[3]中加入了價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)，使企業(yè)可以序貫選擇位置與產(chǎn)品價(jià)格，得到的最終結(jié)論是：為使得利潤(rùn)最大化，企業(yè)會(huì)選擇生產(chǎn)具有最大化差異的產(chǎn)品，此時(shí)產(chǎn)品的價(jià)格不再等于邊際成本，而企業(yè)也有了正的利潤(rùn)。之后，很多學(xué)者對(duì)Hotelling模型進(jìn)行了拓展和應(yīng)用，取得了很多重要的研究成果。比如：文獻(xiàn)[4]針對(duì)市場(chǎng)中存在價(jià)格領(lǐng)先者和跟隨者的情況，分析了兩廠商在選址固定情況下進(jìn)行先后定價(jià)的Stackelberg均衡。文獻(xiàn)[5]針對(duì)現(xiàn)代市場(chǎng)中廣泛存在廠商先后進(jìn)入的情況，基于 Hotelling 模型構(gòu)建了線性市場(chǎng)上二次運(yùn)輸成本下兩廠商水平競(jìng)爭(zhēng)的完全序貫決策模型，兩廠商先后同時(shí)選址與定價(jià)的博弈模型、兩廠商先同時(shí)選址再同時(shí)定價(jià)的博弈模型、兩廠商先同時(shí)選址再先后定價(jià)的博弈模型，并對(duì)模型進(jìn)行了對(duì)比分析。文獻(xiàn)[6]考慮到網(wǎng)絡(luò)外部效用的廣泛存在性與對(duì)稱性，對(duì)傳統(tǒng)的Hotelling模型加以改進(jìn)，分價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)和策略選擇兩個(gè)階段，對(duì)雙寡頭壟斷廠商的定價(jià)策略進(jìn)行了博弈分析。文獻(xiàn)[7]將 Hotelling模型的 Stackelberg價(jià)格均衡引入到B2B電子商務(wù)網(wǎng)站的 IT 投資決策模型和終端產(chǎn)品外包決策中，探討了各參數(shù)變化對(duì)投資和外包決策的影響。文獻(xiàn)[8,9]求解了反恐防御競(jìng)爭(zhēng)均衡和非對(duì)稱雙邊競(jìng)爭(zhēng)均衡。文獻(xiàn)[10]分析了爭(zhēng)奪廣告和讀者的報(bào)紙出版商市場(chǎng)上的Hotelling競(jìng)爭(zhēng)及政治分化問(wèn)題。文獻(xiàn)[11]探討了同時(shí)考慮生產(chǎn)技術(shù)和勞動(dòng)力投入的空間競(jìng)爭(zhēng)Hotelling模型。文獻(xiàn)[12,13]討論了Hotelling模型在諸如考慮擁塞負(fù)效應(yīng)、雙邊平臺(tái)競(jìng)爭(zhēng)、產(chǎn)品多維特征空間等情形下的應(yīng)用。

本文結(jié)構(gòu)安排如下：第1部分中，我們給出了模型的具體設(shè)定并對(duì)均衡結(jié)果進(jìn)行了討論，討論了均衡存在的條件；第2部分，分析了參數(shù)變化對(duì)均衡結(jié)果的影響。第3部分，結(jié)論與研究展望，討論了如何用實(shí)證方法驗(yàn)證該模型所得的結(jié)論，并討論了本文文章一些可能的拓展方向。

1 模型假設(shè)及模型均衡分析

1.1 模型假設(shè)

假設(shè)某市場(chǎng)上有兩家生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品的企業(yè)，分別記為廠商1與廠商2，均勻分布在長(zhǎng)度為1的“線性市場(chǎng)”。它們共同為消費(fèi)者提供產(chǎn)品，每個(gè)消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品有1單位的需求，該單位產(chǎn)品對(duì)消費(fèi)者產(chǎn)生的效用為v(假設(shè)v足夠大，使得任何位置的消費(fèi)者都會(huì)購(gòu)買(mǎi)其中一家廠商的產(chǎn)品)。x位置的消費(fèi)者若選擇購(gòu)買(mǎi)廠商i(i=1,2)的產(chǎn)品，其效用函數(shù)為

ui(x)=v-pi-τ(x-li)2

(1)

其中l(wèi)i為廠商i的位置，(x-li)2是消費(fèi)者的交易成本，pi是廠商i確定產(chǎn)品的價(jià)格，v與τ均是公共信息。

由對(duì)稱性，我們假定l1≤l2。當(dāng)l1=l2時(shí)，兩個(gè)廠商均分所有市場(chǎng)份額；當(dāng)l1

v-p1-τ(x-l1)2=v-p2-τ(x-l2)2

(2)

此時(shí)很容易得出：兩廠商的市場(chǎng)需求分別為：q1=x*，q2=1-x*。

此外，我們假定廠商1和廠商2相互持有彼此的股份。具體來(lái)說(shuō)，廠商1持有自己λ的股份(λ>1/2)，持有廠商2的(1-λ)的份額；廠商2持有自己λ的股份，持有廠商1的(1-λ)的份額。因此，每個(gè)廠商在做決策時(shí)，不再單純使自己的盈利極大化，還要考慮對(duì)方的盈利。因此，廠商1與廠商2的利潤(rùn)函數(shù)分別為

(3)

參考文獻(xiàn)[5]，假設(shè)廠商1與廠商2選址與定價(jià)的決策順序?yàn)椋?/p>

第1步，兩個(gè)廠商同時(shí)選定自己的位置l1與l2；

第2步，給定兩個(gè)廠商選定的位置，雙方再同時(shí)決定產(chǎn)品的價(jià)格p1和p2。由此，雙方選擇 (l1,p1)與(l2,p2)以極大化自己的最終收益。

此兩階段完全信息Stackelberg博弈模型可簡(jiǎn)述為如下優(yōu)化問(wèn)題:

(4)

1.2 均衡結(jié)果分析

分析模型(4)，我們可給出如下定理：

定理1當(dāng)廠商的位置l1與l2給定時(shí)，雙方的定價(jià)為

(5)

(6)

證明廠商 1 的問(wèn)題為

容易看出

二階條件滿足。

注1當(dāng)λ=1時(shí)，我們有

這就是D’Aspremont等人最初考慮的模型所得到的結(jié)論。

注2考慮廠商采用對(duì)稱策略，即當(dāng)l1+l2=1時(shí)，雙方的定價(jià)為

注2說(shuō)明了對(duì)廠商1而言，減小l1，即增大產(chǎn)品差異化程度時(shí)，x*會(huì)減小，從而它會(huì)損失市場(chǎng)份額。同理，對(duì)廠商 2而言，增大l2，x*會(huì)增大，也會(huì)損失自己的市場(chǎng)份額。又由于之前的討論，增大產(chǎn)品差異化程度，會(huì)使得自己產(chǎn)品的價(jià)格增大，從而，選擇最優(yōu)的l即在產(chǎn)品定價(jià)高低與市場(chǎng)份額的大小之間的權(quán)衡。

定理2記λ*為方程4λ2(2λ-1)-1=0的唯一實(shí)根。則當(dāng)λ*<λ≤1時(shí)，若限制廠商只能在(0,1)上選址，則有

(7)

(8)

若不限制廠商在(0,1)上選址，則有

(9)

(10)

從而，廠商 1 的問(wèn)題為：

一階條件為：(2λ-1)(l1+l2)(l2-3l1)-4(4λ3-3λ+1)l1+4λ×(2λ2-λ-2)=0,廠商 2 的問(wèn)題為：

一階條件為(2λ-1)(l1+l2)(3l2-l1)-4(4λ3+λ-1)l2+4λ(2λ2+λ+1)=0,雙方的一階條件相加，得(l2-l1-λ(2λ+1))(l1+l2-1)=0，考慮對(duì)稱解，即l1+l2=1的解，代入一階條件，得

且有

2×(4λ3-3λ+1))

2×(4λ3+λ-1))

當(dāng)4λ2(2λ-1)>1, 即λ*<λ≤1時(shí)，有

其中λ*是4λ2(2λ-1)-1=0的唯一實(shí)根，為0.7328。又由于

由此可見(jiàn)，在企業(yè)間相互持股時(shí)，最優(yōu)的選擇仍是追求產(chǎn)品的最大差異化。因此，我們可得出如下結(jié)論：

(1)當(dāng)不限制廠商的選址范圍時(shí)，

可計(jì)算出兩廠商的利潤(rùn)為

(2)當(dāng)限制廠商的選址范圍時(shí)，若限制廠商只能在(0,1)上選址，則有

可計(jì)算出兩廠商的利潤(rùn)為

當(dāng)λ=1時(shí)，上述結(jié)果與文獻(xiàn)[5]的結(jié)果一致。說(shuō)明了本文模型是文獻(xiàn)[5]中模型的廣義拓展。

2 模型參數(shù)分析

本部分我們討論持股參數(shù)λ的變化對(duì)均衡結(jié)果的影響。我們可求

并且

這說(shuō)明了隨著λ的下降，也即隨著相互持有對(duì)方股份比例的增大，廠商均會(huì)追求更大的產(chǎn)品差異化，并且差異化的速度越來(lái)越快。這一過(guò)程如圖 1 所示。

此外，還可計(jì)算得

這說(shuō)明了隨著相互持有對(duì)方股份比例的增大，價(jià)格會(huì)逐漸上升，并且增長(zhǎng)幅度越來(lái)越快，從而利潤(rùn)越來(lái)越大，這一過(guò)程如圖2所示。

3 結(jié)論與研究展望

本文主要討論了企業(yè)相互持股下的區(qū)位競(jìng)爭(zhēng)模型，得到的主要結(jié)論如下：隨著相互持有對(duì)方股份比例的增大，企業(yè)會(huì)生產(chǎn)更具差異化的產(chǎn)品，以獲得更大的利潤(rùn)。并且，隨著相互持股比例的增大，企業(yè)追求產(chǎn)品差異化的速度是越來(lái)越快的。但本文研究中也存在一定的不足，如：在本文研究中并沒(méi)有給λ*這個(gè)分界點(diǎn)一個(gè)合理的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。這也是我們接下來(lái)要研究的問(wèn)題。

除此之外，本文也給實(shí)證檢驗(yàn)提供了一個(gè)理論參考。我們考慮如下計(jì)量模型：

yij,t=αi+αj+γt+δλij,t+ηλij,t+Xitβ+vij,t

其中，y為衡量產(chǎn)品差異化的指標(biāo)，α為個(gè)體效應(yīng)，γ為時(shí)間效應(yīng)，λ為文章所述的企業(yè)i在企業(yè)j中的股權(quán)持有比例，X為其他的一些控制變量。此回歸模型主要關(guān)注參數(shù)δ與η是否顯著為正。此模型的最大難點(diǎn)在于y應(yīng)采用何種度量方式。在一個(gè)行業(yè)中，我們一般只有產(chǎn)品的工業(yè)數(shù)據(jù)，但是單純用這些數(shù)據(jù)來(lái)衡量產(chǎn)品的差異化程度似乎不足以說(shuō)明問(wèn)題。比如著名的手機(jī)品牌iPhone與Galaxy S系列，其系統(tǒng)軟件覆蓋量不一，硬件層面上，從處理器到屏幕都各有不同，如何數(shù)字化度量這些差異，實(shí)際上是考察產(chǎn)品差異化程度的最大難點(diǎn)。

該模型還有一些其他的拓展方向。比如，在真實(shí)環(huán)境中，人們的成本τ包括主觀成本與客觀成本，那么綜合起來(lái)，它應(yīng)該是私人信息。因此有兩個(gè)值得拓展的方向，第一，在異質(zhì)性條件下 (即每個(gè)位置的消費(fèi)者的成本不一致，為τx)，消費(fèi)者如何通過(guò)發(fā)送有干擾的信號(hào)來(lái)實(shí)現(xiàn)自己的成本，從而影響企業(yè)的定價(jià)的。第二，企業(yè)如何通過(guò)有成本的搜索消費(fèi)者的個(gè)體信息來(lái)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)定價(jià)的。當(dāng)涉及到私人信息時(shí)，得到的結(jié)論應(yīng)該與本文得到的結(jié)論有所不同。以上分析均是本文下一步要研究的工作。