李 清 王曉峰

(1.江蘇省西安交通大學(xué)蘇州附屬初級中學(xué) 215021；2.江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心 215021)

空間想象力是以現(xiàn)實世界為背景，對幾何表象進行加工改造，創(chuàng)造新的形象的能力，空間想象力是數(shù)學(xué)諸多能力中的重要組成部分.空間觀念是對一個人周圍環(huán)境和實物的直接感知，對于二維與三維圖形及其性質(zhì)的領(lǐng)會和感知，圖形之間的相互關(guān)系和變換圖形的效果是空間觀念的重要方面.空間觀念是發(fā)展空間想象力的基礎(chǔ)，是我國義務(wù)教育階段幾何課程的主要目標(biāo)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，也是創(chuàng)新精神所需要的基本要素.

數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生動手動腦，以“做”為支架的數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動方式，是在教師引導(dǎo)下，學(xué)生運用有關(guān)工具，通過具體操作在認(rèn)知和非認(rèn)知因素參與下，進行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)知識、驗證數(shù)學(xué)結(jié)論的數(shù)學(xué)活動.借助數(shù)學(xué)實驗工具，可以改變學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識形態(tài)，改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面發(fā)展.

近年來，江蘇省初中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)研究團隊一直致力于實驗工具的研發(fā)工作，“水”立方就是為發(fā)展學(xué)生的空間觀念而設(shè)計的數(shù)學(xué)實驗專用工具.利用“水”立方，筆者在江蘇省第八屆數(shù)學(xué)實驗專題研討會上執(zhí)教了《“水”立方——探索正方體截面的形狀》一課，取得了較好的教學(xué)效果，獲得了與會專家們和老師們的高度肯定.

1 實驗工具“水”立方的思考與設(shè)計

正方體是生活中最常見的圖形，也是最基本的幾何體，是初中階段學(xué)生經(jīng)常接觸和認(rèn)識的一種幾何體.有研究表明，三維圖形與二維圖形的相互轉(zhuǎn)換是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的主要途徑.“正方體被平面所截的截面可能的形狀”就是一個典型的三維圖形與二維圖形相互轉(zhuǎn)換的問題，因此，切截正方體是初中階段培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生空間觀念的一個較好的載體.

傳統(tǒng)的實驗工具都是用蘿卜、橡皮泥等制成實物模型代替正方體，但在實際操作時會受到很多因素的制約，影響教學(xué)的效果.如正方體模型的材料要不易切割、耗材較大、切截的技術(shù)要求高，用刀切截時存在安全隱患等等.基于此，實驗工具“水”立方應(yīng)運而生，它主要有以下幾個優(yōu)點：(1)截面一定是平面；(2)可重復(fù)使用，無損耗；(3)無技術(shù)要求，能夠讓研究過程直指目標(biāo)；(4)操作簡單、快捷、安全.“水”立方實驗工具的水面相當(dāng)于截面，調(diào)整其擺放方式，水面就可以從不同的角度與正方體的面相交，從而觀察出截面的形狀.

考慮到用一種水量并不能截出所有的截面形狀(三角形、四邊形、五邊形、六邊形)，因此通過計算及實驗，設(shè)計了兩個“水”立方：水量少的1號“水”立方可以截出三角形、四邊形、五邊形，如圖1；水量多的2號“水”立方可以截出四邊形、五邊形、六邊形，如圖2.在對1號“水”立方進行操作后，可以引發(fā)學(xué)生“增加水量是否會出現(xiàn)六邊形”的思考，在對2號“水”立方進行操作后，可以引發(fā)學(xué)生“增加水量是否會出現(xiàn)七邊形”的思考.

圖1 圖2

2 《“水”立方——探索正方體截面的形狀》教學(xué)設(shè)計與實錄

2.1 引入

(1)播放視頻：世界上最大的鉆石“非洲之星”的設(shè)計、加工過程.

教師：開場白，播放視頻.

學(xué)生活動：觀看視頻.如圖3，圖4，圖5.

圖3 圖4 圖5

解說詞：世界上最大的鉆石原石叫“庫利南”，是1905年在南非的一座礦山中被發(fā)現(xiàn)的，它重達(dá)621克.后來“庫利南”被交給當(dāng)時歐洲最頂級的寶石工匠約瑟夫阿什進行分割，這個有名的工匠花了幾個星期來觀察、研究這塊原石.還按它的大小和形狀造了一個玻璃模型進行試驗，歷經(jīng)6個月才最終成功將它分割.又歷經(jīng)8個月，原石被打磨成9顆大鉆石和96顆小鉆石，其中最大的一顆重達(dá)530.2克拉，被稱為“非洲之星”.它有74個刻面，是世界上最大的切割鉆石.它被鑲在英國女王的權(quán)杖上，目前價值超過20億美元.

教師：“非洲之星”經(jīng)過了怎樣的加工過程？

學(xué)生：觀察、想象、實驗、切割、打磨.

教師：好，今天我們就來研究如何切割鉆石.

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)的目的是通過視頻介紹鉆石“非洲之星”的加工過程，以鉆石切割為研究線索，引導(dǎo)學(xué)生感受本課學(xué)習(xí)的必然性與必要性，體現(xiàn)本課的學(xué)習(xí)價值.

(2)提出問題：將已經(jīng)加工成正方體形狀的鉆石原石進行切割，只切一刀，切割面會是怎樣的形狀？

教師：用數(shù)學(xué)的眼光來看，這個問題就是“探索正方體截面的形狀”.(板書：探索正方體截面的形狀.)

①認(rèn)識正方體形狀特征

教師：在切割鉆石原石之前，需要先觀察研究原石的形狀特點，然后再根據(jù)這些特點設(shè)計切割面.

思考：正方體具有怎樣的形狀特征？

學(xué)生活動：觀察、描述.

特征1：8個頂點、12條棱、6個面.

特征2：1個頂點處有3條棱、3個面.

特征3：12條棱都相等，互相垂直或平行.6個面都相同，互相垂直或平行.

特征4：棱與棱相交之處是頂點(線與線相交得點)、面與面相交之處是棱(面與面相交得線).

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)的目的是通過鉆石切割，引出本課的研究主題.利用鉆石加工的必要過程——切割前先觀察鉆石原石的形狀特征，讓學(xué)生感受到在切割正方體之前，先對正方體的形狀特征加以認(rèn)識是必要的，合情合理而又自然.同時，認(rèn)識正方體的形狀特征，也是為了對即將展開的探索活動中的相關(guān)發(fā)現(xiàn)進行說理做必要的引導(dǎo)和鋪墊.

②認(rèn)識“水”立方

教師：了解了正方體形狀特征，我們就可以來設(shè)計正方體鉆石原石的切割面了.

思考：正方體的截面會是怎樣的形狀？

學(xué)生活動：觀察、操作、演示.

觀察猜測：三角形、四邊形、五邊形、六邊形等.

實物操作：學(xué)生利用提供的正方體實物進行切割.

演示解釋：當(dāng)有學(xué)生切出截面時，由該學(xué)生進行演示切割方法，并解釋.

教師：這位同學(xué)已經(jīng)切出了一種截面.但是，如果這個正方體實物就是一顆鉆石原石，你還敢輕易地對它進行切割嗎？(不敢！)為什么不敢？(帶有破壞性)那該怎么辦？(做個替代物)那就讓我們先做個替代物進行嘗試——“水”立方.(板書：“水”立方，完整呈現(xiàn)本課課題：“水”立方——探索正方體截面的形狀.)

教師介紹“水”立方及使用方法：觀察“水”立方，可以把水面當(dāng)成正方體的截面，通過調(diào)節(jié)“水”立方的擺放方式，就能得到正方體截面的不同形狀.

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)的目的是先通過對正方體實物嘗試進行切割，讓學(xué)生感受直接對實物切割將會帶有破壞性，會存在巨大的風(fēng)險，從而引導(dǎo)學(xué)生感受設(shè)計替代工具“水”立方的必要性.

2.2 探索

活動1：利用“水”立方探索正方體的截面形狀.

教師：用“水”立方切割出你想象的截面，并將你的發(fā)現(xiàn)記錄在實驗記錄單上.

學(xué)生活動：小組合作，操作發(fā)現(xiàn)，思考分析，展示發(fā)現(xiàn)的正方體截面形狀.(可能會有遺漏的情況.)

思考1：為什么截面會出現(xiàn)這些形狀?

思考2：對于正方體截面的形狀你還有怎樣的想法?

學(xué)生可能的想法1：是否還有遺漏的截面形狀？

學(xué)生可能的想法2：截面是否能為七邊形？

學(xué)生可能的想法3：正方體截面是否能為特殊的形狀？

……

思考3：從圖6的位置開始，你能利用2號“水”立方依次截出四邊形、五邊形、六邊形形狀的截面嗎？

學(xué)生活動：操作、演示、解釋.如圖7，圖8，圖9.

說明：“思考1”和“思考2”學(xué)生先提出哪一個，就先處理哪一個，具體順序由課堂實際情況決定.“思考3”作為活動2進行處理.

圖6 圖7 圖8 圖9

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)的目的是通過觀察想象提出猜想、動手操作進行驗證、推理分析獲得發(fā)現(xiàn)、運用結(jié)論解決問題，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)探究過程.在看一看、猜一猜、做一做、想一想、說一說的過程中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，學(xué)會如何“透過現(xiàn)象看清本質(zhì)”，給學(xué)生提供了想象空間，學(xué)生產(chǎn)生、形成了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展了空間觀念，提高了推理能力.

活動2：利用“水”立方探索正方體截面形狀的特殊性.

教師：為了使切割成的鉆石更加地美觀，切割師還會考慮入光線的折射問題等問題，這就需要對鉆石切割面的形狀有進一步要求.(介紹兩種鉆石切割的方式，如圖10，圖11.)

圖10 圖11

思考1：正方體截面可以是特殊的三角形嗎？(等腰三角形，等邊三角形，但截不出直角三角形、鈍角三角形.)

思考2：截面除了是正方形外，還可能是其他特殊的四邊形嗎？(矩形、平行四邊形、菱形、梯形、等腰梯形等.)

思考3：當(dāng)截面為四邊形時，這些四邊形是否具有共同的特征？(至少有1組對邊互相平行.)如果有，請說明原因.(至少有1組面互相平行.)

思考4：當(dāng)截面為五邊形呢？(2組對邊互相平行.)

思考5：當(dāng)截面為六邊形呢？(3組對邊互相平行.)

學(xué)生活動：思考、操作、發(fā)現(xiàn)、分析、說理.

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)的目的是通過對正方體截面形狀的進一步探索，引導(dǎo)學(xué)生在想一想、做一做的過程中提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的意識，在做一做、說一說的過程中提高分析和解決問題的能力，學(xué)生積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展了空間觀念.分析說理的過程，又加深了學(xué)生對正方體的認(rèn)識，提高了推理能力.同時，活動1和活動2，又能夠讓學(xué)生感受一般到特殊的數(shù)學(xué)研究的途徑與方法，積累圖形研究的經(jīng)驗.

活動3：利用“水”立方探索切割后所得幾何體特征.

教師：鉆石原石經(jīng)過切割后，剩下的余料當(dāng)然也要盡可能利用起來，將其重新加工成小的鉆石.那么，正方體切割后，余下部分(液體部分)是怎樣的幾何體？

思考1：當(dāng)截面為三角形時，余下的部分會是怎樣的幾何體？

思考2：當(dāng)截面為四邊形時，余下的部分又會是怎樣的幾何體？

思考3：這些截面為四邊形的幾何體是否具有共同的特征？如果有，請說明原因.

思考4：當(dāng)截面為五邊形時呢？

思考5：當(dāng)截面為六邊形時呢？

學(xué)生活動：思考、操作、發(fā)現(xiàn)、分析、說理.

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)的目的一是關(guān)注對數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，感受互逆的數(shù)學(xué)研究的途徑與方法.活動1、活動2是“由體到面”，活動3是“由面到體”，構(gòu)成了兩個互逆的探究過程，在這個過程中體現(xiàn)了對正向思維與逆向思維的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)，促進了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的累積與疊加；二是為活動4做好了準(zhǔn)備，活動4是通過活動1、活動2所獲得、積累的經(jīng)驗的應(yīng)用，活動3與活動4又形成了自然銜接.

活動4：三棱錐的截面會是怎樣的形狀？

教師：通過對剛才幾個問題的研究，同學(xué)們體驗了學(xué)會觀察、學(xué)會操作、學(xué)會思考的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，也積累了研究幾何體截面問題的經(jīng)驗，下面我們就運用所學(xué)到的知識與方法再去分析、解決與鉆石切割有關(guān)的問題.

思考：三棱錐形狀的鉆石原石切一刀，截面會是怎樣的形狀？(觀察由活動3得到的三棱錐，幾何畫板中呈現(xiàn)圖形，如圖12.)

圖12

學(xué)生活動：觀察、思考、發(fā)現(xiàn)、解釋.

欣賞：利用幾何畫板進行多步切割，演示成為“鉆石”的過程后，欣賞世界上著名的幾顆鉆石.如圖13，圖14，圖15.

圖13 圖14 圖15

教師：鉆石切割是多面體截面在實際生活中的一個應(yīng)用，類似于這樣的應(yīng)用在生活中還有很多，你能舉出這方面的例子嗎？

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)的設(shè)計目的是通過觀察、分析三棱錐截面的形狀，對幾何體截面的研究方法的掌握情況進行評價，再次感受本課的學(xué)習(xí)價值，同時在運用經(jīng)驗分析和解決問題的過程中，促進了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的再次累積與疊加.

2.3 總結(jié)

本節(jié)課研究了正方體截面的形狀問題，在探索的過程中，我們學(xué)會了動手操作、動腦思考的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，知道要透過現(xiàn)象看清事物的本質(zhì).請大家課后繼續(xù)探索常見的如球體、圓柱體、圓錐體、棱錐體的等幾何體的截面問題，鞏固今天的所學(xué).

一顆鉆石原石看起來并不起眼，但經(jīng)過精心設(shè)計、精準(zhǔn)切割、精致打磨，就會成為璀璨奪目、煜煜生輝的精美鉆石.鉆石切割也是人類追求完美的過程，但呈現(xiàn)這種完美的機會只有一次！

3 一些思考

數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生利用實驗工具進行觀察想象、操作驗證、推理證明的數(shù)學(xué)活動，借助數(shù)學(xué)實驗工具，學(xué)生可以親身體驗、感悟幾何圖形的抽象、運動與變化，這與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出的“空間觀念的目標(biāo)的達(dá)成是一個包括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析的過程”具有高度的一致性.因此，數(shù)學(xué)實驗工具有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，借助數(shù)學(xué)實驗工具可以有效發(fā)展學(xué)生的空間觀念.

3.1 利用數(shù)學(xué)實驗工具，可以提供發(fā)展空間觀念所需要的豐富的現(xiàn)實情境

空間觀念的形成基于對事物的觀察與想象，現(xiàn)實世界中的物體及其關(guān)系是學(xué)生們觀察的最好材料，學(xué)生已有的經(jīng)驗是觀察、想象、分析的基礎(chǔ)，教學(xué)中結(jié)合學(xué)生們熟悉的現(xiàn)實問題情境是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有效策略.初中階段，圖形的運動、幾何體的展開與折疊、幾何體的視圖、幾何體與用平面去截所得的截面等，都蘊涵著三維圖形與二維圖形的相互轉(zhuǎn)換，都是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的重要載體，為此，設(shè)計和利用專用實驗工具尤為必要.如，利用“線面體形成儀”可以探索點、線、面、體之間的關(guān)系，利用“多面體表面組件”可以探索多面體與其構(gòu)成的表面間的關(guān)系，利用“小立方體套件”可以探索不同組合圖形的視圖關(guān)系，利用“‘水’立方”可以探索正方體截面的形狀.另外，學(xué)生身邊的物品，也能作為發(fā)展空間觀念的實驗工具，如紙張、橡皮、文具盒、直尺、三角板、量角器等，這些專用實驗工具和普通實驗工具都能為發(fā)展學(xué)生的空間觀念提供豐富的現(xiàn)實情境.

3.2 利用數(shù)學(xué)實驗工具，可以提供發(fā)展空間觀念所需要的觀察想象的空間

空間觀念的培養(yǎng)是一個長期的積累經(jīng)驗、豐富想象力的過程.觀察與描述是發(fā)展空間觀念的基礎(chǔ)，想象與再現(xiàn)是更高層次的空間觀念的表現(xiàn).借助實驗工具“水”立方，在活動1中，通過“由體到面”(三維到二維)，引導(dǎo)學(xué)生先想一想正方體截面可能的形狀，再操作“水”立方去做一做，然后看一看截面出現(xiàn)的形狀，把實際看到的和想象的進行比較，從而得出正確的結(jié)論.在活動2中，通過“由面到體”(二維到三維)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)截面四邊形形狀的共同特征，再操作“水”立方去做一做，發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生共同特征其中的原因.在活動3中，通過“由面到體”(二維到三維)，引導(dǎo)學(xué)生先想一想截得的幾何體的形狀，再操作“水”立方去做一做，發(fā)現(xiàn)截得的幾何體的形狀特征.在活動4中，通過“由體到面”(三維到二維)，引導(dǎo)學(xué)生想一想、說一說三棱錐截面的形狀.這樣，利用實驗工具“水”立方，在面與體相互交織的過程中，學(xué)生充分感受、體驗了三維圖形與二維圖形的相互轉(zhuǎn)換，學(xué)生把握面與體之間關(guān)系的能力得到了提高，形成、獲得、積累了想象的經(jīng)驗，豐富了想象力.

3.3 利用數(shù)學(xué)實驗工具，可以提供發(fā)展空間觀念所需要的推理分析的機會

空間觀念的發(fā)展可以通過多種途徑實現(xiàn)，如生活經(jīng)驗的回憶與再現(xiàn)、實物觀察與描述、拼擺與畫圖、折紙與展開等，但推理與分析是各種途徑中必要、也是最為重要的一個環(huán)節(jié).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：要盡可能地為學(xué)生提供觀察、操作、歸納、類比、猜測、證明的機會，發(fā)展學(xué)生的推理能力.具有一定的推理能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)課程和課堂教學(xué)的重要目標(biāo).活動1中，借助實驗工具“水”立方，學(xué)生先通過觀察與想象獲得對“正方體截面可能的形狀”的猜想，然后通過動手操作“水”立方驗證猜想，發(fā)現(xiàn)正方體截面的各種形狀，再通過動腦思考利用“截面多邊形的邊是截面與正方體的面的交線”加以證明，并依此解決了“截面是否能為七邊形？”的問題，同時也為活動4的探索積累了經(jīng)驗.在活動2中，通過提出“對于正方體截面的形狀你還有怎樣的想法？”引導(dǎo)學(xué)生思考“截面是否能為特殊的形狀？”然后對截面三角形形狀的特殊性進行探索，再對得到的截面四邊形的形狀提出猜想“這些四邊形是否具有共同的特征？”通過觀察，發(fā)現(xiàn)這些四邊形的共同特征“至少有1組對邊平行”，再利用“正方體的四個面中至少有1組面互相平行”加以證明，并依此解決了“截面五邊形和截面六邊形的形狀特征”的問題，同時也為活動3的探索積累了經(jīng)驗.這四個探索活動，都提供給了學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的機會，在經(jīng)歷合情推理獲得猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理驗證猜想、證明結(jié)論的過程中，發(fā)展了推理能力.

借助數(shù)學(xué)實驗工具，可以讓學(xué)生經(jīng)歷觀察想象、操作驗證、推理證明、獲得結(jié)論、應(yīng)用結(jié)論解決問題的完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，這樣的學(xué)習(xí)活動，不僅有利于“四基四能”目標(biāo)的全面達(dá)成，對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，也將起到積極地推動作用.