2019年4月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2476已知a,b,c≥0,a+b+c=3,求證:

4≤a2+b2+c2+abc≤9.

(陜西省咸陽師范學院基礎教育課程研究中心 安振平 712000)

證明先證左不等式

a2+b2+c2+abc≥4.

不妨設a=min{a,b,c},則0

a2+b2+c2+abc-4

故a2+b2+c2+abc≥4.

再證右不等式

a2+b2+c2+abc≤9.

只要證明

a2+b2+c2+6abc≤9，

這等價于

(a2+b2+c2)(a+b+c)+18abc≤(a+b+c)3,

等價于

a3+b3+c3+(a2b+b2c+c2a)

+(ab2+bc2+ca2)+18abc

≤a3+b3+c3+3(a2b+b2c+c2a)

+3(ab2+bc2+ca2)+6abc,

等價于

(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)≥6abc,

這用6元均值不等式知顯然成立，

即有a2+b2+c2+abc≤9.

綜上，便有4≤a2+b2+c2+abc≤9.

2477求證：在(a+b)n(n∈N*)的展開式中有2s(n)個系數(shù)為奇數(shù).其中s(n)是n在二進制表示中的數(shù)字和.

(湖北省谷城縣第三中學 賀 斌 龔為民 441700)

證明設n的二進制表示為

n=(al,al-1,…,a1,a0)，

即n=al×2l+al-1×2l-1+…+a1×2+a0，

則易知n!中2的次數(shù)為

α=(al,al-1,…,a1)+(al,al-1,…,a2)+…+(al)

=al×(2l-1+2l-2+…+1)+al-1

×(2l-2+2l-3+…+1)+…+a1

=al×(2l-1)+al-1×(2l-1-1)

+…+a1×(21-1)

=n-s(n).

n-s(n)-(k-s(k))-(n-k-s(n-k))

=s(k)+s(n-k)-s(n).

2478已知如圖1，五邊形ABCDE內接于⊙O，且BC=DE，∠EAB=120°. 求證：

AC·AD≤(AB+AE)2.

(北京市芳草地國際學校富力分校 郭文征 郭璋 100121)

圖1

圖2

證明如圖2，連接CE，連接BE交AD于點G.

因為BC=DE，

所以∠EAC=∠BAG.

因為E、A、B、C四點共圓，

所以∠ECA=∠ABE，

所以△ACE∽△ABG，

?AB·AE=AC·AG

=AC·(AD-DG)

=AC·AD-AC·DG.

?AC·AD

=AB·AE+AC·DG.

①

因為A、C、D、E四點共圓，

所以∠EDA=∠ECA.

所以∠DEB=∠EAC.

從而△DEG∽△CAE.

?AC·DG=DE·CE

?AC·DG=BC·CE.

②

由①、②兩式可得

AC·AD=AB·AE+BC·CE.

③

在△ECB中，由余弦定理得

BE2=BC2+CE2-2BC·CE·cos ∠ECB

?BE2=BC2+CE2-2BC·CE·cos 60°

?BE2=BC2+CE2-BC·CE

?BE2≥2BC·CE-BC·CE

?BE2≥BC·CE.

④

在△EAB中，由余弦理得

BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos ∠EAB

?BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos 120°

?BE2=AB2+AE2+AB·AE.

⑤

由④、⑤兩式得

BC·CE≤AB2+AE2+AB·AE.

⑥

由③、⑥兩式得

AC·AD≤AB2+AE2+2AB·AE，

所以AC·AD≤(AB+AE)2.

由∠EAD=∠BAC可知AC、AD為∠EAB的內等角線，當且僅當∠EAB的內等角線AC、AD重合為∠EAB的平分線時，不等式中的等號成立.

(浙江省海鹽縣元濟高級中學 張艷宗 314300；北京航空航天大學圖書館 宋慶 100191)

證明

(浙江省慈溪市慈溪實驗中學 華漫天 315300)

證明設E(acosα,bsinα)，F(xiàn)(acosβ,bsinβ)，

則直線EF解析式為

得直線OP解析式為

同時直線AE解析式為

同理可得

顯然，欲證OG=OH，只須證xH=-xG

?sin2α-sinαsinβ-sinαcosβsin(α-β)

=sinβcosαsin(α-β)-sinβsinα+sin2β

?sin2α-sin2β=sinβcosαsin(α-β)+sinαcosβsin(α-β)

顯然成立，得證.

2019年5月號問題(來稿請注明出處——編者)

2481設a,b,c>0,證明

(安徽省六安第二中學 陶興紅 237005)

(安徽省樅陽縣宏實中學 江保兵 246700)

2483在△ABC中，求證：

(四川成都金牛西林巷18號晨曦數(shù)學工作室 宿曉陽 610031)

(河南省方城縣教研室 邵明憲 473200)

2485在△ABC中,設a,b,c,ha,hb,hc,R分別為三邊長、三個高線長及外接圓半徑,指數(shù)p為正數(shù),求證