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        Guggenheimer不等式的高次加權推廣

        2019-07-09 10:53:14費紅亮曾善鵬楊學枝
        數(shù)學通報 2019年5期
        關鍵詞:三邊實數(shù)命題

        費紅亮,曾善鵬 ,楊學枝

        (1.杭州高級中學 310003;2.杭州市電子信息職業(yè)學校 310021;3.福州市福州第二十四中學 350015)

        1 問題背景

        1967年,H.W.Guggenheimer建立了如下不等式,我們稱之為Guggenheimer不等式.

        定理A[1].P是△ABC中任意一點,a,b,c是三角形三邊,則有

        PA+PB+PC

        1971年,M.S.Klamkin得到上述不等式二次形式,我們稱之為Klamkin不等式.

        定理B[2].P是△ABC中任意一點,a,b,c是三角形三邊,則有

        PA2+PB2+PC2

        1989年,陳計對定理B進行推廣得到如下結果.

        定理C[3].P是△ABC中任意一點,a,b,c是三角形三邊,n是任意正整數(shù),則

        PAn+PBn+PCn

        實際上,可以得到Guggenheimer不等式和klamkin不等式的加強形式.

        定理D[4][5].P是△ABC中任意一點,a,b,c是三角形三邊,若a≥b≥c,則有

        PA+PB+PC

        定理E[5].P是△ABC中任意一點,a,b,c是三角形三邊,若a≥b≥c,則有

        PA2+PB2+PC2

        2018年,曾善鵬和費紅亮老師對定理C、D進行加權推廣得到

        定理F[6].P是△ABC中任意一點,a,b,c是三角形三邊,λ,u,v為任意正實數(shù),若a≥b≥c,則有

        λPA+uPB+vPC

        定理G[6].P是△ABC中任意一點,a,b,c是三角形三邊,λ,u,v為任意正實數(shù),若a≥b≥c,則有

        λPA2+uPB2+vPC2

        類比于定理F、G,本文對定理F進行加權推廣得到如下

        命題1設△ABC三邊長為BC=a,CA=b,AB=c,且c最小,P為△ABC內部任意一點,λ,u,v為任意正實數(shù),n∈N*,則

        λPAn+uPBn+vPCn≤max{u,v}an+max{v,λ}bn.

        于是,得到

        =yc+zb,

        下面先證明

        應用數(shù)學歸納法證明式①.

        當n=1時式①為等式;當n=2時,易證

        ? (yc+zb)2≤(x+y+z)(yc2+zb2)

        ? 2yzbc≤(x+z)yc2+(x+z)zb2,

        ≥2yzbc,因此上式成立,式①得證.

        假設n=k時式①成立,即

        當n=k+1,有

        這時,只要證明

        ? (yck+zbk)(yc+zb)

        ≤(x+y+z)(yck+1+zbk+1),

        ? (yck+zbk)(yc+zb)

        ≤(y+z)(yck+1+zbk+1)

        ?bkc+bck≤bk+1+ck+1,

        ? (bk-ck)(b-c)≥0,

        上式顯然成立,故當n=k+1時,式①也成立,從而式①獲證.

        同理可證另外類似兩式:

        于是,要證明原命題1,只要證明

        ≤max{u,v}an+max{v,λ}bn.

        式②右邊-左邊

        =(x+y+z)[max{u,v}an+max{v,λ}bn]

        -[(uz+vy)an+(vx+λz)bn+(λy+ux)cn]

        =[(x+y+z)max{u,v}-(uz+vy)]an+[(x+y+z)max{v,λ}-(vx+λz)]bn-(λy+ux)cn

        ≥xmax{u,v}an+ymax{v,λ}bn-(λy+ux)cn

        ≥[xmax{u,v}+ymax{v,λ}-(λy+ux)]cn

        ≥0.

        由此可知,式②成立,原命題1獲證.

        根據(jù)命題1證明,容易得到以下

        命題2(自創(chuàng)題)設△ABC三邊長為BC=a,CA=b,AB=c,且c最小,P為△ABC內部任意一點,λ,u,v為任意正實數(shù),α≥1,則

        λPAα+uPBα+vPCα≤max{u,v}aα+max{v,λ}bα.

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