王 嶸

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

縱觀百年發(fā)展，我國中學數(shù)學課程從傳授知識到發(fā)展智能再到提升素養(yǎng)，越來越注重數(shù)學的育人價值.特別是《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《標準》)，提出了六大數(shù)學核心素養(yǎng)，并給出了明確具體的界定.在教材編寫、教學實踐和學業(yè)評價中，如何處理數(shù)學知識與核心素養(yǎng)的關(guān)系，達成兩者的有機融合，是實現(xiàn)課程目標的關(guān)鍵.本文以函數(shù)為例，聚焦教材編寫，從體系建構(gòu)和呈現(xiàn)方式兩個方面探討這個問題.

1 強調(diào)邏輯性和關(guān)聯(lián)性的主線建構(gòu)

《標準》指出，六個數(shù)學核心素養(yǎng)既相對獨立、又相互關(guān)聯(lián)，是一個有機的整體，而且它們是在數(shù)學學習和應用過程中逐步形成和發(fā)展的.因此，數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有連續(xù)性和階段性.相應地，教材就需要構(gòu)建一個結(jié)構(gòu)體系，努力處理好知識的整體性和層次性與素養(yǎng)的連續(xù)性和階段性之間的關(guān)系.

核心概念位居數(shù)學概念體系的中心，它既具有豐富的數(shù)學基本特征，又具有很強的自我生長能力和聯(lián)系紐帶作用.因此，無論是對數(shù)學知識還是核心素養(yǎng)，它都具有強大的縱向融合貫通、橫向緊密聯(lián)系的組織功能.[1][2]以核心概念的邏輯發(fā)展為主線組織相關(guān)知識，以其子概念為載體，發(fā)展不同主線間的聯(lián)系，就能形成主線明確、聯(lián)系通道順暢的網(wǎng)狀教材體系，從而將數(shù)學知識的整體構(gòu)建與核心素養(yǎng)的連續(xù)發(fā)展融為一體.

1.1 單條主線的縱向貫通

根據(jù)函數(shù)的邏輯發(fā)展，從定義到性質(zhì)，從一般到具體和特殊，從關(guān)系到對象，形成了貫穿高中數(shù)學課程的函數(shù)主線(圖1).首先，基于初中函數(shù)定義的變量說，提升抽象程度，研究一般函數(shù)的概念，得到函數(shù)定義的對應關(guān)系說，并系統(tǒng)研究函數(shù)的性質(zhì)；然后基于一般的函數(shù)概念，既可以根據(jù)變化規(guī)律的特點，分析數(shù)量關(guān)系特征(函數(shù)結(jié)構(gòu))，得到四類基本初等函數(shù)，也可以將定義域限制在自然數(shù)集，得到一類特殊的函數(shù)——數(shù)列，并研究這些函數(shù)類的性質(zhì)和應用；最后，將函數(shù)作為一種對象，從對函數(shù)分類到研究一元函數(shù)的導數(shù)，進入數(shù)學分析的領(lǐng)域.

圖1 函數(shù)的邏輯發(fā)展主線[注] 虛線框為初中學過的知識，仿宋字為滲透使用、延伸到大學將學的知識.

根據(jù)這條主線，教材采用相對集中、分段安排的編排方式，以突出知識的邏輯性、整體性和素養(yǎng)的連續(xù)性、階段性.具體做法有：(1)函數(shù)的概念、函數(shù)的表示法、函數(shù)的性質(zhì)、基本函數(shù)類、函數(shù)的應用集中于一冊，放在高一年級；特殊函數(shù)類、一元函數(shù)的導數(shù)集中于一冊，放在高二年級.(2)函數(shù)的理解，分為兩個階段：一是理解它的概念本質(zhì)，即對應關(guān)系；二是對函數(shù)進行分類，把每一類函數(shù)當作一個整體并研究它的結(jié)構(gòu)與共性，即將函數(shù)作為一個對象進行操作.例如根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)差異可以分為冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，這些基本初等函數(shù)是函數(shù)大廈的基石，經(jīng)過有限次代數(shù)運算和復合運算、逆運算(反函數(shù))，以及求極限、導數(shù)、積分就可以得到更多的新函數(shù).(3)函數(shù)的性質(zhì)，也分為兩個階段理解：一是介紹四個初等性質(zhì)：單調(diào)性、最值(有界性)、奇偶性和周期性；二是滲透連續(xù)性和可導性，這種滲透都是基于直觀上的使用，例如結(jié)合圖象對“連續(xù)不斷曲線”的感知，以及結(jié)合具體函數(shù)認識某一點“可導”等.對于分階段學習和理解的知識，教材通過關(guān)注以下兩點來加強主線的整體性：(1)從哪里來，延續(xù)初中所學，往哪里去，延伸到大學將學，例如章引言、節(jié)引言和章小結(jié)中的概要說明；(2)階段性總結(jié)，例如函數(shù)性質(zhì)的高一與高二的跨年級總結(jié)，特別是單調(diào)性的直觀理解、代數(shù)求解、導數(shù)刻畫的總結(jié)以及相關(guān)數(shù)學素養(yǎng)的階段性提升.

1.2 不同主線間的橫向聯(lián)系

除了函數(shù)主線，高中數(shù)學課程還有三條主線：幾何與代數(shù)，概率與統(tǒng)計，數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動[3].以函數(shù)的某些子概念為載體，就可以發(fā)展出與其他主線的聯(lián)系(圖2).函數(shù)是刻畫運動變化的數(shù)學模型，其類型的多樣性和性質(zhì)的豐富性使得它可以表達豐富的現(xiàn)實世界規(guī)律.因此，數(shù)學建?；顒雍秃瘮?shù)學習有一種天然的聯(lián)系，從獲得函數(shù)概念、每一類函數(shù)以及函數(shù)的應用，幾乎都離不開建模活動.而基本初等函數(shù)以及通過運算產(chǎn)生的新函數(shù)為概率與統(tǒng)計提供了相應的數(shù)學工具，例如用函數(shù)模型模擬雙變量情形中的趨勢，建立回歸模型，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)了解正態(tài)分布的特點.進一步，當用代數(shù)方法研究幾何時，運動、曲線、函數(shù)就和諧地聯(lián)系在一起了，如一次函數(shù)與直線，二次函數(shù)與拋物線，三角函數(shù)與圓、斜率、向量、復數(shù)，等等.

圖2 函數(shù)與其他主線之間的聯(lián)系

根據(jù)主線間的橫向聯(lián)系，教材通過加強聯(lián)系來突出數(shù)學的整體性，主要做法有：(1)強化子概念的橋梁作用.不同主線之間的聯(lián)系是通過主線核心概念的某些子概念建立的，因此呈現(xiàn)這些子概念時，特別突出了“橋梁”的搭建過程.比如與其他主線建立聯(lián)系最多的三角函數(shù)，關(guān)注了兩個“對應”的建立：一是，角本身是一個幾何對象，引入弧度制，角和實數(shù)建立一一對應，符合對應關(guān)系的函數(shù)定義；二是，將角放在坐標系中，角的變化與單位圓上點的變化建立了對應，再利用圓的幾何性質(zhì)，就可以得到相應的三角函數(shù)之間的關(guān)系，像誘導公式等.再如一元線性回歸模型，借助一次函數(shù)建立回歸模型，同時通過兩者的區(qū)別說明了回歸模型的含義.(2)繪制關(guān)系框圖.為了簡單、明確地表明知識之間的邏輯發(fā)展和相互聯(lián)系，教材在小結(jié)中采用了框圖形式.比如圖3[注]人民教育出版社中學數(shù)學室，普通高中教科書數(shù)學必修第二冊(送審本)：98.，就表明了復數(shù)與實數(shù)、有理數(shù)，以及和平面向量、三角函數(shù)之間的關(guān)系.

圖3 關(guān)系框圖

2 展現(xiàn)知識和思維發(fā)生發(fā)展的雙過程

在教材整體結(jié)構(gòu)設計之后，更為具體化、可視化的是教材的呈現(xiàn)，即如何在數(shù)學知識的表述中體現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)，將知識學習與素養(yǎng)培養(yǎng)融為一體.我們認為，通過數(shù)學學習，無論是培養(yǎng)能力還是形成品德，都會具有數(shù)學的基本特征，而數(shù)學就是思維的科學，只有具有了數(shù)學的思維方式，擁有了一定的數(shù)學知識，才能以數(shù)學的眼光觀察和發(fā)現(xiàn)問題，才能以數(shù)學的思想和方法分析和解決問題，才能在這個過程中養(yǎng)成探索精神和理性精神，才能實現(xiàn)數(shù)學在形成人生觀、價值觀、世界觀等方面的獨特作用.因此，教材以“展現(xiàn)雙過程”為橋梁，基于知識學習，以思維能力的培養(yǎng)為核心，并由此延伸到一般能力和個人品德的培養(yǎng).

2.1 基于知識的發(fā)生發(fā)展，體現(xiàn)數(shù)學的思維方式

當我們強調(diào)數(shù)學不只是學習知識，還要學習思想和方法時，我們需要展現(xiàn)知識發(fā)生發(fā)展的過程，讓學生通過經(jīng)歷這個過程，學會知識、掌握方法、理解思想；同樣地，如果要培養(yǎng)學生的思維能力，那么就需要讓學生使用數(shù)學思維方法，經(jīng)歷思考的過程.概括而言，就是讓學生以數(shù)學的思維方式經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展，既學會了知識，又受到了研究方法的訓練，從而培養(yǎng)了學生的思維能力，提升了數(shù)學素養(yǎng).

知識發(fā)生發(fā)展的過程大致為：從哪里來，即數(shù)學對象的背景；如何獲得的，即數(shù)學對象的產(chǎn)生；具有哪些性質(zhì)、有何拓展與應用，即數(shù)學對象的發(fā)展.相應地，實現(xiàn)這個過程的數(shù)學思維方式大致為：觀察客觀現(xiàn)象，分析其主要特征，抽象出概念；然后通過探索，運用直觀想象、歸納、比較，做出某種猜想；對猜想進行證明，需要進一步的深入分析、計算和邏輯推理，揭示出事物的內(nèi)在規(guī)律.例如圖4，展示了函數(shù)的發(fā)生發(fā)展和數(shù)學思維方式之間的一些主要關(guān)系，觀察背景實例，抽象概括出概念，通過比較歸納獲得性質(zhì)，運用分析與綜合進行論證和應用.

圖4

2.2 兩個案例：指數(shù)函數(shù)與導數(shù)

為了較為直觀具體地說明如何通過展開知識和思維發(fā)生發(fā)展的“雙過程”，從而將知識學習和數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)相融合，下面來分析兩個案例.

1．指數(shù)函數(shù)的概念：數(shù)學運算素養(yǎng)與數(shù)學抽象素養(yǎng)

“指數(shù)”最初是多次自乘的一種縮寫符號，“指數(shù)法則：aman=am+n”也可以看成結(jié)合律的一種特殊情形.當“保持指數(shù)法則”不變時，逐步地把指數(shù)從整數(shù)推廣到分數(shù)、一直到實數(shù)后，就得到一個函數(shù)，即指數(shù)函數(shù).同時，指數(shù)函數(shù)也是一類自然規(guī)律的數(shù)學抽象，它刻畫的是某類增長率為定值的變化事物，即變化事物的增長速率與其自身成正比，而線性函數(shù)的增長速率為定值，所以指數(shù)函數(shù)是級數(shù)增長，也就是通常所說的指數(shù)爆炸.

在高中階段，“無理數(shù)指數(shù)冪”實現(xiàn)了指數(shù)從整數(shù)到實數(shù)的推廣，明確了其意義與運算性質(zhì).“指數(shù)函數(shù)”則是作為刻畫某一類自然規(guī)律的函數(shù)學習，因此，指數(shù)函數(shù)的概念是從這一類自然規(guī)律中抽象獲得.但是在抽象過程中，很關(guān)鍵的是對于數(shù)量關(guān)系、運算特點的分析，通過分析，去掉非本質(zhì)的，保留本質(zhì)的屬性，獲得共同的數(shù)學結(jié)構(gòu).

(1)精選例子：觀察—分析

在數(shù)學研究中，數(shù)學抽象的第一步是發(fā)現(xiàn)數(shù)學現(xiàn)象，即從紛繁復雜的情景中發(fā)現(xiàn)一些反復出現(xiàn)的、預示著某種規(guī)律性的數(shù)學現(xiàn)象.由于教科書的局限性，不可能呈現(xiàn)這種復雜的情景，因此，教科書一般需要精挑細選作為數(shù)學抽象情景的例子.根據(jù)指數(shù)函數(shù)刻畫的自然規(guī)律類型，教科書精選了兩個實例：旅游經(jīng)濟問題和碳14衰減問題.第一個實例有兩個特點：一是貼近實際，A，B兩地景區(qū)的數(shù)據(jù)均源于真實數(shù)據(jù)，兩地景區(qū)的游客人數(shù)變化分別呈線性增長和指數(shù)增長；二是以表格呈現(xiàn)原始數(shù)據(jù)，學生需要通過觀察、作圖、運算等發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)蘊含的規(guī)律.第二個實例是經(jīng)典的指數(shù)函數(shù)問題，直接給出了變化規(guī)律：生物體死亡后，它體內(nèi)碳14含量會按確定的比率衰減，學生需要根據(jù)這個規(guī)律寫出碳14含量與死亡年數(shù)的關(guān)系式.兩個實例，一個是指數(shù)增長，一個是指數(shù)衰減；一個需要觀察和分析數(shù)據(jù)，一個需要觀察和分析關(guān)系式的變化特點.

(2)恰時恰點設問：分析—抽象—比較—概括—抽象[5]

設問是引導學生獨立思考，展現(xiàn)思維過程的重要手段.恰時恰點地設問，是教科書編寫的目標之一，也是不斷改進的環(huán)節(jié)之一.對于旅游經(jīng)濟這個實例，通過數(shù)據(jù)及其圖象，學生能觀察到數(shù)據(jù)的變化規(guī)律：A地景區(qū)的游客人數(shù)呈線性增長，B地景區(qū)的游客人數(shù)呈非線性增長.那么，這種非線性增長的特點是什么？是否可以用數(shù)學工具刻畫呢？這時，簡單的數(shù)據(jù)和圖象趨勢的觀察和分析，已經(jīng)不能解決這些問題，需要尋找方法深入分析和比較.因此，教科書設置“探究”欄目提出問題：年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的.能否通過對B地景區(qū)每年的游客人次做其他運算發(fā)現(xiàn)游客人次的變化規(guī)律？通過這個問題，引導學生思考通過運算精細分析數(shù)據(jù)間的數(shù)量關(guān)系，加一加、除一除，會發(fā)現(xiàn)B地景區(qū)的游客人次的年增長率是一個常數(shù).那么，這一規(guī)律的數(shù)學屬性是什么？是否具有一般性？教科書通過分別分析兩個實例中關(guān)系式的運算特點(指數(shù)冪)，抽象出各自的函數(shù)解析式之后，比較這兩個函數(shù)關(guān)系，概括它們的共同屬性，區(qū)分出本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性(比如由背景造成的定義域限制等)，抽象出指數(shù)函數(shù)的概念.

2. 導數(shù)的概念：直觀想象素養(yǎng)與數(shù)學抽象素養(yǎng)

數(shù)學概念的獲得，一般都通過數(shù)學抽象獲得.但是在這個過程中，根據(jù)知識的特點，運用的思維方式不同，側(cè)重的數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)也不同.比如，指數(shù)函數(shù)概念的抽象，關(guān)鍵在于對運算特點的分析，因此培養(yǎng)了數(shù)學運算素養(yǎng)；而對于導數(shù)概念的抽象，其過程大致為：直觀的物理概念(速度)和幾何概念(切線)—樸素的數(shù)學想法—分析方法—符號表示—分析定義.由于高中階段并不介紹嚴格的極限定義，因此導數(shù)概念的獲得更需要對于無限的直觀想象和逼近思想的領(lǐng)悟，也就需要較強的直觀想象素養(yǎng).

從歷史上來看，導數(shù)這樣一個概念，其抽象過程也充滿了直覺、靈感、困惑、頓悟、質(zhì)疑等，因此相較于指數(shù)函數(shù)的“精選例子”和“設問”，對于導數(shù)，教科書更加關(guān)注“表明想法”和“明確道理”，讓學生充分運用直觀想象、觀察分析、抽象概括等思維方式獲得導數(shù)的定義，感悟?qū)?shù)的意義.

(1)表明想法

無論是從直觀的速度概念還是切線概念出發(fā)，都需要想象“無限”是怎么回事.生物學是使用顯微鏡觀察微生物，而數(shù)學是用思維的顯微鏡想象無限.物質(zhì)的顯微鏡受倍率限制，而思考的顯微鏡可以無限.比如，把拋物線f(x)=x2在點(1，1)處放大10倍，100倍，點(1，1)附近的曲線彎曲越來越不明顯，這就像我們生活在地球的某一處很難感覺到地球是圓的一樣.繼續(xù)擴大倍數(shù)，1000倍，10000倍……運用思維的力量大膽想象，點(1，1)附近曲線的無限小部分變成了直線，而這條直線的無限延長就成了切線.

首先，教科書借助速度概念和切線概念的直觀性引導學生開啟想象之門.例如，對于跳水運動，直觀感受運動員從起跳到入水過程中運動的快慢；對于切線，直觀感受圓的切線定義(一條直線與一個圓只有一個公共點)的局限性等.然后，在困惑、頓悟、靈感(思想)之處用一些話語點明想法的源頭和實施方法，例如對于跳水運動在某個時間段內(nèi)遠動員的平均速度為0，提出問題“用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題”“如何計算瞬時速度”后，要求學生想象：如果不斷地縮短時間段的長度，那么平均速度和瞬時速度有何關(guān)系.同時還利用旁注點明：用運動變化的觀點研究問題是微積分的重要思想.接下來，在切線研究時，教科書類比瞬時速度，要求學生用這種運動變化的觀點想象割線的變化趨勢，而且在展示動態(tài)的局部放大的圖象變化時，又用旁注點明：數(shù)學上常用簡單的對象刻畫復雜的對象.這里，我們用曲線上某點處的切線近似代替這一點附近的曲線，這就是微積分中重要的思想方法——以直代曲.

(2)明確道理

結(jié)束語

在教材編寫中，“如何將數(shù)學知識與數(shù)學素養(yǎng)融為一體”這個問題既是重點又是難點.從前期研究到中期實驗再到后期編寫，我們逐漸認識到二者的相輔相承以及“融合”的自然而然.數(shù)學知識具有邏輯性和聯(lián)系性，數(shù)學素養(yǎng)具有連續(xù)性和階段性，因此，都需要站在系統(tǒng)的高度編、教、學，這樣才能看到其中的“盤根錯節(jié)”和“渾然一體”；具體到每一個數(shù)學知識，特別是核心知識，側(cè)重的數(shù)學素養(yǎng)不同，因此，需要根據(jù)知識的特點，分析其蘊含的最突出的數(shù)學素養(yǎng)，展開知識和思維發(fā)生發(fā)展的雙過程，才能深入本質(zhì)，明察秋毫.