吳秀吉 羅永超

(1．貴州省凱里學(xué)院附屬中學(xué) 556000； 2.貴州省凱里學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 556011)

風(fēng)雨橋是侗族最具特色的建筑之一.她和侗族鼓樓、侗族大歌，被列為侗族“三寶”，聞名于世.她是侗族人民勤勞智慧的結(jié)晶，更是侗族艱苦創(chuàng)業(yè)、勤勞愛家的民族獨(dú)特的人文景觀.風(fēng)雨橋已經(jīng)不僅僅是實(shí)用意義上的橋，更是侗族人民追求現(xiàn)實(shí)完美、追求靈魂超越的象征.整個(gè)橋身不用一釘一鉚以及其他鐵件，皆以質(zhì)地耐力的杉木鑿榫銜接而成，集橋、廊、亭、塔、樓閣的建筑特色于一體.風(fēng)雨橋是所有橋梁建筑中的明星，她是侗族橋梁建筑藝術(shù)的結(jié)晶.

風(fēng)雨橋的主體結(jié)構(gòu)對(duì)稱和諧，其亭、塔平面圖通常是正方形、正六邊形和正八邊形，但也有平面圖一般由正方形和正八邊形復(fù)合組成．其平面結(jié)構(gòu)圖(如圖1所示)內(nèi)部是一個(gè)正方形A2B2C2D2，而外部是一個(gè)與正方形A2B2C2D2同心的正八邊形A2EB2FC2GD2H組成.古代侗族沒有量角器，風(fēng)雨橋建筑師僅憑一把直角刻度尺(風(fēng)雨橋建筑師通常稱為“角尺”，如圖2所示,較短的直角邊帶有刻度)和一只竹筆(竹箋：如圖3所示)，在實(shí)踐中總結(jié)出了很多幾何作圖的方法．盡管風(fēng)雨橋建筑師門派較多，同一種圖形的畫法也不盡相同. 本文對(duì)侗族風(fēng)雨橋建筑的整個(gè)工藝過程和制作流程中所包含的數(shù)學(xué)原理進(jìn)行研究得出以下結(jié)果.

圖1

圖2 直角刻度尺

圖3 鼓樓建筑師常用的竹筆

1 風(fēng)雨橋建筑的初等幾何

我們注意到，建造一座平面結(jié)構(gòu)圖為內(nèi)部是一個(gè)正方形，而外部是一個(gè)與正方形同心的正八邊形組成的風(fēng)雨橋亭、塔，鑿柱眼時(shí)需要做成135°和22.5°的角，他們通常是通過作等腰直角三角形底邊上的中線平分直角去實(shí)現(xiàn)的，過程如下：

首先，在準(zhǔn)備好的呈圓柱(實(shí)際上是不規(guī)則)的原木，(如圖4)兩頭(橫截面)分別吊垂線A1A2及A′1A′2，并用墨線分別連接A1A′1及A2A′2；然后將原木旋轉(zhuǎn)90° ，重復(fù)前面的方法作出B1B2,B′1B′2,B1B′1,B2B′2, 且A1A2⊥B1B2, 垂足為O，A′1A′2⊥B′1B′2, 垂足為O′ ；這實(shí)際上是將原木抽象為直線OO′ 的過程(O及O′未必是原木兩頭橫截面中心，橫截面也未必是圓面).

圖4

其次，分別在OB1,OA2(或O′B′1,O′A′2)上取A,B(或A′,B′)，使得OA=OB(或O′A′=O′B′)，連接AB(或A′B′)，并找出AB(或A′B′)的中點(diǎn)C(或C′)，連接OC(或OC′)其延長(zhǎng)線與橫截面的邊緣交于R(或R′)，用墨線連接RR′.

再次，分別在OR,OA1(或OR′,O′A′1)上取H,D(或H′,D′)，使OH=OD(或O′H′=O′D′)，連接HD(或H′D′)，并找出HD(或H′D′)的中點(diǎn)F(或F′)，連接OF(或O′F′)，在HD(或H′D′)上取G,E(或G′,E′)，使OF=FG=FE(或O′F′=F′G′=F′E′)，連接OE,OG(或O′E′,O′G′)其延長(zhǎng)線與橫截面的邊緣交于V,N(或V′,N′)，用墨線分別連接VV′,NN′.

最后，在A1A′1,RR′,VV′,NN′上的任一指定位置M′,X,P,Q上沿直線OO′ 垂直相交的方向鉆孔(鑿柱眼)，兩孔(柱眼)XO″及M′O″ 所確定的方向成135°角，XO″及QO″和M′O″及PO″ 所確定的方向都成22.5°角，四根主承柱按同一方法完成后，用等長(zhǎng)的木枋與柱連接起來得到正方形，另外四根副承柱制作過程和正八邊形制作過程完全一致，再用等長(zhǎng)的木枋把主承柱和副承柱連接起來即可得到內(nèi)部是一個(gè)正方形，而外部是一個(gè)與正方形同心的正八邊形.

圖5

建造一個(gè)平面結(jié)構(gòu)圖為正六邊形(如圖5)的風(fēng)雨橋亭、塔時(shí)，其方法與上面(圖4)類似，但不同的是在原木的橫截面上分別吊垂線A′D′及H′G′，且A′D′⊥H′G′垂足為O，在A′D′上取OB=OE，再分別取OB,OE的中點(diǎn)G,H,過G,H分別作A′D′的垂線F′B′,G′C′.取OA=OB交F′B′于A,過A,O作直線交C′E′于D.用同樣的方法分別在F′B′,G′C′找到另外兩點(diǎn)C,F,最后依次連接A,B,C,D,E,F就得到一個(gè)正六邊形.

2 以風(fēng)雨橋?yàn)檩d體的侗族數(shù)學(xué)文化

風(fēng)雨橋是侗族橋梁建筑的明星，是侗族建筑文化藝術(shù)的結(jié)晶.它與侗族同胞平時(shí)的物質(zhì)與精神生活密不可分.它也是記載著侗族千百年橋梁建筑歷史文化的一本木建實(shí)物書.隨著時(shí)間的推移，歲月的變遷，風(fēng)雨橋亭、塔的造型也發(fā)生了相應(yīng)的變化.如此精致的建筑，整體以杉木做柱,枋,鑿榫銜接，橫穿斜套，縱橫交錯(cuò)，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)且牢固，卻不用一釘一鉚，其中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)文化.

2.1 風(fēng)雨橋建造技術(shù)中的比例關(guān)系

下方上八角攢尖亭、塔的建造，涉及到正方形的邊長(zhǎng)a與正八邊形的邊長(zhǎng)b的計(jì)算.在今天可以用公式a=2bsin67.5° 表示.顯然67.5° 不是特殊角，計(jì)算結(jié)果無疑是取其近似值.但古代侗族對(duì)角度的概念并不是十分清晰，對(duì)此，他們有自己的計(jì)算方法：

圖6

圖6是亭、塔正八邊形和正方形在平面上的正射影，已知正方形的邊長(zhǎng)AB的長(zhǎng)度，則邊長(zhǎng)AC和DC確定是通過公式：

AC∶AD∶DC=13∶12∶5

(1)

2.2 “二分法”在風(fēng)雨橋建筑技術(shù)中的應(yīng)用

建造六角亭、塔，需要制作正六邊形.進(jìn)一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)與黔東南毗鄰的三江縣境內(nèi)有部分建筑師傅用“二分法”去近似地6等分圓周，這是古代侗族對(duì)角度概念尚未完全掌握的歷史條件下6等分圓周的近似方法.其具體過程如下：

圖7

首先，在圓柱形(實(shí)際上是不規(guī)則的)木料底面(如圖7)上作線段PQ及中點(diǎn)O，過O作A′B′⊥PQ垂足為O，取OA=OD.

最后，依次連接A,B,C,D,E,F就得到一個(gè)正六邊形(如圖7所示).就這樣，實(shí)現(xiàn)了6“等分”圓周的目的，且每個(gè)角的誤差都不超過15′18″.

2.3 風(fēng)雨橋建造技術(shù)中的相關(guān)計(jì)算

圖8是正六邊形和正方形在平面上的正射影，建造下方上六角攢尖頂亭、塔(如圖9)，需要制作正六邊形和正方形.在實(shí)地采訪中得知建筑師傅在建造下方上六角攢尖頂亭、塔時(shí)，其正方形的邊長(zhǎng)有專門的計(jì)算公式：

正方形的邊長(zhǎng)=正六邊形的半徑×C(C為常數(shù))

(2)

圖8

圖9

即圖中的AE=AF×C(僅以AE,AF邊為代表)，建筑師傅從長(zhǎng)期的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)C=1.75較為合適.如果按現(xiàn)代數(shù)學(xué)中三角函數(shù)方法來求，則在Rt△OPE中∠EOP=60°，

從而有EP=OPtan∠EOP，

因此取C=1.75與理論值相差很小，又因?yàn)樵趯?shí)際測(cè)量過程中也存在誤差，它顯然是一個(gè)較好的近似計(jì)算公式.

2.4 風(fēng)雨橋建筑結(jié)構(gòu)中等差數(shù)列的運(yùn)用

圖10

圖10是風(fēng)雨橋中的亭、塔正六邊形在平面上的正射影，在采訪中得知建筑師傅在建造六角攢尖亭、塔時(shí)，其正六邊形的邊長(zhǎng)自下而上成遞減等差數(shù)列.其邊長(zhǎng)的計(jì)算方法如下：

A1B1=AB0-B0B1,A2B2=A1B1-B1B2,A3B3=A2B2-B2B3,…,AnBn=An-1Bn-1-Bn-1Bn，

其中Bn-1Bn=…=B2B3=B1B2=B0B1,n∈N+.不妨令a1=AB0,d=-B0B1.即就可以計(jì)算出第n個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)為：

an=a1+(n-1)d,n∈N+

一般風(fēng)雨橋亭、塔，自下而上每層翹檐遞減，從而正六邊形的邊長(zhǎng)和木枋的長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)遞減等差數(shù)列.

綜上所述，因?yàn)閹煾到ㄔ祜L(fēng)雨橋亭、塔的地基大小不同，不同大小亭、塔其所制作正六邊形的邊長(zhǎng)也各不一樣，建筑師傅通過這樣的推算，從而確定需要多少材料，以免浪費(fèi).這說明侗族人民在建造風(fēng)雨橋亭、塔時(shí)能夠較好地利用“數(shù)列中按某一比例逐步增加或減少”的思想.

3 長(zhǎng)度計(jì)算中的近似計(jì)算和單位的換算方法

圖11

圖11是風(fēng)雨橋梁上的一個(gè)剖面圖(即人形架).從圖形上我們可以觀察到

Rt△OB1A1∽R(shí)t△OBiAi(i=1、2、3、4)兩兩相似，并且它們有一個(gè)公共角O.只要學(xué)過正切的人都知道：AiBi=OBi·tan∠O.其中OBi的長(zhǎng)度為已知.而侗族沒有文字,更無正切表可查,當(dāng)然不知道tan∠O的值.然而侗族人民從長(zhǎng)期的實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),只要給定一個(gè)常數(shù)C,用OBi分別去乘以C,就可以把AiBi求出來.在調(diào)查中,發(fā)現(xiàn)侗族人民實(shí)際生活中早就有了專門計(jì)算直角三角形對(duì)邊的通用公式,即:

直角三角形的對(duì)邊=直角三角形的鄰邊×C(C為正常數(shù)).

根據(jù)實(shí)際需要C可以取不同的值,聰明的侗族從長(zhǎng)期的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)風(fēng)雨橋人形架中應(yīng)取C=0.75.但侗族語言中沒有純小數(shù),碰到整數(shù)部分為0時(shí),將其放到下一個(gè)單位進(jìn)行運(yùn)算.于是取C=7.5,用市尺將OBi(i=1、2、3、4)表示出來,再分別把它們代入上式,就可以求出AiBi的長(zhǎng),且它們的單位是“寸”.這就是侗族人民在實(shí)際生活中處理純小數(shù)問題常用的方法.

圖12

而圖11在實(shí)際制作中,常做成如圖12那樣的流線形屋面,曲線盡可能接近擺線,這樣的設(shè)計(jì)不僅使建筑給人感觀上的美,而且能以最快的速度排水.

在風(fēng)雨橋亭、塔建筑中，無論是四角、六角或八角亭、塔，近似計(jì)算都是無法回避的事實(shí).例如，用比例的方法得到正八邊形，就是屬于近似計(jì)算問題.還有運(yùn)用公式(2)計(jì)算正方形的邊長(zhǎng)就是一個(gè)取邊長(zhǎng)的不足近似的近似計(jì)算，誤差不超過0.018cm，在半徑不超過3m的塔頂上誤差不會(huì)超過5.4cm;建筑師傅對(duì)這樣的誤差全憑借長(zhǎng)期的做工經(jīng)驗(yàn)，并根據(jù)柱頭的大小、半徑的長(zhǎng)短來估計(jì)誤差大小進(jìn)而去彌補(bǔ)不足，同時(shí)還利用杉木的韌性將連接兩柱頭的木枋做成如圖13的兩個(gè)“魚尾”彌補(bǔ)其不足，“魚尾”又起到掩蓋柱眼以增強(qiáng)建筑的美感和固定柱子位置的作用.真可謂巧奪天工.

圖13

4 風(fēng)雨橋建筑中平移和曲線逼近的思想方法

圖14

圖15

圖16

5 風(fēng)雨橋建筑中的平面鑲嵌

圖17是侗族風(fēng)雨橋窗戶的花格，顯然，它也是由正三角形和正六邊形兩種鑲嵌成的一個(gè)平面，所不同的是，此時(shí)的正三角形的邊長(zhǎng)是正六邊形邊長(zhǎng)的兩倍.這為研究者研究當(dāng)正三角形的邊長(zhǎng)是正六邊形邊長(zhǎng)的n倍時(shí)能鑲嵌成一個(gè)平面(圖18)提供了現(xiàn)實(shí)模型.

圖18

6 風(fēng)雨橋建筑中的對(duì)稱變換

圖19是侗族風(fēng)雨橋上窗戶花格，雖然每一種窗戶上的花格各不相同，但在這些紛繁復(fù)雜的圖案中都具有一個(gè)共同的特征那就是對(duì)稱性.這說明對(duì)稱性在侗族的建筑中得到了廣泛應(yīng)用.

(1) (2) (3) (4)圖19

綜上所述，侗族特有的橋梁建筑風(fēng)雨橋，它承載著侗族數(shù)學(xué)文化的發(fā)展，從侗族風(fēng)雨橋建造技術(shù)中所對(duì)數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算及一些數(shù)學(xué)思想在實(shí)踐中的應(yīng)用所表現(xiàn)出古樸的數(shù)學(xué)思想.

侗族風(fēng)雨橋的歷史悠久，它匯集了侗族的信仰與理想，珍藏著民族的智慧與力量，是侗族千百年來不斷創(chuàng)新發(fā)展卓越的建筑杰作.因此風(fēng)雨橋建筑技術(shù)中反映了古代侗族人民對(duì)古樸數(shù)學(xué)有了較好的理解和應(yīng)用，她把侗族古老的數(shù)學(xué)思想融入建筑應(yīng)用中，以建筑藝術(shù)作為載體并很好的傳承了人類古老的數(shù)學(xué)文化.