吳秀吉 羅永超
(1.貴州省凱里學(xué)院附屬中學(xué) 556000; 2.貴州省凱里學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 556011)
風(fēng)雨橋是侗族最具特色的建筑之一.她和侗族鼓樓、侗族大歌,被列為侗族“三寶”,聞名于世.她是侗族人民勤勞智慧的結(jié)晶,更是侗族艱苦創(chuàng)業(yè)、勤勞愛家的民族獨(dú)特的人文景觀.風(fēng)雨橋已經(jīng)不僅僅是實(shí)用意義上的橋,更是侗族人民追求現(xiàn)實(shí)完美、追求靈魂超越的象征.整個(gè)橋身不用一釘一鉚以及其他鐵件,皆以質(zhì)地耐力的杉木鑿榫銜接而成,集橋、廊、亭、塔、樓閣的建筑特色于一體.風(fēng)雨橋是所有橋梁建筑中的明星,她是侗族橋梁建筑藝術(shù)的結(jié)晶.
風(fēng)雨橋的主體結(jié)構(gòu)對稱和諧,其亭、塔平面圖通常是正方形、正六邊形和正八邊形,但也有平面圖一般由正方形和正八邊形復(fù)合組成.其平面結(jié)構(gòu)圖(如圖1所示)內(nèi)部是一個(gè)正方形A2B2C2D2,而外部是一個(gè)與正方形A2B2C2D2同心的正八邊形A2EB2FC2GD2H組成.古代侗族沒有量角器,風(fēng)雨橋建筑師僅憑一把直角刻度尺(風(fēng)雨橋建筑師通常稱為“角尺”,如圖2所示,較短的直角邊帶有刻度)和一只竹筆(竹箋:如圖3所示),在實(shí)踐中總結(jié)出了很多幾何作圖的方法.盡管風(fēng)雨橋建筑師門派較多,同一種圖形的畫法也不盡相同. 本文對侗族風(fēng)雨橋建筑的整個(gè)工藝過程和制作流程中所包含的數(shù)學(xué)原理進(jìn)行研究得出以下結(jié)果.
圖1
圖2 直角刻度尺
圖3 鼓樓建筑師常用的竹筆
我們注意到,建造一座平面結(jié)構(gòu)圖為內(nèi)部是一個(gè)正方形,而外部是一個(gè)與正方形同心的正八邊形組成的風(fēng)雨橋亭、塔,鑿柱眼時(shí)需要做成135°和22.5°的角,他們通常是通過作等腰直角三角形底邊上的中線平分直角去實(shí)現(xiàn)的,過程如下:
首先,在準(zhǔn)備好的呈圓柱(實(shí)際上是不規(guī)則)的原木,(如圖4)兩頭(橫截面)分別吊垂線A1A2及A′1A′2,并用墨線分別連接A1A′1及A2A′2;然后將原木旋轉(zhuǎn)90° ,重復(fù)前面的方法作出B1B2,B′1B′2,B1B′1,B2B′2, 且A1A2⊥B1B2, 垂足為O,A′1A′2⊥B′1B′2, 垂足為O′ ;這實(shí)際上是將原木抽象為直線OO′ 的過程(O及O′未必是原木兩頭橫截面中心,橫截面也未必是圓面).
圖4
其次,分別在OB1,OA2(或O′B′1,O′A′2)上取A,B(或A′,B′),使得OA=OB(或O′A′=O′B′),連接AB(或A′B′),并找出AB(或A′B′)的中點(diǎn)C(或C′),連接OC(或OC′)其延長線與橫截面的邊緣交于R(或R′),用墨線連接RR′.
再次,分別在OR,OA1(或OR′,O′A′1)上取H,D(或H′,D′),使OH=OD(或O′H′=O′D′),連接HD(或H′D′),并找出HD(或H′D′)的中點(diǎn)F(或F′),連接OF(或O′F′),在HD(或H′D′)上取G,E(或G′,E′),使OF=FG=FE(或O′F′=F′G′=F′E′),連接OE,OG(或O′E′,O′G′)其延長線與橫截面的邊緣交于V,N(或V′,N′),用墨線分別連接VV′,NN′.
最后,在A1A′1,RR′,VV′,NN′上的任一指定位置M′,X,P,Q上沿直線OO′ 垂直相交的方向鉆孔(鑿柱眼),兩孔(柱眼)XO″及M′O″ 所確定的方向成135°角,XO″及QO″和M′O″及PO″ 所確定的方向都成22.5°角,四根主承柱按同一方法完成后,用等長的木枋與柱連接起來得到正方形,另外四根副承柱制作過程和正八邊形制作過程完全一致,再用等長的木枋把主承柱和副承柱連接起來即可得到內(nèi)部是一個(gè)正方形,而外部是一個(gè)與正方形同心的正八邊形.
圖5
建造一個(gè)平面結(jié)構(gòu)圖為正六邊形(如圖5)的風(fēng)雨橋亭、塔時(shí),其方法與上面(圖4)類似,但不同的是在原木的橫截面上分別吊垂線A′D′及H′G′,且A′D′⊥H′G′垂足為O,在A′D′上取OB=OE,再分別取OB,OE的中點(diǎn)G,H,過G,H分別作A′D′的垂線F′B′,G′C′.取OA=OB交F′B′于A,過A,O作直線交C′E′于D.用同樣的方法分別在F′B′,G′C′找到另外兩點(diǎn)C,F,最后依次連接A,B,C,D,E,F就得到一個(gè)正六邊形.
風(fēng)雨橋是侗族橋梁建筑的明星,是侗族建筑文化藝術(shù)的結(jié)晶.它與侗族同胞平時(shí)的物質(zhì)與精神生活密不可分.它也是記載著侗族千百年橋梁建筑歷史文化的一本木建實(shí)物書.隨著時(shí)間的推移,歲月的變遷,風(fēng)雨橋亭、塔的造型也發(fā)生了相應(yīng)的變化.如此精致的建筑,整體以杉木做柱,枋,鑿榫銜接,橫穿斜套,縱橫交錯(cuò),結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)且牢固,卻不用一釘一鉚,其中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)文化.
下方上八角攢尖亭、塔的建造,涉及到正方形的邊長a與正八邊形的邊長b的計(jì)算.在今天可以用公式a=2bsin67.5° 表示.顯然67.5° 不是特殊角,計(jì)算結(jié)果無疑是取其近似值.但古代侗族對角度的概念并不是十分清晰,對此,他們有自己的計(jì)算方法:
圖6
圖6是亭、塔正八邊形和正方形在平面上的正射影,已知正方形的邊長AB的長度,則邊長AC和DC確定是通過公式:
AC∶AD∶DC=13∶12∶5
(1)
建造六角亭、塔,需要制作正六邊形.進(jìn)一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)與黔東南毗鄰的三江縣境內(nèi)有部分建筑師傅用“二分法”去近似地6等分圓周,這是古代侗族對角度概念尚未完全掌握的歷史條件下6等分圓周的近似方法.其具體過程如下:
圖7
首先,在圓柱形(實(shí)際上是不規(guī)則的)木料底面(如圖7)上作線段PQ及中點(diǎn)O,過O作A′B′⊥PQ垂足為O,取OA=OD.
最后,依次連接A,B,C,D,E,F就得到一個(gè)正六邊形(如圖7所示).就這樣,實(shí)現(xiàn)了6“等分”圓周的目的,且每個(gè)角的誤差都不超過15′18″.
圖8是正六邊形和正方形在平面上的正射影,建造下方上六角攢尖頂亭、塔(如圖9),需要制作正六邊形和正方形.在實(shí)地采訪中得知建筑師傅在建造下方上六角攢尖頂亭、塔時(shí),其正方形的邊長有專門的計(jì)算公式:
正方形的邊長=正六邊形的半徑×C(C為常數(shù))
(2)
圖8
圖9
即圖中的AE=AF×C(僅以AE,AF邊為代表),建筑師傅從長期的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)C=1.75較為合適.如果按現(xiàn)代數(shù)學(xué)中三角函數(shù)方法來求,則在Rt△OPE中∠EOP=60°,
從而有EP=OPtan∠EOP,
因此取C=1.75與理論值相差很小,又因?yàn)樵趯?shí)際測量過程中也存在誤差,它顯然是一個(gè)較好的近似計(jì)算公式.
圖10
圖10是風(fēng)雨橋中的亭、塔正六邊形在平面上的正射影,在采訪中得知建筑師傅在建造六角攢尖亭、塔時(shí),其正六邊形的邊長自下而上成遞減等差數(shù)列.其邊長的計(jì)算方法如下:
A1B1=AB0-B0B1,A2B2=A1B1-B1B2,A3B3=A2B2-B2B3,…,AnBn=An-1Bn-1-Bn-1Bn,
其中Bn-1Bn=…=B2B3=B1B2=B0B1,n∈N+.不妨令a1=AB0,d=-B0B1.即就可以計(jì)算出第n個(gè)正六邊形的邊長為:
an=a1+(n-1)d,n∈N+
一般風(fēng)雨橋亭、塔,自下而上每層翹檐遞減,從而正六邊形的邊長和木枋的長構(gòu)成一個(gè)遞減等差數(shù)列.
綜上所述,因?yàn)閹煾到ㄔ祜L(fēng)雨橋亭、塔的地基大小不同,不同大小亭、塔其所制作正六邊形的邊長也各不一樣,建筑師傅通過這樣的推算,從而確定需要多少材料,以免浪費(fèi).這說明侗族人民在建造風(fēng)雨橋亭、塔時(shí)能夠較好地利用“數(shù)列中按某一比例逐步增加或減少”的思想.
圖11
圖11是風(fēng)雨橋梁上的一個(gè)剖面圖(即人形架).從圖形上我們可以觀察到
Rt△OB1A1∽Rt△OBiAi(i=1、2、3、4)兩兩相似,并且它們有一個(gè)公共角O.只要學(xué)過正切的人都知道:AiBi=OBi·tan∠O.其中OBi的長度為已知.而侗族沒有文字,更無正切表可查,當(dāng)然不知道tan∠O的值.然而侗族人民從長期的實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),只要給定一個(gè)常數(shù)C,用OBi分別去乘以C,就可以把AiBi求出來.在調(diào)查中,發(fā)現(xiàn)侗族人民實(shí)際生活中早就有了專門計(jì)算直角三角形對邊的通用公式,即:
直角三角形的對邊=直角三角形的鄰邊×C(C為正常數(shù)).
根據(jù)實(shí)際需要C可以取不同的值,聰明的侗族從長期的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)風(fēng)雨橋人形架中應(yīng)取C=0.75.但侗族語言中沒有純小數(shù),碰到整數(shù)部分為0時(shí),將其放到下一個(gè)單位進(jìn)行運(yùn)算.于是取C=7.5,用市尺將OBi(i=1、2、3、4)表示出來,再分別把它們代入上式,就可以求出AiBi的長,且它們的單位是“寸”.這就是侗族人民在實(shí)際生活中處理純小數(shù)問題常用的方法.
圖12
而圖11在實(shí)際制作中,常做成如圖12那樣的流線形屋面,曲線盡可能接近擺線,這樣的設(shè)計(jì)不僅使建筑給人感觀上的美,而且能以最快的速度排水.
在風(fēng)雨橋亭、塔建筑中,無論是四角、六角或八角亭、塔,近似計(jì)算都是無法回避的事實(shí).例如,用比例的方法得到正八邊形,就是屬于近似計(jì)算問題.還有運(yùn)用公式(2)計(jì)算正方形的邊長就是一個(gè)取邊長的不足近似的近似計(jì)算,誤差不超過0.018cm,在半徑不超過3m的塔頂上誤差不會超過5.4cm;建筑師傅對這樣的誤差全憑借長期的做工經(jīng)驗(yàn),并根據(jù)柱頭的大小、半徑的長短來估計(jì)誤差大小進(jìn)而去彌補(bǔ)不足,同時(shí)還利用杉木的韌性將連接兩柱頭的木枋做成如圖13的兩個(gè)“魚尾”彌補(bǔ)其不足,“魚尾”又起到掩蓋柱眼以增強(qiáng)建筑的美感和固定柱子位置的作用.真可謂巧奪天工.
圖13
圖14
圖15
圖16
圖17是侗族風(fēng)雨橋窗戶的花格,顯然,它也是由正三角形和正六邊形兩種鑲嵌成的一個(gè)平面,所不同的是,此時(shí)的正三角形的邊長是正六邊形邊長的兩倍.這為研究者研究當(dāng)正三角形的邊長是正六邊形邊長的n倍時(shí)能鑲嵌成一個(gè)平面(圖18)提供了現(xiàn)實(shí)模型.
圖18
圖19是侗族風(fēng)雨橋上窗戶花格,雖然每一種窗戶上的花格各不相同,但在這些紛繁復(fù)雜的圖案中都具有一個(gè)共同的特征那就是對稱性.這說明對稱性在侗族的建筑中得到了廣泛應(yīng)用.
(1) (2) (3) (4)圖19
綜上所述,侗族特有的橋梁建筑風(fēng)雨橋,它承載著侗族數(shù)學(xué)文化的發(fā)展,從侗族風(fēng)雨橋建造技術(shù)中所對數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算及一些數(shù)學(xué)思想在實(shí)踐中的應(yīng)用所表現(xiàn)出古樸的數(shù)學(xué)思想.
侗族風(fēng)雨橋的歷史悠久,它匯集了侗族的信仰與理想,珍藏著民族的智慧與力量,是侗族千百年來不斷創(chuàng)新發(fā)展卓越的建筑杰作.因此風(fēng)雨橋建筑技術(shù)中反映了古代侗族人民對古樸數(shù)學(xué)有了較好的理解和應(yīng)用,她把侗族古老的數(shù)學(xué)思想融入建筑應(yīng)用中,以建筑藝術(shù)作為載體并很好的傳承了人類古老的數(shù)學(xué)文化.