倪長輝 周顯丁

摘要：為提高汽輪機葉片葉根型線的設計效率和產(chǎn)品質量，基于接觸應力約束下的樅樹形葉片葉根型線設計，將傳統(tǒng)的基于經(jīng)驗的設計與經(jīng)典優(yōu)化理論相結合，推導適合葉根型線的設計方法。采用移動漸近線法（method of moving asymptotes， MMA）進行結構拓撲優(yōu)化，以某低壓末級動葉片設計為例，優(yōu)化前、后葉根和輪槽的VON Mises應力對比表明，所推導的方法能夠快速得到所需的型線設計。該設計使得葉根與輪槽間的接觸應力降低，葉片的使用壽命提高。

關鍵詞：汽輪機;葉根;型線;優(yōu)化;接觸應力

中圖分類號：TK263.3

文獻標志碼：B

文章編號：1006-0871（2019）02-0047-05

0?引?言

汽輪機葉片是汽輪機的重要組成部件，是將熱能轉化為機械能的核心部件，可以說是汽輪機的心臟部件。為順利、高效地將蒸汽能量轉化為機械能，汽輪機葉片不僅需要有良好的氣動性能和熱動力性能，而且要具有足夠的安全性。大功率汽輪機動葉片通常工作在高溫高壓的蒸汽或者濕蒸汽中，不僅受離心力、蒸汽彎力和蒸汽激振引起的交變力作用，還受到濕蒸汽腐蝕和水滴沖蝕作用等。隨著汽輪機運行時間的增長，葉片可能出現(xiàn)蠕變、裂紋甚至斷裂，帶來毀滅性的后果。因此，汽輪機葉片的安全性能設計尤為重要。

汽輪機葉片由型線部分（工作部分）、葉根部分、葉頂部分和連接部分組成。型線部分的設計主要考慮氣動特性（即經(jīng)濟性）和安全性要求，葉根部分主要考慮結構的安全性。葉根類型主要有倒T形（外包倒T形）、雙倒T形（外包雙倒T形）、叉形、樅樹形和菌形等。樅樹形葉根的承載能力大，常用于大功率汽輪機的低壓末級和次末級動葉片中。樅樹形葉根與輪槽連接在一起，其接觸應力越小，結構的性能越好，所以好的葉根型線設計非常必要。通常，葉根型線設計先由經(jīng)驗豐富的設計師設計，然后進行數(shù)值仿真分析，對不滿意的型線按仿真結果修改后重新分析，直到滿意為止。這樣的設計流程耗時耗力，且需要一定的經(jīng)驗，設計效率低下。

強度是結構設計中首先要考慮的問題。如果結構強度不能保證，那么關于結構的其他所有要求也就無須考慮。衡量強度最簡單的方法是計算結構中的應力。過高的應力可能導致結構出現(xiàn)斷裂、疲勞等破壞，因此考慮結構應力非常重要。BENDSE等[1]就應力優(yōu)化問題的重要性進行詳細的解釋說明。歷史上出現(xiàn)的幾次大事故，如1954年英國客機墜毀事件、1979年美國DC-10飛機失事事故[2]、1988年波音737客機失事事故[3]和1980年挪威基亞蘭德號海洋平臺傾斜傾覆事故[4]等，都是由于結構的局部應力過大造成疲勞斷裂失穩(wěn)，從而導致整個結構破壞的。因此，越來越多的研究者研究應力優(yōu)化問題。

考慮應力的優(yōu)化設計已經(jīng)趨于完善。STOLPE等[5]采用線性混合整數(shù)規(guī)劃法求解應力約束下的輕量化拓撲優(yōu)化。SVANBERG等[6]采用整數(shù)規(guī)劃法進行應力約束問題求解，但是整數(shù)規(guī)劃法解決大規(guī)模設計問題會因計算量龐大而效率低下。在國內，隋允康等[7]研究拓撲設計變量的獨立連續(xù)映射關系，求解應力和位移作為約束的連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化。隋允康等[8]還采用ICM方法將應力約束轉換為應變能約束，并且將大規(guī)模的應力約束進行凝聚。榮見華等[9]將獨立連續(xù)映射方法與漸進化方法相結合，在每步迭代計算中不斷更新位移和應力約束，提出一種新的應力優(yōu)化方法。STEVEN等[10]采用漸進優(yōu)化方法對柔度和應力的多目標優(yōu)化問題進行研究。LI等[11]采用漸進優(yōu)化方法增加和刪除有限元單元，求解最小化最大應力問題。需要特別說明一點的是，在考慮應力的拓撲優(yōu)化中存在應力的奇異性現(xiàn)象，目前公認的處理這類奇異性最有效的方法是GUO等[12]和CHENG等[13]提出的放松法。將應力的優(yōu)化應用到汽輪機葉片葉根型線的設計中，能縮短設計時間，提高設計質量。

本文基于接觸應力約束下的樅樹形葉片葉根型線設計，將傳統(tǒng)的基于經(jīng)驗的設計與經(jīng)典優(yōu)化理論相結合，推導適合葉根型線的設計方法，在提高設計效率的同時提高產(chǎn)品質量。

1?優(yōu)化分析

1.1?葉根模型和優(yōu)化方程

多齒樅樹形葉根型線及其三維結構見圖1。

在不同的設計中，葉根齒數(shù)稍有不同，圖1為4齒樅樹葉根。過渡圓角R1～R3、接觸面寬度L1～L4和開口角度α為葉根的可設計參數(shù)，調節(jié)不同的參數(shù)可以得到滿足設計要求的葉根型線。由于葉片工作時主要受離心力作用，已有的設計經(jīng)驗表明，R2、L1、L3和L4的影響最明顯。

通常，多齒樅樹形葉根有直齒葉根（沿軸線垂直裝入）、斜齒葉根（沿與軸線成β角度方向裝入）和圓弧齒葉根（沿圓弧方向和軸向裝入）3種。選擇直齒（即β=0）和斜齒葉根（即β>0）為研究對象，圓弧齒葉根修改設計參數(shù)后，本文方法同樣適用。將葉根參數(shù)R1～R3、L1～L4、α和β總共9個參數(shù)作為設計變量，其優(yōu)化函數(shù)為

1.2?優(yōu)化模型的邊界條件

由于葉輪結構具有高度的對稱性，為減少計算量，分析單個葉片的旋轉對稱模型，見圖2。葉根與輪槽的工作面通過離心力作用相互接觸。整個模型采用三維8節(jié)點六面體單元進行計算，其網(wǎng)格模型見圖3。分析模型由136 805個節(jié)點和211 901個單元組成。

葉根和輪槽材料參數(shù)見表1。葉根與輪槽的工作面采用面-面接觸關系，在葉輪旋轉對稱面上施加對稱邊界條件，葉片轉速設為3 000 r/min。

1.3?優(yōu)化算法

由于結構拓撲優(yōu)化的設計變量和約束較多，優(yōu)化問題的計算規(guī)模很大，簡單的求解方法不能滿足需求。目前，結構拓撲優(yōu)化求解方法有準則法（optimality criterion， OC）、數(shù)學規(guī)劃法（mathematical programming， MP）和仿生類算法（遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡算法、模擬退化算法和蟻群算法）等。本文采用移動漸近線法（method of moving asymptotes， MMA）[14]，其算法原理如下。

對于上述優(yōu)化問題，采用MMA計算時，先引入人工變量改變每個子優(yōu)化問題的形態(tài)，從而形成一系列凸子優(yōu)化問題。子優(yōu)化問題的數(shù)學表達式為

1.4?優(yōu)化過程

結構分析采用MSC Marc，參數(shù)化優(yōu)化模型采用Pro/Engineer建立，網(wǎng)格由ANSA定義生成，優(yōu)化算法采用MMA，優(yōu)化流程見圖4。

2?優(yōu)化結果

以某低壓末級動葉片設計為例，使用上述方法進行優(yōu)化，葉根與葉輪的應力降低50 MPa。優(yōu)化結果對比見表2，其中初始結構是僅依據(jù)工程設計經(jīng)驗得到最佳結果。優(yōu)化前、后葉根和輪槽的應力云圖分別見圖5和6。

由此可以看出，優(yōu)化前、后的應力云圖基本相同，最大應力區(qū)域在優(yōu)化前、后未發(fā)生改變。僅依靠工程師經(jīng)驗降低葉根與輪槽間的應力耗時耗力，本文方法能夠快速地降低葉根與輪槽間的接觸應力，提高葉片的使用壽命，對產(chǎn)品的質量提高具有重要的作用。該葉根型線已成功應用到部分火電廠及核電廠百萬機組的末級動葉片中。

3?結束語

對樅樹形葉根型線進行三維優(yōu)化設計，以葉根型線的幾何尺寸和安裝角度為設計變量，以輪槽接觸面上的最大VON Mises應力作為目標函數(shù)，以結構柔度（其倒數(shù)即為結構的剛度）和葉根接觸面上的最大VON Mises應力作為約束函數(shù)，通過優(yōu)化降低初始結構葉根與輪槽的接觸應力，使結構的性能得到提高。本文設計的葉根型線已應用到部分火電廠及核電廠百萬機組的末級動葉片中，效果良好。

將設計域變?yōu)槠渌愋偷娜~根型線，在目標函數(shù)與約束函數(shù)相同的情況下，本文方法仍然適用。特別需要說明的是，采用本文方法進行優(yōu)化設計時，由于約束函數(shù)中有接觸應力存在，而接觸應力對網(wǎng)格的質量要求很高，所以如果設計變量變化很大，相應的網(wǎng)格變化可能會帶來接觸應力的奇異現(xiàn)象。這種現(xiàn)象與普通的應力約束奇異現(xiàn)象[12-13]可能不同，需要進行更加深入的研究。

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（編輯?武曉英）