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        基于本征正交分解的波浪力隨機(jī)場降維模擬

        2019-07-08 09:49:32劉章軍
        振動與沖擊 2019年12期
        關(guān)鍵詞:方法

        劉章軍, 劉 磊, 汪 峰

        (1. 武漢工程大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院,武漢 430074;2. 三峽大學(xué) 土木與建筑學(xué)院,湖北 宜昌 443002)

        隨著我國經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展,海洋資源的開發(fā)日益重要,對海洋工程結(jié)構(gòu)(如海上平臺、離岸碼頭和海上風(fēng)電機(jī)裝置等)安全性的要求越來越高。此類結(jié)構(gòu)下部支撐一般為墩柱結(jié)構(gòu),在復(fù)雜的海洋環(huán)境中,將受到波浪荷載、風(fēng)荷載、輪渡撞擊和地震等作用。其中,波浪荷載是主要作用力之一,其不僅隨時間變化(具有動態(tài)特性),而且具有明顯的隨機(jī)性和空間相干性,因而采用波浪力隨機(jī)場加以描述[1]。

        在波浪隨機(jī)過程或隨機(jī)場研究中,Pierson[2]建立了波面位移隨機(jī)過程與波高譜之間的關(guān)系,開辟了應(yīng)用波高譜研究波浪隨機(jī)過程的先河。Borgman[3]對Morison方程進(jìn)行了線性化處理,并利用譜分析法研究了作用在柱樁上的隨機(jī)波浪力。Di Paola等[4]結(jié)合波高與波速的關(guān)系,利用本征正交分解(POD)方法模擬了波速隨機(jī)場。Ren等[5]進(jìn)行了結(jié)構(gòu)在隨機(jī)波浪沖擊下的數(shù)值模擬分析,并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比。Dong等[6]結(jié)合波浪譜模擬了重力式網(wǎng)箱在隨機(jī)海浪力作用下的力學(xué)特性。上述方法均是基于波高譜來實(shí)現(xiàn)波浪隨機(jī)過程或隨機(jī)場模擬。在波浪方向譜研究方面,Longuet-higgins等[7]應(yīng)用傅里葉級數(shù)估計(jì)海浪方向譜,并提出了方向譜的分布函數(shù)。Ren等[8]對方向譜的觀測方法進(jìn)行了改進(jìn),并進(jìn)行了波面模擬;文獻(xiàn)[9-11]利用方向譜對波浪進(jìn)行了三維數(shù)值模擬;趙振民等[12]則將波面的三維仿真模擬用于船舶振動研究。

        上述波浪隨機(jī)過程或隨機(jī)場模擬均是以Monte Carlo方法為基礎(chǔ),為保證模擬精度,往往需要對一系列隨機(jī)變量進(jìn)行大量的隨機(jī)抽樣,不僅極大地增加了波浪隨機(jī)場模擬的計(jì)算量,而且對復(fù)雜海洋工程結(jié)構(gòu)的非線性隨機(jī)動力反應(yīng)分析帶來巨大困難。為克服這一困難,文獻(xiàn)[13-14]通過引入隨機(jī)函數(shù)的約束,實(shí)現(xiàn)了僅用一個基本隨機(jī)變量即可精確地模擬一維單變量隨機(jī)過程。為此,本文將隨機(jī)函數(shù)思想引入到平穩(wěn)多變量隨機(jī)過程模擬的POD方法中,結(jié)合線性化的Morison方程和P-M波浪譜,實(shí)現(xiàn)用兩個基本隨機(jī)變量即可模擬作用于小尺度樁上的波浪力隨機(jī)場,且僅需數(shù)百條代表性樣本即可在概率密度層次上描述波浪力隨機(jī)場的概率特性,為結(jié)合概率密度演化理論[15-16]研究海洋工程結(jié)構(gòu)在隨機(jī)波浪力場作用下的動力響應(yīng)與可靠度分析奠定基礎(chǔ)。

        1 基于正交隨機(jī)變量的本征正交分解

        本征正交分解是時-空隨機(jī)場模擬的最主要方法之一。在一般情況下,由于無法直接獲取特征問題的解析解或封閉解,需要將連續(xù)的1V-2D時-空隨機(jī)場f0(x,t)離散化為nV-1D隨機(jī)過程X(t)。

        假設(shè)X(t)=[X1(t),X2(t),…,Xn(t)]T是一個零均值的nV-1D平穩(wěn)隨機(jī)過程,其雙邊的功率譜密度函數(shù)矩陣SX(ω)可表示為

        (1)

        式中:Sii(ω)是第i個分量過程Xi(t)的自功率譜密度函數(shù);Sij(ω)(i≠j)是第i個分量過程Xi(t)與第j個分量過程Xj(t)的互功率譜密度函數(shù)。

        一般地,功率譜密度函數(shù)矩陣SX(ω)是一個非負(fù)定的Hermitian矩陣, 其特征值λi(ω)是頻率ω的非負(fù)實(shí)函數(shù), 特征向量ψi(ω)=[φ1i(ω),φ2i(ω),…,φni(ω)]T一般是頻率ω的復(fù)函數(shù)。對于任意給定的頻率ω,存在如下的特征問題

        Ψ*T(ω)Ψ(ω)=In×n,SX(ω)Ψ(ω)=Ψ(ω)Λ(ω)

        (2)

        式中: 符號“*”和“T”分別表示共軛和轉(zhuǎn)置;Λ(ω)=diag{λ1(ω),λ2(ω),…,λn(ω)}為特征值矩陣;Ψ(ω)=[ψ1(ω),ψ2(ω),…,ψn(ω)]為特征函數(shù)矩陣。

        對于零均值的nV-1D平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t), 可分解為n個互不相干的子隨機(jī)向量過程之和[17]

        (3)

        式中: 子隨機(jī)向量過程xi(t)的表達(dá)式為

        (4)

        在式(4)中,Zi(ω)(i=1,2,…,n)是零均值的復(fù)隨機(jī)過程,其增量滿足如下的基本條件

        E[dZi(ω)]=0

        (5a)

        (5b)

        (5c)

        式中:δij和δωω′均為Kronecker符號。

        進(jìn)一步地,在式(4)中,若令

        (6)

        式中:Pik是一組零均值的標(biāo)準(zhǔn)正交復(fù)隨機(jī)變量,滿足如下的基本條件

        (7)

        于是,子隨機(jī)向量過程xi(t)可近似地表達(dá)為有限級數(shù)的復(fù)形式

        (8)

        式中:ωk為離散的頻率點(diǎn),N為頻率截斷項(xiàng)數(shù), Δω為頻率步長。為了盡量避免零頻率點(diǎn)對模擬結(jié)果的影響,本文定義ωk如下

        (9)

        (10)

        式中:Rik和Iik是一組零均值的正交隨機(jī)變量,滿足如下的基本條件

        E[Rik]=E[Iik]=0

        (11a)

        E[RikIjm]=0

        (11b)

        (11c)

        最后,將式(10)代入式(3)中得到平穩(wěn)多變量隨機(jī)過程X(t)的本征正交分解

        (12)

        式(12)即為基于正交隨機(jī)變量的本征正交分解。 在實(shí)際應(yīng)用中,由于正交隨機(jī)變量Rik和Iik僅需滿足基本條件式(11), 其概率分布并未給定,因而不能直接采用式(12)來模擬平穩(wěn)多變量隨機(jī)過程。

        2 基于本征正交分解的降維模擬

        在基于正交隨機(jī)變量的本征正交分解式(12)中,若將正交隨機(jī)變量Rik和Iik定義為

        Rik=cosφik,Iik=sinφik

        (13)

        式中:φik(i=1,2,…,n,k=1,2,…,N)為區(qū)間[0,2π)上相互獨(dú)立的均勻分布隨機(jī)相位角。顯然,式(13)滿足正交隨機(jī)變量的基本條件式(11)。

        同時,將特征向量ψi(ωk)的實(shí)部ηi(ωk)和虛部ρi(ωk)分別寫為

        ηi(ωk)=|ψi(ωk)|cos ?i(ωk)

        (14a)

        ρi(ωk)=|ψi(ωk)|sin ?i(ωk)

        (14b)

        于是,將式(13)和式(14)代入式(12)中,得到基于隨機(jī)相位角的本征正交分解模擬式[18]

        (15)

        式中:X(C)(t)為傳統(tǒng)的本征正交分解模擬過程。在式(15)中,由于隨機(jī)相位角的概率分布已知,通過隨機(jī)相位角的一組隨機(jī)抽樣即可生成樣本函數(shù),因而在工程模擬中得到廣泛應(yīng)用。

        從上述式(15)的推導(dǎo)過程可知,基于隨機(jī)相位角的本征正交分解式(15)是基于正交隨機(jī)變量的本征正交分解式(12)的一個特例。事實(shí)上,通過定義正交隨機(jī)變量Rik和Iik為式(13)的形式,使得式(15)中隨機(jī)變量的數(shù)量比式(12)減少一半。這表明,通過施加某種約束(即定義式(13))可以有效地減少平穩(wěn)隨機(jī)向量過程模擬的隨機(jī)度(隨機(jī)變量的數(shù)量)。

        進(jìn)一步,在基于正交隨機(jī)變量的本征正交分解式(12)中,可利用隨機(jī)函數(shù)對正交隨機(jī)變量Rik和Iik施加更強(qiáng)的約束,從而實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)隨機(jī)向量過程的降維模擬。為此,將滿足基本條件式(11)的正交隨機(jī)變量Rik和Iik均定義為r維隨機(jī)變量Θ=(Θ1,Θ2,…,Θr)的正交函數(shù)形式, 即Rik=hik(Θ),Iik=gik(Θ), 其中hik(·)和gik(·)均為確定性的正交函數(shù)。于是,式(11)可改寫為

        (16a)

        (16b)

        (16c)

        (16d)

        (16e)

        式中:i,j=1,2,…,n和k,m=1,2,…,N;Ω為r維隨機(jī)變量Θ的定義區(qū)間;pΘ(θ)為r維隨機(jī)向量Θ的聯(lián)合概率密度。

        (17)

        3 基于線性化Morison方程的波浪力隨機(jī)場

        在隨機(jī)波浪下,水質(zhì)點(diǎn)的水平速度u和水平加速度a可分別表示為

        (18)

        (19)

        ω2=gktanh (kh)

        (20)

        式中:g為重力加速度,可取g=9.81 m/s2。

        對于直立的小直徑圓柱樁,可采用Morison公式來計(jì)算隨機(jī)波浪力[20]

        F(z,t)=FD(z,t)+FI(z,t)

        (21)

        式中:FD(z,t)和FI(z,t)分別為拖曳力和慣性力,其表達(dá)式為

        (22a)

        (22b)

        式中:ρ為海水的密度;D為樁柱的直徑;CD和CI分別為拖曳力系數(shù)和慣性力系數(shù),文獻(xiàn)[21]建議CD=1.2及CI=2.0。

        (23)

        式中:σu(z)為水質(zhì)點(diǎn)水平速度u(z,t)的均方差。 對于海浪隨機(jī)過程η(t)采用P-M譜時,σu(z)可近似寫為[22]

        (24)

        式中:H1/3為三分之一有效波高。

        于是,隨機(jī)波浪力的等價線性表達(dá)式為

        (25)

        在式(23)中, 對于任意點(diǎn)z=zi處的拖曳力隨機(jī)過程FD(zi,t)和z=zj處的隨機(jī)過程FD(zj,t), 其功率譜密度函數(shù)可寫為

        SDij(ω)=Sη(ω)Gi(ω)Gj(ω),i,j=1,2,…,n

        (26)

        式中:SDij(ω)為隨機(jī)過程FD(zi,t)和FD(zj,t)的功率譜密度,Sη(ω)為海浪隨機(jī)過程η(t)的功率譜密度,Gi(ω)的表達(dá)式為

        (27)

        因此,n維拖曳力平穩(wěn)隨機(jī)向量過程FD(t)=[FD(z1,t),FD(z2,t),…,FD(zn,t)]T的功率譜密度矩陣為

        (28)

        (29)

        式中:Li(ω)的表達(dá)式為

        (30)

        最后,n維波浪力平穩(wěn)隨機(jī)向量過程F(t)=[F(z1,t),F(z2,t),…,F(zn,t)]T的功率譜密度矩陣可表示為

        SF(ω)=Sη(ω)×

        (31)

        在上述Morison公式中,得到的拖曳力和慣性力的功率譜密度矩陣是一個非負(fù)定的Hermitian矩陣,滿足本征正交分解的要求。

        4 計(jì)算實(shí)例

        為了驗(yàn)證本文方法的有效性,采用文獻(xiàn)[23]中直立小圓柱樁進(jìn)行分析,取樁底為原點(diǎn),海底平面水平向?yàn)閤軸,豎直方向?yàn)閦軸,模擬10個等間距點(diǎn)處的波浪力隨機(jī)過程,并與Monte Carlo方法的模擬結(jié)果進(jìn)行比較,波浪力沿z軸的分布如圖1所示。

        圖1 波浪力沿z軸的分布

        在此算例中, 波高譜采用P-M譜

        (32)

        式中:g=9.81 m/s2為重力加速度;v為海面以上19.5 m處的風(fēng)速,取v=16.24 m/s。

        本文算例的具體參數(shù)及取值如表1所示。

        表1 計(jì)算參數(shù)及取值

        圖2為本文方法與Monte Carlo法生成位置z3、z7和z9三點(diǎn)處(見圖1所示)的波浪力代表性樣本曲線(第100條)的比較。由圖可知,代表性樣本曲線具有平穩(wěn)隨機(jī)波浪過程的基本特性,且本文方法與Monte Carlo法生成的曲線在幅值、波長變化等方面具有相似性。

        表2為采用本文方法和Monte Carlo方法分別生成10個點(diǎn)處波浪力樣本集合的均值及標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差的平均值,其中,各點(diǎn)處波浪力樣本集合的均值相對誤差和標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差的定義見文獻(xiàn)[16]。表3為采用本文方法和Monte Carlo方法分別生成10個點(diǎn)處波浪力樣本集合所需的總時間。從表2中可知,Monte Carlo方法生成的233條和1 000條樣本的均值相對誤差均遠(yuǎn)大于本文方法生成的233條代表性樣本均值相對誤差;對于標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差,本文方法生成233條代表性樣本的標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差雖略大于Monte Carlo方法生成1 000條的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差,但其較小于Monte Carlo方法生成233條樣本的標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差。同時,從表3中可知,Monte Carlo方法生成233條樣本的總時間略小于本文方法生成233條代表性樣本總時間,但其生成1 000條樣本的總時間約為本文方法生成233條代表性樣本總時間的3倍。因此,從模擬的精度和效率兩方面綜合考慮,本文方法生成的233條代表性樣本遠(yuǎn)優(yōu)于Monte Carlo方法生成的233條樣本,也優(yōu)于Monte Carlo方法生成的1 000條樣本。此外,本文方法僅需兩個基本隨機(jī)變量即可精細(xì)地表達(dá)波浪力隨機(jī)場,生成的代表性樣本數(shù)量少,且構(gòu)成一個完備的概率集,因而與概率密度演化理論具有一致性,這為結(jié)合概率密度演化理論進(jìn)行復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的非線性隨機(jī)動力響應(yīng)分析和可靠度評價提供了基礎(chǔ)。

        圖2 隨機(jī)波浪力代表性樣本

        圖3和圖4分別給出了本文方法在z3和z7兩點(diǎn)處生成的233條波浪力代表性樣本的自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)與目標(biāo)值比較。為了清晰地反映模擬值與目標(biāo)值的擬合程度,圖3和圖4均僅給出了時間區(qū)間(-50 s~50 s)的比較結(jié)果,同時對自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)進(jìn)行了歸一化處理。從圖3和圖4中可知,點(diǎn)z3和z7處模擬的自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)與目標(biāo)值均擬合一致,進(jìn)一步表明了本文方法的有效性。

        表2 均值和標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差

        表3 模擬效率比較

        圖3 自相關(guān)函數(shù)比較

        圖4 互相關(guān)函數(shù)的比較

        5 結(jié) 論

        利用波高譜,結(jié)合線性化的Morison方程,建立了波浪力隨機(jī)場的功率譜密度函數(shù)矩陣。在基于正交隨機(jī)變量的本征正交分解上,引入正交隨機(jī)變量的隨機(jī)函數(shù)形式,實(shí)現(xiàn)了波浪力隨機(jī)場模擬的降維表達(dá)。數(shù)值算例表明,本文方法具有如下特點(diǎn):

        (1) 結(jié)合波高譜與Morison方程,構(gòu)造了波浪力多變量隨機(jī)過程。與直接積分法計(jì)算整個樁柱上的波浪力相比,本文方法可精細(xì)化模擬作用在小尺度樁上每一點(diǎn)處的波浪力隨機(jī)過程,更符合實(shí)際情況。

        (2) 基于本征正交分解的降維模擬方法,能夠極大地降低波浪力多變量隨機(jī)過程模擬的隨機(jī)度(隨機(jī)變量的數(shù)量)。在本文方法中,僅需2個基本隨機(jī)變量即可模擬波浪力多變量隨機(jī)過程,從而可利用數(shù)論方法選取基本隨機(jī)變量的代表性點(diǎn)集,實(shí)現(xiàn)僅用數(shù)百條代表性樣本即可在概率密度層次上描述波浪力多變量隨機(jī)過程的概率特性。

        (3) 與Monte Carlo方法相比,本文方法所需的基本隨機(jī)變量最少,生成的代表性樣本數(shù)量少,且每條代表性樣本具有給定的賦得概率,所有的代表性樣本構(gòu)成一個完備概率集,從而可結(jié)合概率密度演化理論進(jìn)行復(fù)雜海洋工程結(jié)構(gòu)隨機(jī)波浪力作用的非線性動力反應(yīng)分析。

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