安徽省樅陽縣第三中學(xué) (246700)

胡周霞

這是2018年第1期《數(shù)學(xué)通訊》(上半月)問題征解的第331題，試題小巧輕靈，結(jié)構(gòu)均勻優(yōu)美，看到問題中分式結(jié)構(gòu)中的高次冪，首先想到的是降冪處理.

由證明的過程，我們可以看到解決問題的本質(zhì)是不等式：x4+y4≥x3y+xy3的運(yùn)用，而這個(gè)不等式是來自高中數(shù)學(xué)教材選修4—5的一個(gè)例題.進(jìn)一步，可以得到：

設(shè)x,y>0且有m∈N*,l∈N*,m≥l,則有xm+ym≥xm-lyl+xlym-l.

本文主要談?wù)勗摬坏仁皆诮忸}中的應(yīng)用.有了這個(gè)不等式，我們首先得到問題331的幾個(gè)推論，證明過程留給讀者.

證明：∵a5+b5≥a3b2+a2b3=a2b2(a+b),

下面式子的證明和例3的證明方法完全相同，讀者不妨嘗試一下.

例4的一個(gè)直接推論就是《數(shù)學(xué)通報(bào)》2367號問題.

下面兩個(gè)式子的證明和例4的證明方法完全相同，讀者不妨嘗試一下.

我們看到不等式xm+ym≥xm-lyl+xlym-l看似簡單，實(shí)則銳利.靈活地加以運(yùn)用，可以又快又好的解決一些看似高不可攀的數(shù)學(xué)難題.它的本質(zhì)就是排序不等式的初級形式，解題中有時(shí)也走了一點(diǎn)彎路，比如例4中a8+b8+c8≥abc(a5+b5+c5)的證明用xm+ym≥xm-lyl+xlym-l來證有點(diǎn)繁瑣，而在排序不等式中它是一個(gè)顯然的事實(shí).