浙江省紹興市紹興魯迅中學(xué) (312000)

陳少春

近幾年高考導(dǎo)數(shù)壓軸題一個(gè)熱點(diǎn)是考查函數(shù)零點(diǎn)(圖像交點(diǎn))個(gè)數(shù)問(wèn)題，代數(shù)上判斷無(wú)法求解零點(diǎn)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最常用的就是零點(diǎn)存在定理加單調(diào)性去處理，即若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)，f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有唯一的零點(diǎn).這個(gè)定理在應(yīng)用時(shí)的難點(diǎn)是兩個(gè)端點(diǎn)a，b的函數(shù)值符號(hào)的確定，很多學(xué)生談“點(diǎn)”色變.下面筆者結(jié)合具體例子談?wù)労瘮?shù)零點(diǎn)問(wèn)題中取點(diǎn)策略，希望對(duì)考生備考有些許幫助.

一、直接取點(diǎn)

直接取點(diǎn)可以分成兩類(lèi)：常值取點(diǎn)和帶參取點(diǎn).不帶參函數(shù)或者代常值能把參數(shù)消去很

多時(shí)候取具體值就可以解決問(wèn)題，帶參函數(shù)且不容易消參的往往要帶參取點(diǎn)，這類(lèi)問(wèn)題的處理策略是利用這個(gè)點(diǎn)代入之后以參數(shù)為自變量的函數(shù)的單調(diào)性，代入這個(gè)點(diǎn)后把高次降成低次(三次降成二次，一次)轉(zhuǎn)換成熟悉的函數(shù)再處理等等.

例1 設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax+a(a∈R)其圖像與x軸交于A(x1,0)，B(x2,0)兩點(diǎn)，且x1

解：f′(x)=ex-a，f(x)在區(qū)間(-∞,lna)單調(diào)遞減，(lna,+∞)單調(diào)遞增.若f(x)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則f(lna)=a-alna+a<0，a>e2.取x=1，f(1)=e-a+a=e>0；取x=a，f(a)=ea+a-a2>0.由零點(diǎn)存在定理知，在區(qū)間(1,lna),(lna,a)各存在一個(gè)唯一的零點(diǎn).所以a的取值范圍a>e2.

例2 (2019屆浙江新高考聯(lián)盟22)設(shè)a∈R，已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax2-(1+a)x+1，x∈(1,+∞).

(1)若f(x)>0恒成立，求a的取值范圍；

(2)證明：存在實(shí)數(shù)a使得f(x)有唯一零點(diǎn).

(1)若a=3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．

二、指對(duì)數(shù)放縮后取點(diǎn)

(1)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f(x1)+f(x2)>8-8ln2；

(2)若a≤3-4ln2，證明：對(duì)于任意k>0，直線(xiàn)y=kx+a與曲線(xiàn)y=f(x)有唯一公共點(diǎn).

另一方面，由f(x)=kx+a得k=

例5 (2018年全國(guó)3理21)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x．

(1)若a=0，證明：當(dāng)-10時(shí)，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，求a．

(2)如果不等式(1+kx)f(x)>1+x對(duì)f(x)定義域內(nèi)一切值都成立，求實(shí)數(shù)k的所有可能的值.

三、冪函數(shù)放縮后取點(diǎn)

筆者發(fā)現(xiàn)很多模擬題往往是指對(duì)數(shù)函數(shù)放縮成冪函數(shù)，從而導(dǎo)致很多學(xué)生形而上學(xué)，機(jī)械操作，其實(shí)有些問(wèn)題把冪函數(shù)往指對(duì)數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化能使問(wèn)題得到更快更好的解決.

例7 (2017年全國(guó)卷1理21)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍.