李 燕，洪振木

（安徽財經(jīng)大學 金融學院，安徽 蚌埠 233030）

股票市場復雜網(wǎng)絡模型是指以各股票為節(jié)點，以股票間的某種關系為連邊而構(gòu)成的復雜網(wǎng)絡模型。經(jīng)濟的快速發(fā)展，信息的迅速傳播使得股市對市場中利好、利空消息的捕捉更加敏捷。崔永元曝出有關明星藝人的陰陽合同以及偷稅漏稅事件使得華誼兄弟、唐德影視等娛樂公司股價連續(xù)下跌；長生生物問題疫苗的曝光使其股價迎來33 個跌停后退市，這都體現(xiàn)出股價對經(jīng)濟變化的敏感性。另外，由于上市公司的運營狀況會直接引起股價的波動，而經(jīng)濟的增長或衰退具有滯后性，進一步顯現(xiàn)出股市作為經(jīng)濟“晴雨表”的重要性。為此，許多經(jīng)濟學家用各種理論對股票市場進行了研究，復雜網(wǎng)絡理論也成為學者分析股票市場的慣用工具。構(gòu)建一個含有高質(zhì)量信息的股票市場復雜網(wǎng)絡模型是研究股票市場網(wǎng)絡拓撲性質(zhì)的基礎，本文基于RMT 理論剔除構(gòu)建網(wǎng)絡矩陣的噪聲信息來優(yōu)化網(wǎng)絡，通過對比網(wǎng)絡優(yōu)化前后的穩(wěn)定性及投資組合風險差異來分析網(wǎng)絡“去噪”效果。

一、文獻綜述

股票市場錯綜復雜，各主體間的相互作用隨時間的變化而變化，時間序列的無限性，樣本數(shù)據(jù)的有限性，導致噪聲信息對樣本數(shù)據(jù)間相關關系的干擾。股票市場各主體間相關系數(shù)矩陣所含有的噪聲信息，不利于復雜網(wǎng)絡理論準確地揭露其網(wǎng)絡拓撲性質(zhì)。RMT 理論的起源可以追溯至1928年J.Wisllart 在固定大小的Gatlaaian矩陣上所做的研究。[1]（P32-52）RMT 理論在金融領域的應用起源于1999年Laloux、Cizeau 等人發(fā)現(xiàn)的數(shù)據(jù)相關系數(shù)中噪聲信息的存在，這些噪聲會掩蓋金融時間序列的經(jīng)濟意義。[2]（P1467）Laloux、Cizeau 等人提出將包含噪聲信息的特征值用全部特征值的平均來代替的方法（LCPB法）以剔除噪聲信息。Plerou、Gopikrishnana 和Rosenowb 等人在LCPB 法的基礎上提出用數(shù)字0 代替包含噪聲信息的特征值的方法（PG+法）來避免噪聲信息的干擾。[3]（P66126）Sharifi、Crane 和Shamaie 等人在考慮了金融序列方向性的基礎上，提出以最大正定特征值替換噪聲特征值的方法（KR 法）來消除噪聲因素的副作用，并以S&P500 指數(shù)的30 分鐘高頻數(shù)據(jù)確定相關矩陣中的噪聲百分比，最后為投資組合優(yōu)化提出了寶貴的意見。[4]（P629-643）韓華、吳翎燕等人在討論金融相關系數(shù)矩陣和隨機矩陣特征值統(tǒng)計特性的基礎上，對現(xiàn)有的去噪方法進行改進，重構(gòu)更適合構(gòu)建復雜網(wǎng)絡模型的相關系數(shù)矩陣，并建立金融網(wǎng)絡模型。[5]（P439-448）駱旗、韓華、龔江濤等人針對小組合股票市場，提出使用蒙特卡羅模擬修正的隨機矩陣“去噪”方法。[6]（P2642-2646）謝赤、胡玨、王鋼等人運用RMT 理論和相關系數(shù)動態(tài)演化模型建立全球股指二次 “去噪”相關系數(shù)矩陣，并采用閾值法構(gòu)建全球股市網(wǎng)絡模型，進而分析該網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)特性和解釋該網(wǎng)絡中的風險傳染效應。[7]（P144-152）吳翎燕發(fā)現(xiàn)基于 RMT 理論改進后的金融網(wǎng)絡的拓撲性質(zhì)更加明顯，結(jié)構(gòu)更加緊密。[8]孫雪蓮基于RMT 理論，研究了相關矩陣“去噪”重構(gòu)方法，提出一種新的“去噪”方法：“兩點確定法”，并利用最小方差投資組合模型和均值-方差投資組合模型對比分析了去除“噪聲”和未去除“噪聲”對投資組合的有效前沿和風險預測的影響，證明了去除“噪聲”可得到表現(xiàn)更優(yōu)異的投資組合。[9]考慮到一個含有高質(zhì)量信息的復雜網(wǎng)絡對研究其拓撲性質(zhì)的重要性，本文試圖通過RMT 理論構(gòu)造一個優(yōu)化的股票市場網(wǎng)絡模型，并對比分析優(yōu)化前后網(wǎng)絡穩(wěn)定性及投資組合風險的差別。

二、研究設計

（一）樣本及數(shù)據(jù)

上證180 指數(shù)選取規(guī)模較大、流動性較好且具有行業(yè)代表性的180 只股票作為樣本構(gòu)建指數(shù)，使其能夠反映上海證券市場的概貌和運行狀況。孫雪蓮通過對不同采樣頻率的股票數(shù)據(jù)對比發(fā)現(xiàn)，在高頻數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，頻率越高，相關矩陣所承載的信息量越大，在采樣頻率為120min 左右時，相關矩陣可以被看成是隨機的。因此，剔除數(shù)據(jù)缺失天數(shù)較多的16 只股票，本文選取上證180 指數(shù)成分股比較活躍的164只股票2017年7月份的高頻交易數(shù)據(jù)構(gòu)建股票市場復雜網(wǎng)絡模型，采樣頻率為5 分鐘，采樣指標為前復權(quán)收盤價。數(shù)據(jù)來源于WIND。

（二）數(shù)據(jù)處理

假設股票市場網(wǎng)絡模型由n 只股票構(gòu)成，Pit表示第i 只股票t日的收盤價，Pi,t-1表示第 i只股票t-1日的收盤價。由收盤價對應的對數(shù)收益率序列來求相關系數(shù)矩陣，對數(shù)收益率公式可表示為：

rit代表第i 只股票在t日的收益率。由收益率序列計算的各股票間的相關系數(shù)可表示為：

其中，用 E 表示數(shù)學期望，ρij表示 i 與 j 之間的相關系數(shù)，取值范圍在-1 與1 間。一般地，若一個矩陣的所有元素非負并且每行元素和為1，則認為該矩陣是隨機的，用公式可以表示為：

其中，A 是由M 個序列長度為N 的不相關的隨機變量構(gòu)成的M×N 矩陣，且每個序列都服從N(0,1)分布，即每行元素都服從均值為0、方差為1 的正態(tài)分布。定義Q=N/M，隨機矩陣預測特征值的最大值和最小值可以表示為：

其中，λmax≥λ≥λmin，RMT 理論“去噪”的方法主要是通過處理相關系數(shù)矩陣和隨機矩陣特征值來實現(xiàn)矩陣的優(yōu)化。RMT 理論“去噪”主要包括LCPB、PG+和KR 三種方法，這三種方法各有優(yōu)缺點，其中，PG+法是誤差最小、“去噪”效果最好的一種方法。[11]（P589-606）本文將采取 PG+法對相關系數(shù)矩陣進行“去噪”處理。具體方法如下：

首先，譜分解相關系數(shù)矩陣C：

其中，P 為正交矩陣，PT為矩陣 P 的轉(zhuǎn)置（PPT=1），Ω 為含有特征值的對角矩陣。將 Ω 矩陣中的特征值λ 從小到大排序得到特征值矩陣Ωs，具體形式為：

然后，以公式（5）預測出的隨機矩陣最大特征值(λmax)為臨界點，將特征值分為[λ1,λk]，[λk＋1,λn] 兩個區(qū)間，其中，λk＜λmax＜λk＋1。PG+法認為RMT 預測范圍內(nèi)的特征值與隨機矩陣特征值具有相同的屬性，不能反映變量間的相互關系，該預測范圍內(nèi)特征值所包含的信息為 “噪聲信息”，而小于RMT 預測范圍的相關系數(shù)矩陣特征值所含有的信息很少，可以忽略不計。[10]PG+法“去噪”的思想是零值法，即將特征值小于λmax數(shù)值設置為0，即：

同時，相關系數(shù)的特征向量矩陣也保留了相同位置的特征向量（記為P*）。根據(jù) Ω*和 P*，對相關系數(shù)矩陣重構(gòu)：

其中，C*為新的相關系數(shù)矩陣，為了確保Tr(C)=Tr(C*)=n，新相關系數(shù)矩陣的主對角線元素設為1。

三、基于RMT理論的股票市場相關系數(shù)矩陣去噪

相關系數(shù)矩陣中含有的信息往往可以分為兩類：一類是包含矩陣變量間相關關系的 “真實”信息；一類是干擾信息，也稱為“噪聲”信息。RMT 理論的目的就在于辨別出隨機矩陣中的“干擾信息”和“真實信息”，通過對干擾信息的剔除來達到網(wǎng)絡優(yōu)化的目的。文章首先根據(jù)公式(3)構(gòu)建一個與相關系數(shù)矩陣同維度的隨機矩陣，對相關系數(shù)矩陣和隨機矩陣的特征值分布進行對比分析。（見圖1）從圖中可以看出兩矩陣的特征值有重疊部分，亦有差異部分，認為與隨機矩陣特征值重疊部分的相關系數(shù)矩陣特征值所包含的信息具有隨機性，將其作為“噪聲信息”處理。

圖1 相關系數(shù)矩陣和隨機矩陣特征值分布圖

文章將相關系數(shù)矩陣特征值、隨機矩陣特征值和RMT 預測特征值進行了統(tǒng)計（見表1），可以看出，隨機矩陣的特征值范圍包含于RMT理論預測的特征值范圍內(nèi)，符合RMT 理論的預測原則。[11]（P589-606）而相關系數(shù)矩陣的特征值僅部分落在RMT 理論預測的特征值內(nèi)。經(jīng)統(tǒng)計，小于RMT 預測最大特征值的相關系數(shù)矩陣特征值共155 個，大于RMT 預測最大特征值的相關系數(shù)矩陣特征值共9 個。

矩陣特征值熵（記為SE）是用來評估特征值所含有信息量的有效工具，其熵值一般在[0,1]之間，SE 值越小說明其特征值所含信息具有更多的經(jīng)濟含義，反之亦然。為進一步確認偏離RMT 預測范圍的相關系數(shù)矩陣特征值是否含有反映經(jīng)濟變量間關系的有效信息，文章用矩陣特征值熵分別來檢驗不同范圍特征值所含信息對矩陣的影響。特征值熵(SE)的數(shù)學表達式可表示為：

表1 各矩陣特征值的統(tǒng)計

本文通過公式(9)利用Matlab 軟件對相關系數(shù)矩陣和隨機矩陣的特征值熵進行統(tǒng)計。（見表2）從表中可以看出相關系數(shù)矩陣中含有大量代表經(jīng)濟含義的有效信息，而隨機矩陣所含信息量很少。當去除最大的9 個特征值時，相關系數(shù)矩陣的特征值熵驟升，說明剔除較大的特征值會降低相關系數(shù)矩陣所含信息的有效性。當去除隨機矩陣最小的155 個特征值時，隨機矩陣特征值熵不增反減，意味著該部分特征值的剔除增加了隨機矩陣的經(jīng)濟信息含量，正體現(xiàn)出RMT 理論“去噪”的效果。

表2 矩陣特征值熵統(tǒng)計

因此，本文通過剔除相關系數(shù)矩陣小于RMT 預測的最大特征值的那部分矩陣特征值來對相關系數(shù)矩陣“去噪”處理。具體做法如下：首先，以上證180 指數(shù)成分股高頻交易數(shù)據(jù)對應的對數(shù)收益率序列為基礎，由公式(2)計算出相關系數(shù)矩陣，根據(jù)RMT 理論“去噪”原理，通過公式(3)構(gòu)建一個與相關系數(shù)矩陣同維度的隨機矩陣。其次，由公式(5)對相關系數(shù)矩陣進行譜分解之后根據(jù)PG+法步驟剔除信息含量很少的特征值及其對應的特征向量。最后，根據(jù)公式(8)重構(gòu)“去噪”后的相關系數(shù)矩陣。

四、實證分析

（一）網(wǎng)絡模型的構(gòu)建

文章以股票市場中各股票為節(jié)點，股票相關性為連邊，根據(jù)閾值法構(gòu)建股票市場復雜網(wǎng)絡模型。文章根據(jù)原網(wǎng)絡相關系數(shù)矩陣隨著閾值增加，最大連通子圖和第二大連通子圖所含節(jié)點個數(shù)的變化情況確定閾值，將閾值確定為0.28。[12]（P249-253）根據(jù)閾值法理論，認為相關系數(shù)大于0.28 的節(jié)點間有連邊在相關系數(shù)矩陣中記為1，相關系數(shù)小于0.28 的節(jié)點間沒有連邊在相關系數(shù)矩陣中記為0。將相關系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)換為只含有0、1 元素的鄰接矩陣，由鄰接矩陣構(gòu)建無權(quán)無向的股票市場復雜網(wǎng)絡模型。為保證網(wǎng)絡優(yōu)化前后的可比性，以優(yōu)化后的相關系數(shù)矩陣建立閾值為0.28 的優(yōu)化網(wǎng)絡。本文使用Pajek 軟件構(gòu)建網(wǎng)絡模型。

（二）網(wǎng)絡優(yōu)化前后的穩(wěn)定性分析

復雜網(wǎng)絡模型在遭受到外部有意或者無意的攻擊時具有一定的穩(wěn)定性，這種穩(wěn)定性在實際股票市場中可理解為，當外部經(jīng)濟受挫時，股票市場維持其自身運行的能力。穩(wěn)定性越高的網(wǎng)絡模型其所代表的實體市場抗風險性越強。將網(wǎng)絡中所有節(jié)點在不同路徑長度下的閉合路徑數(shù)量總和定義為子圖中心性（記為Sc），該指標體現(xiàn)了網(wǎng)絡的連通性。依次剔除從大到小排序的節(jié)點度，對網(wǎng)絡進行蓄意攻擊，觀察隨著移除節(jié)點數(shù)目的增加，網(wǎng)絡優(yōu)化前后Sc 值的變化情況。如圖2所示，隨著移除節(jié)點數(shù)目的增加，原網(wǎng)絡與優(yōu)化網(wǎng)絡的Sc 指標均呈下降趨勢，說明無論網(wǎng)絡是否優(yōu)化，節(jié)點移除數(shù)目的增加都會導致網(wǎng)絡連通性的下降。當移除度值大的Hub 節(jié)點時，對網(wǎng)絡有較強的攻擊性，原網(wǎng)絡Sc指標與優(yōu)化網(wǎng)絡Sc 指標以近似相同的速率在優(yōu)化網(wǎng)絡Sc 指標下方遞減，此時網(wǎng)絡連通性快速下降；隨著節(jié)點移除數(shù)目的增加，所移除節(jié)點對網(wǎng)絡的重要性下降，攻擊性減弱，原網(wǎng)絡和優(yōu)化網(wǎng)絡Sc 指標下降速度減緩，最后以相同的速度緩慢遞減。當所剔除節(jié)點為網(wǎng)絡Hub 節(jié)點時，蓄意攻擊下優(yōu)化后網(wǎng)絡的Sc 運動曲線始終在原網(wǎng)絡Sc 運動曲線的上方，說明優(yōu)化后的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)更穩(wěn)定。

圖2 隨著節(jié)點移除數(shù)目的增加，Sc 指標變化情況

（三）網(wǎng)絡優(yōu)化前后投資組合風險分析

1.預期收益下的風險對比

馬科維茨投資組合模型為多目標優(yōu)化問題（即風險一定，收益最大；收益一定，風險最小），以預期收益率期望度量收益（回報率）；以收益率方差度量風險。考慮允許賣空情況下的投資組合，具體模型如下：

其中，E(rp)為期望收益率，ri、rj為第 i 種和第 j 種資產(chǎn)的收益，wi、wj為資產(chǎn) i 和資產(chǎn) j 在組合中的權(quán)重，δp2為投資收益的方差即組合的總體風險，Cov(ri,rj)為兩種資產(chǎn)的協(xié)方差。通過調(diào)節(jié)參數(shù)E(rp)求解投資組合的有效邊界。根據(jù)馬科維茨模型的假設，將收益率序列平分成兩個時期，根據(jù)第一期的收益率計算預測風險和收益，根據(jù)第二期的收益率計算實際風險和收益。這里定義由第二期的回報率和第一期的相關矩陣計算得到的有效前沿稱為預測的投資組合，對應的風險稱為預測風險；用同樣的投資組合，但用第二期的相關矩陣計算在相同回報率情況下該組合的風險稱作實際風險。根據(jù)上述風險和收益計算方法，以及相關系數(shù)矩陣與協(xié)方差矩陣的變換關系，RMT 理論“去噪”前后的預測風險和實際風險可用如下模型表示，其中δ2為方差，W=(w1,w2,…,wn)，Cov 為協(xié)方差矩陣，σ 為對角矩陣其主對角元素為相關矩陣的標準差，C為相關系數(shù)矩陣，1、2 分別指第一期、第二期。

“去噪”前預測風險：δa2=WCov1WT=W(σ1C1σ1)WT;

“去噪”前實際風險：δb2=WCov2WT=W(σ2C2σ2)WT;

“去噪”后預測風險：δa2'=W'Cov1'WT'=W'(σ1'C1'σ1')WT';

“去噪”后實際風險：δb2'=W'Cov2'WT'=W'(σ2'C2'σ2')WT'。

實際風險收益曲線和預測風險收益曲線（見圖3），可以看出，在收益相等時，“去噪”后的預測風險高于“去噪”前預測風險，而“去噪”后的實際風險低于“去噪”前的實際風險。也就是說，“去噪”前的風險被低估，用該投資組合進行實際投資時實際風險比較大，RMT 方法改進之后，相對準確地估計了風險，可減少在實際投資時的風險，降低實際投資損失。尤其是對追求高風險高收益的投資者來說，在高風險高收益時相同收益下，優(yōu)化后的實際風險顯著低于優(yōu)化前的實際風險，更有利于投資者進行風險規(guī)避。

圖3 實際風險收益曲線和預測風險收益曲線

2.預測準確性比較

表3 實際風險與預測風險的差異系數(shù)

總之，本文將RMT 理論運用到我國股票市場復雜網(wǎng)絡模型中，以去除網(wǎng)絡模型中的噪聲信息來對網(wǎng)絡模型進行優(yōu)化，并對股票市場復雜網(wǎng)絡模型“去噪”前后的效果進行分析。我們以上證180 指數(shù)成分股5 分鐘高頻交易數(shù)據(jù)為研究對象，對比分析了股票市場相關系數(shù)矩陣與同維隨機矩陣特征值分布特性，發(fā)現(xiàn)隨機矩陣特征值全部落在特征值預測范圍內(nèi)，而相關系數(shù)矩陣特征值僅部分落在特征值預測范圍內(nèi)。使用特征值熵指標分區(qū)域?qū)μ卣髦邓慕?jīng)濟信息進行判斷，發(fā)現(xiàn)小于最大預測特征值部分的特征值所包含的信息降低了信息的有效性。據(jù)此我們根據(jù)隨機矩陣理論對股票市場復雜網(wǎng)絡模型進行“去噪”處理，得到新的更適于建立復雜網(wǎng)絡模型的相關系數(shù)矩陣，并根據(jù)閾值法構(gòu)建當閾值為0.28 時的優(yōu)化后的網(wǎng)絡模型。在此基礎上，文章通過蓄意攻擊分析了網(wǎng)絡優(yōu)化前后穩(wěn)定性的不同；通過投資組合風險對比分析了網(wǎng)絡優(yōu)化前后預測風險和實際風險的異同。實證分析結(jié)果表明，當市場相對穩(wěn)定時，相比原網(wǎng)絡，RMT 理論優(yōu)化后的網(wǎng)絡不僅可以提高網(wǎng)絡的穩(wěn)健性,而且還降低了實際投資組合中的風險。