張婧 張睿 周震

摘 要 針對種群的發(fā)展趨勢不僅依賴于當(dāng)前的狀態(tài)， 而且還依賴于過去某一時(shí)間段的狀態(tài).研究了一類帶時(shí)滯的捕食者-食餌模型. 首先應(yīng)用線性化方法分析該模型正平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性， 然后以時(shí)滯為分支參數(shù)討論Hopf分支的存在性， 最后對模型進(jìn)行數(shù)值模擬證實(shí)了以上相關(guān)結(jié)果.

關(guān)鍵詞 常微分方程; 穩(wěn)定性; 線性化; 時(shí)滯

中圖分類號(hào) O175?????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Stability and Hopf Bifurcation

for a PredatorPrey Model with Time Delay

ZHANG Jing， ZHANG Rui， ZHOU Zhen

（Department of Mathematics and Physics， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou， Gansu 730070， China）

Abstract The development trend of a population depends not only on the current， but also on the state in a certain period of time in the past， a predatorprey model with time delay is investigated. First， the local asymptotic stability of the positive equilibrium is demonstrated by using linearization. Then， the existence of Hopf bifurcation is considered by choosing the time delay as the parameter. Finally， some numerical simulations are carried out to illustrate above results.

Key words ordinary differential equation; stability; linearization; time delay

1 引 言

自然界中， 捕食與被捕食是種群之間相互作用的關(guān)系之中最為普遍的一種，食餌-捕食者系統(tǒng)的模型構(gòu)建以及動(dòng)力學(xué)行為研究已經(jīng)取得了很大進(jìn)展.隨著研究的不斷深入和拓展，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)了時(shí)滯現(xiàn)象，也就是種群的發(fā)展趨勢不僅依賴于當(dāng)前的狀態(tài)，而且還依賴于過去或未來某一時(shí)間段的狀態(tài).在分析這類系統(tǒng)時(shí)，就要選用具有時(shí)滯的微分方程才能更準(zhǔn)確地描述出種群的現(xiàn)實(shí)狀態(tài).

在時(shí)滯微分方程理論中， Hopf分支是一種常見的分支現(xiàn)象.該現(xiàn)象是指當(dāng)參數(shù)變化時(shí)， 系統(tǒng)在某個(gè)平衡解附近發(fā)生非平凡周期解從無到有或者從有到無的現(xiàn)象.發(fā)生改變的相應(yīng)參數(shù)的臨界值被稱為分支值. Faria（2001）[1]對捕食者-食餌模型中的生物學(xué)參數(shù)作了詳細(xì)解釋. Celik（2008）[2]研究了一類捕食者種群具有時(shí)滯的比例依賴型的捕食者食餌模型.Celik（2009）[3]研究了一類食餌種群具有時(shí)滯的比例依賴型捕食者-食餌模型.這兩篇文章都以時(shí)滯τ為參數(shù)， 分析了模型唯一正平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性與Hopf分支的存在性. Yuan和Song（2009）[4]研究了具有時(shí)滯的LeslieGower捕食者-食餌模型，分析了其正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性. Ma（2012）[5]研究了一類捕食者與食餌種群都具有時(shí)滯的捕食者-食餌模型，分析了其平衡點(diǎn)處Hopf分支的存在性及分支周期解的穩(wěn)定性. Chen和Zhang（2013）[6]研究了一類食餌種群具有時(shí)滯和庇護(hù)所效應(yīng)的捕食者-食餌模型， 考慮了食餌種群妊娠期的時(shí)間滯后影響， 分析了其平衡點(diǎn)穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性.

對于捕食者種群個(gè)體來說， 捕食者并不是一出生就具有抓捕能力， 它們需要時(shí)間由幼年成長為成年， 時(shí)間對抓捕能力的影響不容忽視.需要考慮捕食者成熟期的時(shí)間滯后影響，因此在上述模型中對捕食者種群引入時(shí)滯， 首先建立了一類新的捕食者種群具有時(shí)滯和庇護(hù)所效應(yīng)的捕食者-食餌模型， 然后運(yùn)用線性化的方法分析模型正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性， 接著舉出模擬數(shù)值算例， 最后得出時(shí)滯對模型正平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響作用.

2 具有時(shí)滯的捕食者-食餌模型

在一類捕食者-食餌模型中對捕食者引入時(shí)滯τ建立模型（1）.

dx（t）dt=x（t）r-ay（t），dy（t）dt=y（t）[-d+bx（t）-cy（t-τ）]

+m[x（t）-py（t）]， （1）

其中， x（t）與y（t）分別代表食餌種群與捕食者種群在t時(shí)刻的密度， r為食餌種群的內(nèi)稟增長率， ay（t）表示捕食者存在被狩獵的情況， m是捕食者的遷移率， p是捕食者單位時(shí)間對獵物的消耗速率， c是捕食者的自限性常數(shù)， d是捕食者的死亡率.

為了減少參數(shù)數(shù)量，令u（t）=cxtτpr， v（t）=cytτr， 得

du（t）dt=u（t）1-acv（t），dv（t）dt=v（t）[-dr+bpcu（t）-v（t-rτ）]

+pmr[u（t）-v（t）]. （2）

用a，d，b，τ，m分別代替ac，dr，bpc，rτ， 得

du（t）dt=u（t）-au（t）v（t），dv（t）dt=v（t）[-d+bu（t）-v（t-τ）]

+m[u（t）-v（t）]. （3）

定理1

對于模型（3）， 若

（H1） -d-1a

成立， 系統(tǒng)存在唯一正平衡點(diǎn)E11+a（m+d）a（b+ma），1a.

3 局部穩(wěn)定性與Hopf分支的存在性

以下討論唯一正平衡點(diǎn)E1的局部漸近穩(wěn)定性與在平衡點(diǎn)E1處Hopf分支的存在性.

令

x（t）=u（t）-u*，y（t）=v（t）-v*，

得線性化系統(tǒng)

dx（t）dt=（1-av*）x（t）-au*y（t），dy（t）dt=（bv*+m）x（t）-（d+m-bu*

+v*）y（t）-v*y（t-τ）.（4）

其對應(yīng)的特征方程為

0=λ1+a（m+d）b+ma-ba-mλ+mda+m2a+mb+ma+1ae-λτ=

λ2+（mda+m2a+mb+ma+1ae-λτ）λ+1+a（m+d）a即

λ2+Pλ+Qλe-λτ+R=0，（5）

其中

P=mda+m2a+mb+ma，Q=1a，R=1+a（m+d）a.

令λ=iω（ω>0）為方程的一個(gè)根， 把iω（ω>0）代入方程， 得到

（iω）2+Piω+Q（iω）（cos ωτ-isin ωτ）+R=0，

分離上述方程的實(shí)部與虛部， 得

-ω2+ωQsin ωτ+R=0，ωP+ωQcos ωτ=0，（6）

把上述方程的兩端平方相加， 得到關(guān)于ω的代數(shù)方程

ω4+（P2-2R-Q2）ω2+R2=0. （7）

當(dāng)P2-2R-Q2>0時(shí)， 方程無正根， 故不存在純虛根;

當(dāng)P2-2R-Q2<0且P2-2R-Q22>4R2時(shí)， 方程存在兩個(gè)正根ω+和ω-，

ω+=2R+Q2-P2+（P2-2R-Q2）2-4R22，

ω-=2R+Q2-P2-（P2-2R-Q2）2-4R22.

由式（6）得

τ±k=1ω±arc cosPQ+2kπω±（k=0，1，2，…）.

對方程（5）求關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)

dλdτ=Qλ2e-λτ2λ+P+Qe-λτ-τQλe-λτ，

dλdτ-1=2λ+PQλ2e-λτ+1λ2-τλ，

dλdτ-1=-2ωsin ωτ+Pcos ωτ-Qω2-1ω2

=2ω2-2R+P2-Q2Q2ω2=ΔQ2ω2，

從而得到橫截性條件

signdλdττ=τ+k，ω=ω+>0，signdλdττ=τ-k，ω=ω-<0.

定理2

對于模型（3）， 假設(shè)（H1）成立.

（?。┊?dāng)P2-2R-Q2<0時(shí)， 即

（H2）mda+m2a+mb+ma2-21+a（m+d）a-1a2<0

成立，則對于所有τ>0， 模型（3）的正平衡點(diǎn)E1都是局部漸近穩(wěn)定的;

（ⅱ）當(dāng)P2-2R-Q2>0且P2-2R-Q22>4R2時(shí)， 即

（H3）?? mda+m2a+mb+ma2-21+a（m+d）a

-1a2>0，

mda+m2a+mb+ma2-21+a（m+d）a-1a22

>4+4am+da2

成立， 此時(shí)存在一個(gè)正整數(shù)N， 當(dāng)τ∈[0，τ+0）∪（∪N-1n=0（τ-n，τ+n+1）時(shí)， 模型（3）的正平衡點(diǎn)E1局部漸近穩(wěn)定， 當(dāng)τ∈（∪N-1n=0（τ+n，τ-n））∪（τ+N，+SymboleB@）時(shí)， 模型（3）的正平衡點(diǎn)E1不穩(wěn)定.當(dāng)τ∈（∪N-1n=0（τ+n，τ-n））∪（τ+N，+∞）時(shí)， 模型（3）在平衡點(diǎn)E1處發(fā)生Time New Roma分支.

4 模擬數(shù)值算例

例1 令模型（3）中a=10，b=0.1，m=1，d=2， 則模型（3）存在唯一平衡點(diǎn)E1=（31101，110），這些系數(shù)滿足（H1）與（H2）， 則當(dāng)時(shí)滯τ>0時(shí)正平衡點(diǎn)E1漸近穩(wěn)定， 如圖1所示.

例2 令模型（3）中a=4，b=2，m=1，d=-1， 則模型（3）存在唯一平衡點(diǎn)E1=（124，14），這些系數(shù)滿足（H1）與（H3）， 根據(jù)上節(jié)可計(jì)算得ω-=0.18， τ-0=4.666. 圖2表明當(dāng)τ<τ-0 時(shí)，平衡點(diǎn)E1=（124，14）漸近穩(wěn)定; 圖3表明當(dāng)τ穿過τ-0時(shí)一個(gè)穩(wěn)定的周期解從平衡點(diǎn)E1=（124，14）分支出來; 圖4表明當(dāng)τ>τ-0時(shí)，一個(gè)不穩(wěn)定的周期解從平衡點(diǎn)E1=（124，14）分支出來.

5 結(jié) 論

研究了一類捕食者種群具有時(shí)滯和庇護(hù)所效應(yīng)的捕食者-食餌模型， 考慮了捕食者種群個(gè)體的成熟期對捕食者-食餌模型的種群密度帶來的時(shí)間滯后影響.當(dāng)模型（3）存在唯一正平衡點(diǎn)即（H1）成立時(shí)， 若模型（3）中的系數(shù)滿足條件（H2）， 時(shí)滯不會(huì)影響模型正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。若模型（3）中的系數(shù)滿足條件（H3）， 當(dāng)時(shí)滯達(dá)到某個(gè)臨界值時(shí)會(huì)影響模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性并導(dǎo)致分支的出現(xiàn).

參考文獻(xiàn)

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[5] MA? Y. Global Hopf Bifurcation in the LeslieGower Predatorprey Model with Two Delays[J]. Nonlinear Analysis： Real World Application， 2012， 13（1）：370-375.

[6] CHEN? Y， ZHANG? F. Dynamics of a Delayed Predatorprey Model with Predator Migration[J]. Applied Mathematical Modelling， 2013， 37（3）：1400-1412.