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        四則運算之“序”的教學之“理”*

        2019-07-05 12:31:56徐宏臻
        教學月刊(小學版) 2019年17期
        關(guān)鍵詞:括號算式乘法

        □ 徐宏臻

        一、緣起

        學校舉辦賽課活動,內(nèi)容是蘇教版四年級上冊第七單元的“整數(shù)四則混合運算”例1(主題圖如圖1)。筆者發(fā)現(xiàn),許多教師在引導學生分步列式的基礎(chǔ)上,啟發(fā)學生結(jié)合事理和數(shù)量關(guān)系列出綜合算式12×3+15×4或 15×4+12×3,并確定先算什么,后算什么,最后算什么。許多教師教完例1后,就引導學生總結(jié)出混合運算的順序規(guī)則:在沒有括號的算式里,有乘、除法和加、減法,要先算乘、除法,再算加、減法。

        圖1

        接著教學“試一試”?!霸囈辉嚒笔怯嬎?50+120÷6×5,教材旁白:要先算什么呢?學生根據(jù)例1得出的運算順序規(guī)則,容易說出:在沒有括號的算式里,有乘、除法和加、減法,要先算乘、除法,再算加、減法??墒?,緊接此后,教材又要求學生歸納和總結(jié)沒有括號的混合運算式題的運算順序。明明教師在教學例1時,已經(jīng)得出了混合運算的順序規(guī)則,并且在“試一試”時又用到了這一規(guī)則,為什么教材這時又要求學生歸納和總結(jié)這一規(guī)則?教師這樣教是不是邏輯混亂、循環(huán)論證?評課時筆者提出這一問題,在場的三十多位教師無人答得上來。

        無獨有偶,在另一次“同課異構(gòu)”教學中,筆者又聽了兩節(jié)這樣的課,其中一節(jié)課同上所教。另一節(jié)課則在上課伊始,就通過復習三年級的混合運算順序,諸如200+100×5,200-100÷5等,引導學生得出上述混合運算的順序規(guī)則。接著,就讓學生直接運用這一規(guī)則進行計算。那么,執(zhí)教者是否思考過教材編排的序及其邏輯聯(lián)系,究竟怎樣讓學生理解規(guī)則內(nèi)在的“理”?

        二、找序

        圖2

        蘇教版教材“混合運算”一詞首次出現(xiàn)是在三年級下冊第四單元,用三道例題教學“混合運算”,例1見圖2。教材聯(lián)系學生非常熟悉的購物情境,引導學生根據(jù)所求問題,列出數(shù)量關(guān)系式:3本筆記本的錢+1個書包的錢=一共要用的錢,或1個書包的錢+3本筆記本的錢=一共要用的錢。數(shù)量關(guān)系式極為重要,因為它指導著學生列分步算式和綜合算式及如何對綜合算式5×3+20或20+5×3進行計算,明確先算什么,再算什么,知道兩式都要先算乘法。在此基礎(chǔ)上,教師再引導學生歸納和總結(jié)出一條有關(guān)混合運算順序的規(guī)則:算式中有乘法和加、減法,應先算乘法。值得提出的是,混合計算只涉及三個數(shù)。

        接著呈現(xiàn)例2(見圖3)。同樣在依據(jù)數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上,列出綜合算式,并得出另一條有關(guān)混合運算順序的規(guī)則,即算式中有除法和加、減法,應先算除法。最后例3教學有括號的算式的運算順序,列出綜合算式,并得出第三條混合運算順序的規(guī)則:算式里有括號,應先算括號里面的。

        圖3

        可見,三年級下冊教材并未歸納出“先乘除,后加減”這一規(guī)則,也沒有把乘、除法與加法混合在一起,或把乘、除法與減法混合在一起,更沒有把乘、除法與加、減法同時混合在一起。執(zhí)教老師課前沒有理清教材編寫的“序”,想當然地超前了,把新知當成已知看待了。

        蘇教版教材是在四年級上冊才進行綜合的(圖1)。教材用一道例題引入四個數(shù)的混合計算,如12×3+15×4,借助數(shù)量關(guān)系式,說明乘、加法混合仍然要先算乘法,再算加法,與三年級一樣。這時,教材并未要求學生歸納出混合運算的順序規(guī)則。接著,通過“試一試”,即計算150+120÷6×5,把乘、除法與加法混合在一起,并引導學生思考:要先算什么呢?引導學生根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗,類推出要先算乘、除法,再算加法,而這里乘、除法混合在一起,要按照從左往右的順序進行計算。在此基礎(chǔ)上,再引導學生歸納和總結(jié)出混合運算的順序規(guī)則:在沒有括號的算式里,有乘、除法和加、減法,要先算乘、除法,再算加、減法,即“先乘除,后加減”,原來如此!

        三、明理

        沒有括號的四個數(shù)的混合運算該怎么教,才能體現(xiàn)教材編寫的“序”,又能讓學生理解規(guī)則內(nèi)在的“理”呢?請看以下教學片段。

        【教學片段】

        1.激活已知

        分別說出下列各式的運算順序:200-100+50,200÷100×50,200+100×50,200-100÷50。

        待學生準確說出順序后,引導其回憶:算式中只有加、減法或只有乘、除法,要按從左往右的順序進行計算;算式中有乘法和加、減法,應先算乘法;算式中有除法和加、減法,應先算除法。

        [設計意圖:課始復習三個數(shù)的混合運算有利于激活學生已有的知識和經(jīng)驗,為學習新知奠基。]

        2.探明算理

        我們知道了無括號的三個數(shù)的混合運算的計算順序,那么,如果是四個數(shù)的混合運算,該按怎樣的順序進行計算呢?今天這節(jié)課我們就研究這個問題。

        (1)出示主題圖(如圖1),引導學生說出條件和問題。

        (2)引導學生依據(jù)事理說出并板貼下列數(shù)量關(guān)系式:3副中國象棋的價錢+4副圍棋的價錢=一共要付的錢;4副圍棋的價錢+3副中國象棋的價錢=一共要付的錢。請大家算一算。

        (3)交流反饋。

        ①展示分步列式,并讓學生依據(jù)上述數(shù)量關(guān)系式說出理由(過程略)。

        ②有列綜合算式的嗎?根據(jù)學生的交流,教師板書12×3+15×4,15×4+12×3。讓學生思考:在計算12×3+15×4時,應該先算什么,再算什么,最后算什么,教師板書12×3+15×4=36+15×4=36+60=96(元)。同樣,在計算15×4+12×3時,學生思考:應先算什么,再算什么,最后算什么,教師板書15×4+12×3=60+12×3=60+36=96(元)。有學生把兩個乘法算式同時計算,即12×3+15×4=36+60=96(元),則讓學生通過對比感悟到:在算3副中國象棋的價錢時,并不影響算4副圍棋的價錢,而且這樣計算更簡潔。

        接著,教師讓學生觀察算式15+15+15+15+12+12+12,思考:如果要求這7個數(shù)的和,你認為怎樣算快些?學生普遍認為,先把4個15相加的和與3個12相加的和分別算出來,再把這兩個和相加,這樣快。于是,教師板書15+15+15+15+12+12+12=15×4+12×3。讓學生對比等式左右,明確在計算15×4+12×3時,應先算相同加數(shù)的和,即乘法。

        筆者順勢引導學生把15+15+15+15-12-12-12改寫成15+15+15+15-(12+12+12)=15×4-12×3。學生發(fā)現(xiàn),在計算15×4-12×3時,同樣應先算乘法,再算減法,即15+15+15+15-12-12-12=15×4-12×3=60-36=24。

        (4)小結(jié)。觀察12×3+15×4、15×4+12×3、15×4-12×3的計算順序,說說算式中有乘法和加、減法時,應先算什么,從而總結(jié)得出規(guī)則:算式中有乘法和加、減法,應先算乘法,與三個數(shù)的混合運算一樣。

        [設計意圖:從現(xiàn)實生活中找原型,緊扣數(shù)量關(guān)系式,引導學生分步列式和列綜合算式,同時依據(jù)數(shù)量關(guān)系式確定和理解混合運算的順序。在此基礎(chǔ)上,為了讓學生從算理上進一步理解混合運算的順序規(guī)則,讓學生觀察等式15+15+15+15+12+12+12=15×4+12×3,以及15+15+15+15-12-12-12=15×4-12×3,讓學生從算理上明確先算乘法的合理性。]

        (5)研究除法。買3副同樣的中國象棋要用36元,買4副同樣的圍棋要用60元。每副圍棋比每副中國象棋貴多少元?你能列出綜合算式并算一算嗎?

        學生展示綜合算式并述理,教師板書60÷4-36÷3。學生思考應先算什么,再算什么,最后算什么。因為在算每副圍棋的價錢時,并不影響算每副中國象棋的價錢,所以兩個除法可以同時算,即60÷4-36÷3=15-12=3(元)。由此引導學生發(fā)現(xiàn):算式中有除法和加、減法,要先算除法。讓學生練習計算60÷4+36÷3(略)。

        [設計意圖:例題列舉了乘加的例子,沒有列舉乘減和除加(減)的例子,對小學生來說,要總結(jié)和概括混合運算的順序規(guī)則需要較為全面的例子。]

        (6)小結(jié)規(guī)則。引導學生回顧15×4+12×3,15×4-12×3,60÷4-36÷3和60÷4+36÷3的計算過程,說說它們在運算順序上有何相同點,從而總結(jié)和概括出:算式中有乘法和加、減法,要先算乘法;算式中有除法和加、減法,要先算除法。

        3.遷移運用

        出示“試一試”。計算240+60÷6×5,引導學生整體觀察和思考:應先算什么?學生說:根據(jù)前面的學習可知,乘法與加、減法在一起時,要先算乘法;除法與加、減法在一起時,要先算除法。因此這題應先算60÷6×5,再算加法,但這題乘、除法混在一起了,在先算60÷6×5時,要按照從左到右的順序進行計算。因此,這題應先算除法,再算乘法,最后算加法。

        學生計算并交流,教師要注意糾正學生的三種錯誤,并找出出錯原因,讓學生感悟到運算順序的重要性。教師板書規(guī)范的計算格式(略)。讓學生練習計算240-60÷6×5(略)。

        觀察240+60÷6×5和240-60÷6×5的計算過程,引導學生思考:一個算式里既有乘、除法,又有加、減法,應先算什么,再算什么?從而得出整數(shù)四則混合運算的順序規(guī)則(略),這就是四個數(shù)的混合計算在沒有括號時的運算順序規(guī)則。

        [設計意圖:在學生得出乘加(減)、除加(減)算式的計算順序基礎(chǔ)上,讓學生計算“試一試”,并說理,旨在讓學生得出:在計算乘、除法與加、減法混合算式時,要先算乘、除法,再算加、減法。這樣,學生對規(guī)則不但知其然,而且知其所以然。]

        4.鞏固練習(略)

        教學中把三、四年級的教材有機地銜接起來,學生可以清晰地看到知識發(fā)展的脈絡,感受到教材編寫的“序”,同時學生能順利地運用已知探明新知,把新知牢牢地“嫁接”在已知這根“樁”上,形成一棵“知識樹”。這就是課標所說的:“數(shù)學知識的教學,要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’,把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中,注重知識的結(jié)構(gòu)和體系,處理好局部知識與整體知識的關(guān)系,引導學生感受數(shù)學的整體性……”

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