□ 董文彬
北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中常常有一些數(shù)學(xué)思考性很強(qiáng)的問題,它們的基本特征是拓展性和開放性,與“四基”密切相關(guān)。教師知道這些題目對(duì)激發(fā)學(xué)生的探究興趣,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力有很大作用,但又糾結(jié)于學(xué)生的思維水平差異較大,指導(dǎo)上有困難。因此有的教師干脆將這些問題作為彈性作業(yè)布置,課堂上也不進(jìn)行引導(dǎo),任學(xué)生自由發(fā)展;有的教師在課堂上機(jī)械地反復(fù)講、練,直到學(xué)生形成解題“套路”。這些皆與兒童的數(shù)學(xué)理想學(xué)習(xí)相距甚遠(yuǎn)。
這些習(xí)題怎么處理?要不要拓展為課堂教學(xué)?怎樣拓展?筆者在思考的基礎(chǔ)上,對(duì)北師大版數(shù)學(xué)教材三年級(jí)下冊(cè)一類思維題進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐與嘗試。
出示“問題1”:王老師為小朋友們準(zhǔn)備了一張長(zhǎng)32厘米、寬15厘米的長(zhǎng)方形彩紙,最多可以剪成多少?gòu)堖呴L(zhǎng)是2厘米的正方形紙?
師:這道題目已知哪些條件或信息,要解決什么問題?
生:知道長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)是32厘米,寬是15厘米,還知道要剪的正方形邊長(zhǎng)是2厘米。要解決的問題是長(zhǎng)方形紙中最多能剪多少個(gè)正方形。
師:“最多”是什么意思?
生:因?yàn)閺拈L(zhǎng)方形紙上可以剪一個(gè)、兩個(gè),還可以剪很多個(gè),“最多”就是最大限度的意思。
生:就是盡可能把這張長(zhǎng)方形紙都用上。
[思考:三年級(jí)學(xué)生雖然有一定的解題經(jīng)驗(yàn),但考慮到其數(shù)學(xué)理解的差異性,教師有必要在教材靜態(tài)呈現(xiàn)題目的基礎(chǔ)上配附實(shí)物圖;引導(dǎo)其如何審題,明確已知信息、條件及所要解決的問題,分析關(guān)鍵詞,幫助學(xué)生積累審題的經(jīng)驗(yàn)。]
(師出示提示要求)
師:接下來(lái)按提示要求,請(qǐng)你思考解決。(生嘗試解決,師巡視指導(dǎo)。之后展示學(xué)生的學(xué)習(xí)成果)
生:我是這樣想的:先計(jì)算出長(zhǎng)方形紙的面積32×15=480(平方厘米),再計(jì)算出小正方形的面積2×2=4(平方厘米),長(zhǎng)方形紙上能剪幾個(gè)這樣的正方形就看長(zhǎng)方形的面積里有幾個(gè)正方形的面積,有幾個(gè)就能剪幾個(gè),列式為480÷4=120(個(gè)),所以最多能剪120個(gè)。我的想法大家聽懂了嗎?
師:還有誰(shuí)和他一樣也是這么想的?(教室里有21名學(xué)生舉手)
生:我的思考和他不一樣,答案也不一樣。我是這樣想的:先看長(zhǎng)方形紙的一行能剪幾個(gè)正方形,也就是看32里有幾個(gè)2,列式是32÷2=16(個(gè))。再看一列能剪幾個(gè),也就是15里有幾個(gè)2,列式是15÷2=7(個(gè))……1。然后用16×7=112(個(gè)),所以我的結(jié)論是最多能剪112個(gè)。
師:誰(shuí)聽懂了他的想法?
生:他的思路和我的一樣。我就是這樣一行一行剪的,先看一行能剪幾個(gè),對(duì)應(yīng)著也就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)里有幾個(gè)正方形的邊長(zhǎng),再看能剪幾行,就是寬的方向能剪出幾個(gè),對(duì)應(yīng)著就是長(zhǎng)方形的寬里有幾個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。然后用“一行的個(gè)數(shù)”乘“行數(shù)”就是最多能剪出的正方形的總個(gè)數(shù)了。
生:可是這兩種思路都對(duì)嗎?如果都對(duì),那為什么最后的結(jié)論又不一樣呢?
師:這個(gè)問題提得好!這是怎么回事?
生:我覺得應(yīng)該有一種方法是不對(duì)的。
師:對(duì)比這兩種解決問題的方法,看看問題出在哪兒?(教室里安靜下來(lái))
生:我認(rèn)為第一種方法是錯(cuò)的,第二種才是對(duì)的。我是按第二種思路剪的,發(fā)現(xiàn)一行能剪16個(gè),能剪7行,也就是一共最多能剪16×7=112個(gè)。但剪完后發(fā)現(xiàn)還剩余一條紙,也就是說這張紙沒有被完全利用,有浪費(fèi)。而第一種方法用長(zhǎng)方形的面積除以正方形的面積,算完后可以看出整張長(zhǎng)方形紙全部被使用了,沒有浪費(fèi)。但實(shí)際在剪的時(shí)候是有浪費(fèi)的,所以第一種方法是錯(cuò)的。
生:我同意你的想法。我們實(shí)際剪的時(shí)候的確是按照第二種方法剪的,結(jié)果也確實(shí)是剩余了一條紙。
生:我明白了!按照大面積除以小面積這種方法算出的答案120個(gè),是一種很理想的剪法,沒有浪費(fèi)紙,而在實(shí)際剪的時(shí)候長(zhǎng)方形紙沒有被完全使用,是有浪費(fèi)的。所以第一種方法是錯(cuò)的。
[思考:提供長(zhǎng)方形紙學(xué)具,關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和學(xué)習(xí)差異,通過畫一畫、剪一剪等實(shí)際操作,能幫助學(xué)生探究思考。學(xué)生原生態(tài)的兩種思路與方法,需要在交流和分享中辨析感悟。學(xué)生認(rèn)為“長(zhǎng)方形的面積里包含有幾個(gè)正方形的面積,就能從長(zhǎng)方形里剪幾個(gè)正方形”,這是理想化的想法,而實(shí)際操作并非如此,如果真要去剪(要使剪出的正方形數(shù)量最多),應(yīng)該是“一行一行”(或“一列一列”)地剪,先看一行(或一列)能剪幾個(gè),再考慮能剪幾行(或幾列)。教學(xué)中要啟發(fā)學(xué)生,解決問題時(shí)既要有數(shù)學(xué)思考,也要聯(lián)系實(shí)際現(xiàn)實(shí)。]
生:可是為什么第一種方法比第二種多剪出了8個(gè)呢?
師:是啊,多剪出了8個(gè)正方形,多在了哪兒呢?
生:實(shí)際剩余的那條紙也是長(zhǎng)方形的,長(zhǎng)是32厘米,寬是1厘米,面積是32×1=32平方厘米,而要剪出的正方形面積是4平方厘米,32÷4=8個(gè),按照第一種方法,剩余的那條長(zhǎng)方形紙里正好能剪出8個(gè)正方形,就是多剪出的那8個(gè)。
生:我和你的想法一樣。第一種方法是把剩余的那條長(zhǎng)方形紙也給剪了,是重新對(duì)拼后剪的。對(duì)拼后,這條長(zhǎng)方形紙就變成了長(zhǎng)16厘米寬2厘米的,剪邊長(zhǎng)是2厘米的正方形正好能剪出8個(gè)。而實(shí)際中是不能這樣對(duì)拼之后再剪的。
生:我是這樣想的。首先直接在原來(lái)的長(zhǎng)方形紙上畫邊長(zhǎng)是1厘米的小方格,一行正好畫出32個(gè),正好畫出15行,一共畫出了32×15=480個(gè)方格。而邊長(zhǎng)是2厘米的正方形面積是2×2=4平方厘米,也就是說一個(gè)這樣的正方形包含4個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的小方格。然后我再把4個(gè)小方格重新畫一組,一組就是一個(gè)要剪的正方形,這樣畫下去,一行正好能畫出16個(gè),畫出7行后還剩下一行32個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的小方格,但這些小方格不能再重組了,就剩下了。所以最后只能剪出16×7=112個(gè)正方形。
生:哦——我明白了!剩下的32個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的小方格面積正好是32個(gè)1平方厘米,也就是32平方厘米,和前面剪剩的那條長(zhǎng)32厘米、寬1厘米的長(zhǎng)方形紙大小正好對(duì)上。這32平方厘米的紙,如果按照前面第一種方法正好還能剪出8個(gè)正方形,但這只是假想的,實(shí)際中根本剪不出來(lái)。
(教室里響起掌聲)
師:非常好!我們不但知道第一種解決方法不正確,而且還通過各種方式找到了錯(cuò)誤背后的根源,這樣的交流很有價(jià)值。
[思考:學(xué)生提出的兩種策略剪出的正方形“為什么差8個(gè),差在哪”,完全在我的預(yù)料之外。沿著學(xué)生的思維拾級(jí)而上,教師不但讓學(xué)生在化錯(cuò)中找到錯(cuò)誤的根源,而且讓他們?cè)俅误w會(huì)到了“用大面積除以小面積”這種方法在實(shí)際操作中并不一定可行。]
出示“問題2”:一張長(zhǎng)32厘米、寬16厘米的長(zhǎng)方形彩紙,最多可以剪成邊長(zhǎng)是2厘米的正方形紙多少?gòu)垼?/p>
師:這道題目能用“大面積除以小面積”的方法解決嗎?
生:我用第二種方法算,一行能剪出32÷2=16個(gè),能剪16÷2=8行,所以正好能剪16×8=128個(gè)。
生:我用第一種方法算,長(zhǎng)方形面積32×16=512平方厘米,小正方形面積是2×2=4平方厘米,512÷4=128個(gè),算出來(lái)也是128個(gè),說明第一種方法也是可行的。
師(疑惑):這里為什么用“大面積除以小面積”的方法也可以解決?
生:因?yàn)槿绻瞄L(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別除以正方形的邊長(zhǎng),我們發(fā)現(xiàn)正好都除盡了,沒有余數(shù)。
師:誰(shuí)聽懂了他的想法,“都除盡了,沒有余數(shù)”是什么意思?
生:32÷2=16,表示一行正好能剪16個(gè)正方形,說明長(zhǎng)方形紙?jiān)陂L(zhǎng)的方向上沒有剩余,16÷2=8,表示能正好剪8行,說明長(zhǎng)方形紙?jiān)趯挼姆较蚣敉?行后也沒有剩余。也就是說這張紙?jiān)诩粽叫螘r(shí)沒有任何浪費(fèi),全部都被用上了。
生:對(duì)!前面討論的用“大面積除以小面積”的方法只有在沒有任何剩余紙的情況下才能適用。
師:非常好!那大家想一想,什么情況下“大面積除以小面積”的思路才適用于解決這類問題?
生:當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都是正方形的邊長(zhǎng)的整倍數(shù)時(shí),前面兩種方法都可以解決。
生:用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別去除以正方形的邊長(zhǎng),正好都能被整除時(shí),“大面積除以小面積”這種方法才適用。
生:我還有一個(gè)發(fā)現(xiàn)。當(dāng)要剪的正方形是面積單位的時(shí)候也屬于這種情況。你看啊,當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)是1厘米時(shí),不管是用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)還是寬去除以邊長(zhǎng),肯定能除盡啊,因?yàn)槿魏我粋€(gè)整數(shù)都能被1整除。
(教室里再次響起掌聲)
師:太棒了!你們對(duì)問題的認(rèn)識(shí)和思維水平又提升了。
[思考:變換題目中的條件信息,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“用大面積除以小面積”的方法也能解決問題。學(xué)生通過認(rèn)知沖突,互動(dòng)交流,思考背后的原因和道理,貫通兩種方法之間的聯(lián)系,再度對(duì)兩種方法進(jìn)行深入對(duì)比、思辨,厘清認(rèn)識(shí)。只有當(dāng)用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別去除以正方形的邊長(zhǎng),正好都能被整除時(shí),“大面積除以小面積”這種方法才適用。最終形成解決此類問題的策略。]
課件出示:淘氣家準(zhǔn)備在廚房的地面上鋪地磚,有以下幾種尺寸的地磚,選擇哪種可以不用損壞地磚而正好鋪滿?需要這種地磚多少塊?
生解答展示(略)。
[思考:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)貴在建立關(guān)聯(lián),建立關(guān)聯(lián)有兩種途徑,一是數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的關(guān)聯(lián),二是數(shù)學(xué)本身與現(xiàn)實(shí)生活的關(guān)聯(lián)。拓展部分設(shè)計(jì)“鋪地磚”旨在加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的關(guān)聯(lián)意識(shí),感受數(shù)學(xué)的有根、有用、有法、有趣。]