周 童，張雅聲，周海俊，漢京濱

(1.航天工程大學(xué) 研究生院， 北京 101400； 2.航天工程大學(xué)， 北京 101400)

隨著軍事高科技的發(fā)展，彈道導(dǎo)彈攻防能力成為了衡量一個(gè)國(guó)家國(guó)防水平高低的重要因素。在導(dǎo)彈早期預(yù)警過(guò)程中，高軌預(yù)警衛(wèi)星和遠(yuǎn)程預(yù)警相控陣?yán)走_(dá)協(xié)同完成探測(cè)任務(wù)[1-2]。對(duì)于洲際彈道導(dǎo)彈這種射程較遠(yuǎn)的導(dǎo)彈來(lái)說(shuō)，雷達(dá)難以布設(shè)在導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)附近，即雷達(dá)波束難以探測(cè)到導(dǎo)彈飛行全過(guò)程，如圖1所示。若無(wú)先驗(yàn)信息的指示，雷達(dá)只能在重點(diǎn)區(qū)域設(shè)置一道較大的搜索屏，但這種探測(cè)模式工作效率低下，嚴(yán)重浪費(fèi)了雷達(dá)資源，因此如何利用高軌預(yù)警衛(wèi)星產(chǎn)生的預(yù)警信息，并將預(yù)警信息轉(zhuǎn)化為雷達(dá)工作所需的引導(dǎo)信息，進(jìn)而提升相控陣?yán)走_(dá)的工作效果具有重要的現(xiàn)實(shí)意義[3-4]。

圖1 雷達(dá)、導(dǎo)彈相對(duì)位置示意圖

文獻(xiàn)[5]采用了一種地平線搜索策略，并提出了一種波位編排方法以盡早截獲目標(biāo)。文獻(xiàn)[6]中雷達(dá)利用分區(qū)搜索的方法以提高導(dǎo)彈的截獲概率。文獻(xiàn)[7-9]研究了相控陣?yán)走_(dá)工作過(guò)程中的波位編排和搜索策略問(wèn)題，但以上學(xué)者是在無(wú)先驗(yàn)預(yù)警信息下開展的研究。在有預(yù)警信息的條件下，文獻(xiàn)[10]研究了低軌預(yù)警衛(wèi)星和精密跟蹤雷達(dá)的交接過(guò)程，并提升出了一種搜索半徑優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[11]在有預(yù)警衛(wèi)星的情況下提出了一種相控陣?yán)走_(dá)工作模式。文獻(xiàn)[12]分析了預(yù)警信息對(duì)雷達(dá)工作性能的提升。文獻(xiàn)[13]初步建立了衛(wèi)星的引導(dǎo)和精密跟蹤雷達(dá)搜索空域大小的關(guān)系。本文在上述研究的基礎(chǔ)上，針對(duì)高軌預(yù)警衛(wèi)星對(duì)遠(yuǎn)程預(yù)警雷達(dá)預(yù)警能力的提升問(wèn)題，研究了高軌預(yù)警衛(wèi)星生成預(yù)警信息，預(yù)警信息轉(zhuǎn)化為雷達(dá)工作所需的引導(dǎo)信息，以及引導(dǎo)信息對(duì)雷達(dá)工作效能指標(biāo)的提升三個(gè)過(guò)程，文章研究?jī)?nèi)容為提高雷達(dá)工作效率、提升雷達(dá)預(yù)警能力提供了依據(jù)。

1 基于協(xié)方差分析描述函數(shù)的彈道誤差傳播

由于高軌預(yù)警衛(wèi)星所處軌道位置較高且星上傳感器精度有限，在對(duì)導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，難以計(jì)算出精確的導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)戰(zhàn)術(shù)參數(shù)，且誤差較大。遠(yuǎn)程預(yù)警雷達(dá)由于地理位置約束在預(yù)警衛(wèi)星完成觀測(cè)后并不能及時(shí)捕獲導(dǎo)彈目標(biāo)，此時(shí)需要對(duì)預(yù)警衛(wèi)星觀測(cè)得到的關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)進(jìn)行誤差傳播分析，生成預(yù)警信息。

在彈道預(yù)報(bào)及誤差傳播方面，目前主要有兩種方法：解析幾何法和數(shù)值積分法[14]。本文利用協(xié)方差分析描述函數(shù)法(CADET)對(duì)導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)推，利用彈道誤差傳播結(jié)果生成高軌預(yù)警衛(wèi)星的預(yù)警信息[15]。

(1)

式(1)為時(shí)變的非線性微分方程，無(wú)法獲得解析解，通常采用數(shù)值積分的方法獲得其數(shù)值解。數(shù)值積分的過(guò)程可以描述為：已知目標(biāo)在k-1時(shí)刻的狀態(tài)xk-1，那么可以通過(guò)積分獲得目標(biāo)在下一時(shí)刻k的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)xk，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下:

(2)

(3)

式(3)中，m為位置矢量r的均值。因此擬線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)矩陣描述函數(shù)N可以表示為：

(4)

由上式推導(dǎo)得到導(dǎo)彈六維狀態(tài)變量和協(xié)方差矩陣的傳播過(guò)程：

(5)

利用協(xié)方差分析描述函數(shù)法，對(duì)導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)進(jìn)行誤差傳播分析，得到了高軌預(yù)警衛(wèi)星產(chǎn)生的預(yù)警信息，從而為后續(xù)遠(yuǎn)程預(yù)警雷達(dá)的工作提供指引。

2 預(yù)警信息與引導(dǎo)信息的轉(zhuǎn)換

遠(yuǎn)程預(yù)警相控陣?yán)走_(dá)在戰(zhàn)備值班時(shí)通常需要預(yù)警指揮中心對(duì)其提供工作所需的引導(dǎo)信息，而通過(guò)彈道誤差傳播結(jié)果獲得的導(dǎo)彈預(yù)警信息是在地心慣性坐標(biāo)系下表示的，若要指引雷達(dá)工作，需將預(yù)警信息轉(zhuǎn)換至雷達(dá)指向坐標(biāo)系，本節(jié)將根據(jù)這個(gè)思路，建立由地心慣性坐標(biāo)系向雷達(dá)指向坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換流程，最終將地心慣性坐標(biāo)系下的導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)換至雷達(dá)指向坐標(biāo)系，并依據(jù)轉(zhuǎn)換而來(lái)的協(xié)方差矩陣生成雷達(dá)工作所需的引導(dǎo)信息。

2.1 坐標(biāo)系及其轉(zhuǎn)換關(guān)系

2.1.1地心慣性坐標(biāo)系到地心固定坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

地心慣性坐標(biāo)系O-xeiyeizei與地心固定坐標(biāo)系O-xefyefzef的原點(diǎn)都為地心，地心慣性坐標(biāo)系的X軸在赤道平面指向平春分點(diǎn)，地心固定坐標(biāo)系的X軸在赤道平面指向格林尼治本初子午線，兩坐標(biāo)系Z軸都垂直赤道平面指向北極，Y軸根據(jù)右手定則確定。地固系為一動(dòng)系隨地球旋轉(zhuǎn)，地慣系則相對(duì)不動(dòng)，二者的轉(zhuǎn)換矩陣由兩坐標(biāo)系X軸的夾角Ωg確定，由此可得兩坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣Mg=Rz(Ωg)。

(6)

由此可得兩坐標(biāo)系下速度轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

(7)

式(7)中，w為地球自轉(zhuǎn)角速度。

2.1.2地心固定坐標(biāo)系到雷達(dá)直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

雷達(dá)直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)在雷達(dá)陣面中心，X軸在當(dāng)?shù)厮矫嬷赶蛘?，Z軸在水平面指向正東，Y軸指向天頂方向。由地固系O-xefyefzef到雷達(dá)直角坐標(biāo)系O-xryrzr的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(8)

由此可得兩坐標(biāo)系下速度轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

(9)

式(8)、(9)中，(xro,yro,zro)為雷達(dá)原點(diǎn)在地心固定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)；(λR,φR)為雷達(dá)原點(diǎn)在地球表面的經(jīng)度和緯度；RY(-π/2)、RX(φR)和RZ(λR-π/2)分別表示繞Y軸旋轉(zhuǎn)-π/2、繞X軸旋轉(zhuǎn)φR和繞Z軸旋轉(zhuǎn)λR-π/2的旋轉(zhuǎn)矩陣。

2.1.3雷達(dá)直角坐標(biāo)系到雷達(dá)指向坐標(biāo)系

雷達(dá)波位編排一般在雷達(dá)指向坐標(biāo)系(xs,ys,zs)下進(jìn)行，以雷達(dá)直角坐標(biāo)系為基礎(chǔ)，雷達(dá)指向坐標(biāo)系的X軸指向目標(biāo)。目標(biāo)在雷達(dá)直角坐標(biāo)系下的方位角為φ，俯仰角為θ。先將雷達(dá)直角坐標(biāo)系繞Z軸旋轉(zhuǎn)方位角φ，之后繞Y軸旋轉(zhuǎn)-θ，即可得到雷達(dá)指向坐標(biāo)系，如圖2所示。

圖2 雷達(dá)指向坐標(biāo)系

轉(zhuǎn)換矩陣可以表示為：

(10)

由此可得速度轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

(11)

2.2 引導(dǎo)信息提取

假設(shè)地心慣性坐標(biāo)系下的協(xié)方差矩陣為Cov(Cei)，根據(jù)以上推導(dǎo)，可以得到雷達(dá)指向坐標(biāo)系下的導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)狀態(tài)協(xié)方差矩陣Cov(Cs)，二者的轉(zhuǎn)換關(guān)系可以表示為：

(12)

其中Jt為整個(gè)轉(zhuǎn)換過(guò)程中的總轉(zhuǎn)換矩陣：

Jt=MsMpMg

(13)

對(duì)遠(yuǎn)程預(yù)警雷達(dá)來(lái)說(shuō)，除了搜索區(qū)域大小，其工作還離不開搜索區(qū)域的俯仰角和方位角信息，在進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換時(shí)，雷達(dá)直角坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所采用的方位角和俯仰角就是雷達(dá)設(shè)屏所需的角度信息。至此，就完成了將高軌預(yù)警衛(wèi)星產(chǎn)生的預(yù)警信息向指揮雷達(dá)工作所需的引導(dǎo)信息的轉(zhuǎn)換。

3 雷達(dá)搜索截獲過(guò)程建模

遠(yuǎn)程預(yù)警相控陣?yán)走_(dá)在日常戰(zhàn)備值班時(shí)若沒有預(yù)警中心提供的引導(dǎo)信息，通常在遠(yuǎn)端建立一道120°的搜索屏，這么設(shè)置的原理是盡可能捕獲到該方向所有可能出現(xiàn)的導(dǎo)彈目標(biāo)，如圖3所示。但若有引導(dǎo)信息存在，雷達(dá)如果繼續(xù)維持大搜索屏進(jìn)行目標(biāo)捕獲，不僅浪費(fèi)雷達(dá)資源，而且還會(huì)降低雷達(dá)工作效能，本節(jié)通過(guò)研究相控陣?yán)走_(dá)在掃描過(guò)程中的工作原理，分析了雷達(dá)在小屏搜索模式下的工作過(guò)程，并從理論分析上證明了該方法的優(yōu)越性。

圖3 雷達(dá)波束搜索原理示意圖

3.1 雷達(dá)搜索距離模型

經(jīng)典的單脈沖雷達(dá)方程可以表示為：

(14)

式(14)中，Pt為雷達(dá)峰值輻射功率；Gt為發(fā)射天線增益；λ為雷達(dá)波長(zhǎng)；σ為目標(biāo)雷達(dá)散射截面積(RCS)；k為波爾茲曼常數(shù)為1.38×10-23(J/K)；T0為噪聲溫度；Bn為接收機(jī)噪聲帶寬；Fn為系統(tǒng)噪聲系數(shù)；L為總的損耗系數(shù)；(S/N)min為最小可檢測(cè)信噪比。

利用Et=Ptτ將雷達(dá)方程改寫為能量形式：

(15)

(16)

由此可見相參累積數(shù)量M對(duì)雷達(dá)有效作用距離有著重要的影響。

在無(wú)引導(dǎo)信息的條件下，對(duì)于預(yù)警雷達(dá)的掃描工作方式而言，雷達(dá)完成對(duì)搜索區(qū)域的搜索時(shí)間是Ts1，期間導(dǎo)彈穿越雷達(dá)波束范圍的時(shí)間是tp，為確保不遺漏目標(biāo)，應(yīng)滿足Ts1

(17)

每個(gè)位置波束的駐留時(shí)間可以通過(guò)PRT·Mp=Ts1/(Ap/a)計(jì)算得到，結(jié)合Ts1=tp=R0·a/vp，可以得到雷達(dá)在一個(gè)位置的脈沖數(shù)量為：

(18)

式(18)中，R0為無(wú)引導(dǎo)條件下雷達(dá)的單脈沖搜索距離；PRT為單個(gè)波束駐留時(shí)間；Ap為雷達(dá)方位角范圍，在無(wú)引導(dǎo)條件下通常設(shè)為120°；vp為導(dǎo)彈穿屏?xí)r垂直于雷達(dá)波束陣面的速度。

在有引導(dǎo)信息的條件下，雷達(dá)不必再設(shè)大屏來(lái)進(jìn)行大范圍警戒，可依據(jù)引導(dǎo)信息的指示縮小搜索屏范圍從而節(jié)省雷達(dá)資源，提升雷達(dá)工作效果。類比無(wú)引導(dǎo)信息下的搜索過(guò)程，設(shè)雷達(dá)在有引導(dǎo)信息時(shí)完成對(duì)搜索區(qū)域的搜索時(shí)間是Ts2，期間導(dǎo)彈穿越雷達(dá)波束范圍的時(shí)間是tw，為確保不遺漏目標(biāo)，應(yīng)滿足Ts2

(19)

每個(gè)位置波束的駐留時(shí)間同樣可以通過(guò)PRT·Mw=Ts2/(Aw/a)計(jì)算得到，得到雷達(dá)在一個(gè)位置的脈沖數(shù)量為：

(20)

PRT和vw與無(wú)引導(dǎo)條件下含義相同，但R和Aw則與無(wú)引導(dǎo)時(shí)含義不同，此時(shí)R和Aw不再是一個(gè)定值，而是一個(gè)與引導(dǎo)信息相關(guān)的變量，由引導(dǎo)信息中誤差半徑的大小決定。如下式所示：

Aw=2·arctan(3r/R)

(21)

式(21)中，r為雷達(dá)指向坐標(biāo)系下確定的雷達(dá)搜索半徑。因此式(20)可以改寫為：

(22)

導(dǎo)彈防御是一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程，目標(biāo)與雷達(dá)的距離時(shí)刻變化，同時(shí)引導(dǎo)信息中誤差半徑大小也在時(shí)刻變化，因此相參累積數(shù)量也不是一個(gè)定值，即雷達(dá)的有效探測(cè)距離也隨時(shí)間變化，為了及時(shí)對(duì)導(dǎo)彈目標(biāo)進(jìn)行捕獲需要實(shí)時(shí)更新預(yù)警引導(dǎo)信息。本文采用以下方法進(jìn)行預(yù)推以保證及時(shí)發(fā)現(xiàn)導(dǎo)彈目標(biāo)。

① 從t時(shí)刻開始預(yù)推，設(shè)此時(shí)雷達(dá)可探測(cè)距離等于目標(biāo)與雷達(dá)距離R=D，其中D可由雷達(dá)指向坐標(biāo)系下導(dǎo)彈的位置得到，根據(jù)雷達(dá)波束距離R和式(22)可以求得當(dāng)前時(shí)刻雷達(dá)相參累積數(shù)量M。

② 利用當(dāng)前時(shí)刻的相參累積數(shù)量M，可根據(jù)式(16)求得相參累積后雷達(dá)的作用距離Rr。若RrD，則目標(biāo)進(jìn)入雷達(dá)威力范圍，雷達(dá)捕獲目標(biāo)。

將求得的不同Mp和Mw帶入到雷達(dá)方程，對(duì)比得到有引導(dǎo)條件下雷達(dá)工作效果的提升效果。

3.2 雷達(dá)截獲概率模型

雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的單次截獲概率可以表示為目標(biāo)的發(fā)現(xiàn)概率和落入概率的乘積，即：

Pj=Pl·Pf

(23)

式(23)中，Pl為落入概率；Pf為發(fā)現(xiàn)概率。

由于將搜索半徑進(jìn)行了放大，落入概率可近似為1。在實(shí)際的捕獲過(guò)程中，雷達(dá)波束會(huì)對(duì)目標(biāo)多次探測(cè)，通過(guò)多次截獲累積的概率為：

P=1-(1-Pj)M

(24)

式(24)中，Pj為單次截獲概率；P為最終截獲概率；M為相參累積數(shù)量。 有引導(dǎo)條件下雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的照射脈沖數(shù)要高于無(wú)引導(dǎo)信息的情況，因此可以提高目標(biāo)的截獲概率。

4 仿真分析

為驗(yàn)證本文算法模型，建立仿真場(chǎng)景，以某型洲際彈道導(dǎo)彈為基礎(chǔ)開展算法驗(yàn)證，仿真參數(shù)設(shè)置如下：

1) 導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)間為2018年6月1日11時(shí)57分00秒，發(fā)射點(diǎn)位置為(40°N，127°E)，落點(diǎn)位置為(42°N，-120°E)，導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)時(shí)間為246s，飛行時(shí)間為1981.6s。

2) 某型遠(yuǎn)程預(yù)警相控陣?yán)走_(dá)位置為(38°N，-118°E)。雷達(dá)工作參數(shù)參照美軍AN/TPY-2雷達(dá)，對(duì)于RCS為0.1 m2的彈頭目標(biāo)雷達(dá)單脈沖探測(cè)距離R0為779 km，波束張角為120°，雷達(dá)波束寬度為0.5°，單波束駐留時(shí)間為1 ms。雷達(dá)采用非相參累積模式工作，目標(biāo)單次檢測(cè)概率為0.8。

3) 高軌預(yù)警衛(wèi)星探測(cè)得到導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)的狀態(tài)均值m0和協(xié)方差p0分別為m0=[-2 977 385.92 m -3 805 908.26 m4 777 372.27 m 4 062.94 m/s -1 720.15 m/s 4 748.21 m/s]，

為了對(duì)比分析引導(dǎo)信息對(duì)雷達(dá)工作效果的提升，分別建立以下仿真場(chǎng)景：

a) 無(wú)引導(dǎo)信息，雷達(dá)采用單脈沖固定搜索距離和波束張角進(jìn)行探測(cè)。

b) 有引導(dǎo)信息，雷達(dá)根據(jù)引導(dǎo)信息實(shí)時(shí)計(jì)算目標(biāo)誤差半徑和相參累積數(shù)量，更新搜索屏張角大小和相參累積后的雷達(dá)作用距離。

由于地球曲率和雷達(dá)位置影響，導(dǎo)彈關(guān)機(jī)后一段時(shí)間并不在雷達(dá)視線平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)計(jì)算將初始預(yù)推時(shí)間取為12時(shí)17分18秒。即t0=1 218 s，仿真步長(zhǎng)Δt=0.1 s。經(jīng)過(guò)場(chǎng)景仿真，結(jié)果如表1所示。

表1 場(chǎng)景仿真結(jié)果

在場(chǎng)景b中，由于預(yù)警引導(dǎo)信息的存在，雷達(dá)在事先預(yù)知導(dǎo)彈位置的情況下縮小了搜索空域，獲得了更高的相參累積數(shù)量，雷達(dá)探測(cè)距離大幅度增加。同時(shí)注意到場(chǎng)景a中雷達(dá)也存在一定的相參累積，但雷達(dá)工作時(shí)無(wú)引導(dǎo)信息，并不能提前預(yù)知目標(biāo)位置，把搜索屏設(shè)在遠(yuǎn)端，不能有效地利用相參累積的能量提高雷達(dá)工作效果；對(duì)于雷達(dá)截獲概率來(lái)說(shuō)，兩種情況下雷達(dá)相參累積數(shù)量都較高，雷達(dá)均能獲得較好的截獲效果。

在場(chǎng)景b里的截獲過(guò)程中，雷達(dá)在1 695.9 s時(shí)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，在此時(shí)間段內(nèi)雷達(dá)搜索區(qū)域半徑變化情況如圖4所示。

圖4 雷達(dá)搜索區(qū)域半徑

t=1 695.9 s時(shí)由CADET彈道誤差傳播方法獲得的導(dǎo)彈預(yù)警信息在地心慣性坐標(biāo)系下可以表示為相應(yīng)的位置誤差橢球，如圖5所示。

圖5 地心慣性坐標(biāo)系預(yù)警信息誤差橢球

根據(jù)文中第2節(jié)內(nèi)容，將地心慣性坐標(biāo)系下的預(yù)警信息轉(zhuǎn)換為雷達(dá)指向坐標(biāo)系下的引導(dǎo)信息，引導(dǎo)信息誤差橢球如圖6所示。

圖6 雷達(dá)指向坐標(biāo)系引導(dǎo)信息誤差橢球

雷達(dá)在指向坐標(biāo)系中依據(jù)引導(dǎo)信息指引對(duì)目標(biāo)進(jìn)行搜索與捕獲，在仿真過(guò)程中是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，將雷達(dá)與目標(biāo)距離D，場(chǎng)景a、b中雷達(dá)的有效作用距離繪制在同一幅圖中，如圖7所示。

圖7 雷達(dá)的有效作用距離示意圖

導(dǎo)彈由遠(yuǎn)及近與雷達(dá)距離逐漸縮小如圖7中的曲線D所示；場(chǎng)景a中雷達(dá)作用距離為雷達(dá)在單脈沖條件下的作用距離，為一定值；場(chǎng)景b中雷達(dá)作用距離隨雷達(dá)相參累積數(shù)量改變發(fā)生變化，略微降低，原因是隨著彈道預(yù)報(bào)的進(jìn)行，導(dǎo)彈誤差管道呈擴(kuò)散趨勢(shì)，雷達(dá)搜索范圍增加。由圖7中曲線交匯情況可知，場(chǎng)景b中雷達(dá)由于相參累積，探測(cè)距離提升明顯，將會(huì)及早發(fā)現(xiàn)導(dǎo)彈目標(biāo)，為后續(xù)預(yù)警攔截提供充足的時(shí)間。

5 結(jié)論

在有預(yù)警引導(dǎo)信息存在的條件下雷達(dá)采用的小搜索屏工作模式將有效提高雷達(dá)探測(cè)距離，提升預(yù)警系統(tǒng)的預(yù)警處置時(shí)間，文章研究?jī)?nèi)容對(duì)于我國(guó)反導(dǎo)系統(tǒng)的建設(shè)具有一定的應(yīng)用價(jià)值。