郭志強,周紹磊

(海軍航空大學(xué)， 山東 煙臺 264001)

近年來，針對可以利用電磁干擾、假目標欺騙和大機動規(guī)避等手段的目標攔截問題引起了制導(dǎo)學(xué)者的重視[1-2]。由于微分對策制導(dǎo)律[3-8]在制導(dǎo)過程中不需對目標的機動規(guī)律作任何假設(shè)，只需考慮目標的機動能力，因而可使目標機動對制導(dǎo)精度的影響降到最小。本文根據(jù)多個攔截彈協(xié)同攔截單個機動目標的對策模型和制導(dǎo)要求，基于微分對策理論提出了一種協(xié)同制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律選用了適用于所有對策參與者的性能指標，不需事先選擇相關(guān)的權(quán)值[9]，避免了對非連續(xù)性能指標泛函的處理。

1 運動模型及其簡化

1.1 非線性運動模型

本文考慮多個攔截彈協(xié)同攔截一個機動目標進行到末制導(dǎo)階段時的情況，并在制導(dǎo)律的推導(dǎo)過程中做出以下假設(shè)：

1) 攔截彈和目標均具有理想動力學(xué)特性，且在運動中均可視為質(zhì)點；

2) 攔截彈和目標的速度均為常值，且其相對運動可在初始視線方向附近線性化；

3) 重力因素可忽略，且攔截彈和目標的制導(dǎo)問題可以在俯仰平面和偏航平面內(nèi)解耦。

m個攔截彈與單個目標的平面相對運動關(guān)系如圖1所示，圖中XI-OI-YI表示慣性坐標系，Mi表示第i(i=1,2,…,m)個攔截彈，T表示目標。V、a和γ分別表示速度、法向加速度和航向角，變量的下標i和T分別相應(yīng)于攔截彈Mi和目標T，LOSi0表示攔截彈Mi與目標之間的初始視線，λi0(λi)表示攔截彈Mi與目標之間的初始視線角(視線角)。

根據(jù)圖1所示的相對運動關(guān)系，可得極坐標下各攔截彈與目標的相對運動方程為

(1)

每個對策參與者各自的動力學(xué)方程可表示為

(2)

式中：xj=[xj1xj2…xjnj]T表示每個對策參與者的內(nèi)部狀態(tài)向量；uj為其控制指令，根據(jù)假設(shè)1)有aj=uj；各自狀態(tài)向量的維數(shù)為dim(xj)=nj。

圖1 攔截彈-目標的平面相對運動關(guān)系

1.2 系統(tǒng)線性化

(3)

(4)

將對策各方所組成系統(tǒng)的狀態(tài)向量表示為

(5)

(6)

將式(6)寫成矢量形式則有

(7)

式中：A、B和C為適當?shù)木仃嚒?/p>

1.3 系統(tǒng)降階

由系統(tǒng)運動方程可以看出，系統(tǒng)維數(shù)

dim(x)=n1+…+nm+nT+2m

(8)

顯然，當系統(tǒng)維數(shù)龐大時對問題進行求解是十分繁瑣的。為了對系統(tǒng)進行降階，通過變換引入新的變量——零控脫靶量Zi(t)

Zi(t)=DiΦ(tfi,t)x(t)

(9)

式中：t為當前時刻，Φ(tfi,t)為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，tfi為攔截彈Mi的終端攔截時刻。矩陣Di稱為狀態(tài)提取矩陣，其形式如下

(10)

攔截彈的終端攔截時間可近似表示為

(11)

在這里本文將對策結(jié)束時間定義為

tf=min{tf1,tf2,…,tfm}

(12)

新引入的零控脫靶量組成的向量可表示為

(13)

將其作為新的系統(tǒng)狀態(tài)向量，則系統(tǒng)維數(shù)可降至dimZ(t)=m。

對零控脫靶量求關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)可得

(14)

1.4 性能指標泛函

微分對策性能指標的選取主要有兩種類型，一種是直接采用零控脫靶量作為性能指標的范數(shù)型微分對策，另一種是采用線性二次型的性能指標。由于采用范數(shù)型微分對策所得到的制導(dǎo)律為“bang-bang”型控制律，不能充分發(fā)揮中間控制能量的最優(yōu)性[10]，本文則根據(jù)零控脫靶量，為每個對策參與者選擇共同的二次型性能指標泛函如下

(15)

其中，αi、βi均為非負系數(shù)。αi表示對攔截彈脫靶量的約束，當αi→∞時表示攔截彈將獲得理想攔截對策(即終端脫靶量為零)；βi表示對攔截彈控制能量的約束。此時攔截彈與目標構(gòu)成了線性二次型微分對策，攔截彈之間采取協(xié)同機動使性能指標J極小(也即使脫靶量極小的同時希望使所消耗的能量最小)，而目標則努力使性能指標J達到極大。

2 制導(dǎo)律設(shè)計

為簡單計，下面將針對兩個攔截彈協(xié)同攔截單個機動目標的情況進行分析，此時對策變?yōu)樽詈唵蔚那樾巍σ蛔诽游⒎謱Σ摺?/p>

性能指標可寫為

(16)

該最優(yōu)問題的哈密頓函數(shù)為

(17)

根據(jù)最優(yōu)控制理論可得系統(tǒng)的伴隨狀態(tài)

λ1(t)=α1Z1(tf);λ2(t)=α2Z2(tf)

(18)

在對策過程中，參與對策的各方采取機動，使得下式成立

(19)

則根據(jù)控制方程

(20)

可得三者的開環(huán)最優(yōu)控制為

(21)

又由式(9)、式(10)可得零控脫靶量及其導(dǎo)數(shù)分別為

(22)

(23)

將式(23)代入式(21)可得

(24)

將式(24)代入式(23)，并分別從t到tf積分可得兩個耦合的方程，解之可得

(25)

將式(25)代入式(24)，可得相應(yīng)的閉環(huán)最優(yōu)解為

(26)

其中

(27)

式中：Δ=(1-a)(1-d)-bc。容易看出，該微分對策問題的鞍點存在的充分條件為Δ≠0。

對于式(22)，根據(jù)小偏差假設(shè)則有

(28)

對上式求關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)后再代入式(22)可得

(29)

至此，式(26)所示的協(xié)同微分對策制導(dǎo)律設(shè)計完畢。本文通過為每個對策參與者選取共同的性能指標，有效避免了對分段連續(xù)性能指標泛函的處理，無需在制導(dǎo)律的初始階段選取較多的權(quán)值，得出了適合在線應(yīng)用的制導(dǎo)律。

3 仿真分析

本節(jié)針對兩個攔截彈迎擊攔截單個大機動目標的情況對所設(shè)計的制導(dǎo)律進行仿真分析。仿真參數(shù)值如表1所示。

表1 仿真參數(shù)值

兩枚攔截彈采用本文提出的制導(dǎo)律協(xié)同攔截單個目標，仿真過程的有關(guān)系數(shù)取為α1=α2=108，β1=β2=2，仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。

由圖2和圖3表明，利用本文所設(shè)計的制導(dǎo)律，攔截彈M2在攔截彈M1的協(xié)同配合下首先命中目標。由于本文及文獻[10]的制導(dǎo)方法均非時間上的協(xié)同制導(dǎo)，均未對制導(dǎo)時間做約束，故在對策結(jié)束時攔截彈M1與目標之間尚有一定距離，但這一距離并非其最終的脫靶量。

圖4表明，當攔截彈和目標均采用最優(yōu)機動策略時，攔截彈可以以較低的加速度需求完成攔截任務(wù)(a1max≈47 m/s2，a2max≈58 m/s2，aTmax≈206 m/s2)，這說明通過采用本文制導(dǎo)律，攔截彈以較低的機動通過協(xié)同配合完成對高機動目標的攔截。

下面在表1給出的參數(shù)條件下，對兩枚攔截彈采用文獻[10]提出的CLQDG協(xié)同制導(dǎo)律的情況進行分析。仿真中CLQDG方法的相關(guān)參數(shù)選取為α=105，αE=105，該方法中權(quán)重系數(shù)k的取值為0.5，其結(jié)果如圖5-圖7所示。

圖5和圖6表明，在CLQDG方法中攔截彈M2率先命中目標。圖7為采用CLQDG制導(dǎo)律時攔截彈和目標的控制指令(a1max≈157 m/s2，a2max≈151 m/s2，aTmax≈295 m/s2)。

圖2 攔截彈與目標的運動軌跡

圖3 攔截彈與目標的運動軌跡(放大圖)

圖4 攔截彈與目標的控制指令

圖5 攔截彈與目標的運動軌跡-CLQDG

圖6 攔截彈與目標的運動軌跡-CLQDG (放大圖)

由以上仿真結(jié)果可以看出，采用兩種制導(dǎo)方法均能對目標進行攔截，但本文所提方法不涉及對分段函數(shù)的處理，而且攔截彈完成攔截所需的加速度需求減小，從而降低了對攔截彈的機動性要求，實現(xiàn)了對高機動目標的攔截。

圖7 攔截彈與目標的控制指令-CLQDG

4 結(jié)論

考慮到當追逃雙方分別采用不同的性能指標時，要涉及到分段函數(shù)的處理以及相關(guān)參數(shù)的事先選取，為了避免這些問題，本文基于微分對策理論，選取了適用于所有對策參與者的性能指標，進一步推導(dǎo)出對策雙方的閉環(huán)最優(yōu)制導(dǎo)策略。在對策過程中，各攔截彈在追求自身脫靶量最小的同時，采取協(xié)同機動以減小其他攔截彈的脫靶量，通過仿真分析表明了本文所提制導(dǎo)律的有效性。