楊 洋, 薛春艷
(北京信息科技大學 理學院, 北京 100129)
考察如下Monge-Ampère系統(tǒng):
(1)
在單位球B={x∈RN:x<1}中非平凡徑向凸解的存在性。其中,D2ui(i=1,2,…,n)是ui的Hessian矩陣,即
另外,fi(i=1,2,…,n)滿足下列條件
H1:fi∈C[R+,R+]且fi(0)=0.其中,R+=[0,+∞)。
當n=2時,Monge-Ampère系統(tǒng)(1)退化為Zhang和Qi在文獻[1]中研究的問題。作者運用不動點指數(shù)理論證明了該問題解的存在性。與文獻[1]相比,本文考慮系統(tǒng)(1)中非線性項為一般函數(shù)時的情況,并證明了系統(tǒng)(1)非平凡徑向凸解的存在性。
考慮到生產(chǎn)和科技發(fā)展的需要,本文主要研究一類完全非線性偏微分方程----Monge-Ampère方程。眾所周知,Monge-Ampère方程是在18世紀由2位法國數(shù)學家Monge和Ampère建立的。自此之后,Monge-Ampère方程一直是非線性偏微分方程研究中的熱點,在流體力學、大氣物理學、光學等許多領域中起著非常重要的作用。同時,國內(nèi)外的學者們將它廣泛應用于最優(yōu)運輸、仿射幾何等問題中。已取得了很多好的結(jié)果[2-5]。
例如,Zhang和Wang在文獻[4]中運用移動平面法研究了下列Monge-Ampère方程
解的存在性。其中,Ω是一個有界光滑的嚴格凸區(qū)域。
在文獻[5]中,Kutev利用Schauder’s不動點定理證明了下列Monge-Ampère方程
嚴格凸解的存在性。其中,B={x
在以往文獻中,作者大多研究非線性項是冪函數(shù)或是指數(shù)函數(shù)的Monge-Ampère方程。目前為止,對非線性項為一般函數(shù)的Monge-Ampère方程的研究并不多見[6],尤其對非線性項為一般函數(shù)的Monge-Ampère系統(tǒng)的研究更少[7-8]。本文致力于解決在這種情況下的Monge-Ampère系統(tǒng)非平凡徑向凸解的存在性問題,應用的主要工具是不動點指數(shù)理論。
在本節(jié)中,主要介紹一些基本概念和引理。
(2)
根據(jù)式(2),可將系統(tǒng)(1)化為下列系統(tǒng)
(3)
其中,N≥2,i=1,2,…,n。
令-ui(r)=vi(t),則系統(tǒng)(3)可退化為
(4)
接下來,主要討論系統(tǒng)(4)正解的存在性。
注:由上面的變換可知,Monge-Ampère系統(tǒng)(1)等價于微分系統(tǒng)(4)。因此,若v=(v1,v2,…,vn)是系統(tǒng)(4)的解,則u=(-v1,-v2,…,-vn)=(u1,u2,…,un)是系統(tǒng)(1)的解;若u=(u1,u2,…,un)是系統(tǒng)(1)的解,則v=(-u1,-u2,…,-un)=(v1,v2,…,vn)是系統(tǒng)(4)的解。
顯然,X是實Banach空間。另外,定義X1=C1[0,1]。
為了應用不動點指數(shù)理論,在Banach空間X中構(gòu)造錐K
Kr=vi∈X:vi 對任意vi∈K,定義算子Ti:K→X(i=1,2,…,n) 定義T:K→X為復合算子且T=T1T2…Tn-1Tn。由下面的引理2可知,T1,T2,…,Tn-1,Tn,T都全連續(xù)。通過計算可得,當(v1,v2,…,vn)∈K{0}×…×K{0}且滿足v1=T1v2,v2=T2v3,…,vn=Tnv1時,(v1,v2,…,vn)∈X1×…×X1是系統(tǒng)(4)的解。因此,若v1∈K{0}是T的一個不動點,定義v1=T1v2,v2=T2v3,…,vn=Tnv1,則有v2,…,vn∈K{0},那么(v1,v2,…,vn)∈X1×…×X1是系統(tǒng)(4)的解。反之,若(v1,v2,…,vn)∈X1×…×X1是系統(tǒng)(4)的解,則v1是算子T在錐K上的一個非平凡不動點。因此本文主要任務是找T的一個不動點。 vi(t)≥min{t,1-t}vi,t∈J。 并且,當vi(0)=vi時,有 vi(t)≥(1-t)vi,t∈J。 證明 類似于文獻[3]中引理2.2的證明。 引理2 假設條件(H1)成立,則T(K)?K且T:K→K是全連續(xù)算子。 證明 觀察算子的表達式可知,每一個算子都是[0,1]上的非負凹C1-函數(shù)。由引理1可知,上述的n個算子是從K映射到K的。運用Arzel-Ascoli定理,可得每一個算子都是全連續(xù)算子。因此,復合算子T也是從K映射到K的全連續(xù)算子。 為了證明定理1,給出下列引理,見文獻[11]。 1) 如果Ax≥x,?x∈?Kr那么i(A,Kr,K)=0; 2) 如果Ax≤x,?x∈?Kr那么i(A,Kr,K)=1。 在這一節(jié)中,運用引理3討論系統(tǒng)(1)非平凡徑向凸解的存在性。 引入記號如下: 定理1 假設條件(H1)成立,則下列結(jié)論成立。 1) 若fi0=0且fi∞=∞,則系統(tǒng)(1)至少有一個非平凡徑向凸解; 2) 若fi0=∞且fi∞=0,則系統(tǒng)(1)至少有一個非平凡徑向凸解。 證明 因為當條件ⅱ)成立時的證明,和條件ⅰ)成立時的證明方法類似,所以僅證明當條件i)成立時結(jié)論成立。 如果fi0=0,則存在0<ε<1和0 fi(vi+1)≤ε(vi+1)N,0≤vi+1(t)≤r,?t∈[0,1] 因此,對任意vi+1∈?Kr,得 同理可得 則有, 由T算子的定義可知, T(v1)=T1T2…Tn(v1)≤εv1, 意味著 T(v1)≤εv1≤v1,?v1∈?Kr。 (5) 另一方面,如果fi∞=∞,則存在η>0和R>r>0使得 fi(vi+1)≥η(vi+1)N,vi+1(t)≥R,?t∈[0,1] 其中,η滿足 ηγNξN(1-ξ)N>1, vi+1(t)≥γvi+1=γο=R,t∈[0,1] 進而,得 同理可得 則可知 由算子定義可知, T(v1)=T1T2…Tn(v1)≥ηγNξN(1-ξ)Nv1, 意味著 T(v1)≥ηγNξN(1-ξ)Nv1≥v1,?v1∈?KR。 (6) 由式子(5)和(6),根據(jù)引理3可知 i(T,KR,K)=0,i(T,Kr,K)=1。 由不動點指數(shù)的可加性,得 (7) 綜上所述,本文利用不動點指數(shù)理論研究一類Monge-Ampère系統(tǒng),并證明了非線性項為一般函數(shù)的Monge-Ampère系統(tǒng)非平凡徑向凸解的存在性。 主要從2個方面推廣了Zhang和Qi在文獻[1]中研究的問題: 1) 由兩個方程的Monge-Ampère方程組推廣到n個方程的Monge-Ampère系統(tǒng)。 2) 將f1,f2為冪函數(shù)推廣到f1,f2,…,fn為一般函數(shù)。2 主要結(jié)果
3 結(jié) 語