亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        一類Monge-Ampère系統(tǒng)非平凡徑向凸解的存在性

        2019-07-04 06:19:00薛春艷
        關鍵詞:項為不動點算子

        楊 洋, 薛春艷

        (北京信息科技大學 理學院, 北京 100129)

        考察如下Monge-Ampère系統(tǒng):

        (1)

        在單位球B={x∈RN:x<1}中非平凡徑向凸解的存在性。其中,D2ui(i=1,2,…,n)是ui的Hessian矩陣,即

        另外,fi(i=1,2,…,n)滿足下列條件

        H1:fi∈C[R+,R+]且fi(0)=0.其中,R+=[0,+∞)。

        當n=2時,Monge-Ampère系統(tǒng)(1)退化為Zhang和Qi在文獻[1]中研究的問題。作者運用不動點指數(shù)理論證明了該問題解的存在性。與文獻[1]相比,本文考慮系統(tǒng)(1)中非線性項為一般函數(shù)時的情況,并證明了系統(tǒng)(1)非平凡徑向凸解的存在性。

        考慮到生產(chǎn)和科技發(fā)展的需要,本文主要研究一類完全非線性偏微分方程----Monge-Ampère方程。眾所周知,Monge-Ampère方程是在18世紀由2位法國數(shù)學家Monge和Ampère建立的。自此之后,Monge-Ampère方程一直是非線性偏微分方程研究中的熱點,在流體力學、大氣物理學、光學等許多領域中起著非常重要的作用。同時,國內(nèi)外的學者們將它廣泛應用于最優(yōu)運輸、仿射幾何等問題中。已取得了很多好的結(jié)果[2-5]。

        例如,Zhang和Wang在文獻[4]中運用移動平面法研究了下列Monge-Ampère方程

        解的存在性。其中,Ω是一個有界光滑的嚴格凸區(qū)域。

        在文獻[5]中,Kutev利用Schauder’s不動點定理證明了下列Monge-Ampère方程

        嚴格凸解的存在性。其中,B={x0。

        在以往文獻中,作者大多研究非線性項是冪函數(shù)或是指數(shù)函數(shù)的Monge-Ampère方程。目前為止,對非線性項為一般函數(shù)的Monge-Ampère方程的研究并不多見[6],尤其對非線性項為一般函數(shù)的Monge-Ampère系統(tǒng)的研究更少[7-8]。本文致力于解決在這種情況下的Monge-Ampère系統(tǒng)非平凡徑向凸解的存在性問題,應用的主要工具是不動點指數(shù)理論。

        1 預備知識

        在本節(jié)中,主要介紹一些基本概念和引理。

        (2)

        根據(jù)式(2),可將系統(tǒng)(1)化為下列系統(tǒng)

        (3)

        其中,N≥2,i=1,2,…,n。

        令-ui(r)=vi(t),則系統(tǒng)(3)可退化為

        (4)

        接下來,主要討論系統(tǒng)(4)正解的存在性。

        注:由上面的變換可知,Monge-Ampère系統(tǒng)(1)等價于微分系統(tǒng)(4)。因此,若v=(v1,v2,…,vn)是系統(tǒng)(4)的解,則u=(-v1,-v2,…,-vn)=(u1,u2,…,un)是系統(tǒng)(1)的解;若u=(u1,u2,…,un)是系統(tǒng)(1)的解,則v=(-u1,-u2,…,-un)=(v1,v2,…,vn)是系統(tǒng)(4)的解。

        顯然,X是實Banach空間。另外,定義X1=C1[0,1]。

        為了應用不動點指數(shù)理論,在Banach空間X中構(gòu)造錐K

        Kr=vi∈X:vi

        對任意vi∈K,定義算子Ti:K→X(i=1,2,…,n)

        定義T:K→X為復合算子且T=T1T2…Tn-1Tn。由下面的引理2可知,T1,T2,…,Tn-1,Tn,T都全連續(xù)。通過計算可得,當(v1,v2,…,vn)∈K{0}×…×K{0}且滿足v1=T1v2,v2=T2v3,…,vn=Tnv1時,(v1,v2,…,vn)∈X1×…×X1是系統(tǒng)(4)的解。因此,若v1∈K{0}是T的一個不動點,定義v1=T1v2,v2=T2v3,…,vn=Tnv1,則有v2,…,vn∈K{0},那么(v1,v2,…,vn)∈X1×…×X1是系統(tǒng)(4)的解。反之,若(v1,v2,…,vn)∈X1×…×X1是系統(tǒng)(4)的解,則v1是算子T在錐K上的一個非平凡不動點。因此本文主要任務是找T的一個不動點。

        vi(t)≥min{t,1-t}vi,t∈J。

        并且,當vi(0)=vi時,有

        vi(t)≥(1-t)vi,t∈J。

        證明 類似于文獻[3]中引理2.2的證明。

        引理2 假設條件(H1)成立,則T(K)?K且T:K→K是全連續(xù)算子。

        證明 觀察算子的表達式可知,每一個算子都是[0,1]上的非負凹C1-函數(shù)。由引理1可知,上述的n個算子是從K映射到K的。運用Arzel-Ascoli定理,可得每一個算子都是全連續(xù)算子。因此,復合算子T也是從K映射到K的全連續(xù)算子。

        為了證明定理1,給出下列引理,見文獻[11]。

        1) 如果Ax≥x,?x∈?Kr那么i(A,Kr,K)=0;

        2) 如果Ax≤x,?x∈?Kr那么i(A,Kr,K)=1。

        2 主要結(jié)果

        在這一節(jié)中,運用引理3討論系統(tǒng)(1)非平凡徑向凸解的存在性。

        引入記號如下:

        定理1 假設條件(H1)成立,則下列結(jié)論成立。

        1) 若fi0=0且fi∞=∞,則系統(tǒng)(1)至少有一個非平凡徑向凸解;

        2) 若fi0=∞且fi∞=0,則系統(tǒng)(1)至少有一個非平凡徑向凸解。

        證明 因為當條件ⅱ)成立時的證明,和條件ⅰ)成立時的證明方法類似,所以僅證明當條件i)成立時結(jié)論成立。

        如果fi0=0,則存在0<ε<1和0

        fi(vi+1)≤ε(vi+1)N,0≤vi+1(t)≤r,?t∈[0,1]

        因此,對任意vi+1∈?Kr,得

        同理可得

        則有,

        由T算子的定義可知,

        T(v1)=T1T2…Tn(v1)≤εv1,

        意味著

        T(v1)≤εv1≤v1,?v1∈?Kr。

        (5)

        另一方面,如果fi∞=∞,則存在η>0和R>r>0使得

        fi(vi+1)≥η(vi+1)N,vi+1(t)≥R,?t∈[0,1]

        其中,η滿足

        ηγNξN(1-ξ)N>1,

        vi+1(t)≥γvi+1=γο=R,t∈[0,1]

        進而,得

        同理可得

        則可知

        由算子定義可知,

        T(v1)=T1T2…Tn(v1)≥ηγNξN(1-ξ)Nv1,

        意味著

        T(v1)≥ηγNξN(1-ξ)Nv1≥v1,?v1∈?KR。

        (6)

        由式子(5)和(6),根據(jù)引理3可知

        i(T,KR,K)=0,i(T,Kr,K)=1。

        由不動點指數(shù)的可加性,得

        (7)

        3 結(jié) 語

        綜上所述,本文利用不動點指數(shù)理論研究一類Monge-Ampère系統(tǒng),并證明了非線性項為一般函數(shù)的Monge-Ampère系統(tǒng)非平凡徑向凸解的存在性。

        主要從2個方面推廣了Zhang和Qi在文獻[1]中研究的問題:

        1) 由兩個方程的Monge-Ampère方程組推廣到n個方程的Monge-Ampère系統(tǒng)。

        2) 將f1,f2為冪函數(shù)推廣到f1,f2,…,fn為一般函數(shù)。

        猜你喜歡
        項為不動點算子
        勾股數(shù)的新發(fā)現(xiàn)
        擬微分算子在Hp(ω)上的有界性
        一類抽象二元非線性算子的不動點的存在性與唯一性
        各向異性次Laplace算子和擬p-次Laplace算子的Picone恒等式及其應用
        活用“不動點”解決幾類數(shù)學問題
        一類Markov模算子半群與相應的算子值Dirichlet型刻畫
        完形樂園趣多多
        完形樂園趣多多
        完形樂園趣多多
        Roper-Suffridge延拓算子與Loewner鏈
        人妖国产视频一区二区| 精品国产一区二区三区19| 国产精品综合久久久久久久免费| 色婷婷久久99综合精品jk白丝| 久久免费亚洲免费视频| 在线看片免费人成视频电影| 久久久久国产精品免费免费搜索| 骚片av蜜桃精品一区| 我的美艳丝袜美腿情缘| 国产精品久久国产精品99 gif| 天天爽夜夜爽夜夜爽| 日本a在线免费观看| 亚洲综合一区二区三区久久| 激情内射亚洲一区二区三区| 欧美日韩亚洲国产精品| 亚洲精品自拍视频在线观看 | 少妇高潮精品正在线播放| 日本欧美大码a在线观看| 亚洲精品中文字幕视频色| 欧美成人猛交69| 1000部拍拍拍18勿入免费视频下载| 国产爆乳美女娇喘呻吟久久| 丝袜美腿丝袜美腿丝袜美腿丝袜| 国产肉体xxxx裸体784大胆| 伊人久久网国产伊人| 免费啪啪av人妻一区二区| 一二三四区中文字幕在线| 男女下面进入的视频| 亚洲欧洲日韩另类自拍| 日本一区二区三区经典视频| 亚洲av无码乱码在线观看裸奔 | a级毛片无码久久精品免费| 天天综合天天色| 亚洲黄色大片在线观看| 18禁免费无码无遮挡不卡网站| 国产女女精品视频久热视频| 亚洲日韩成人无码不卡网站| 蜜桃视频在线观看网址| 伊人久久久精品区aaa片| 欧美色资源| 精品综合久久88少妇激情|