張榮培, 王 語

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)在生物、化學(xué)、物理和工程中的圖案形成中有著廣泛的應(yīng)用。如生物學(xué)[1-3]、物理學(xué)[4-5]、神經(jīng)科學(xué)[6]、光學(xué)[7]、化學(xué)[8]和地質(zhì)學(xué)[9]等。近幾十年來,分?jǐn)?shù)反應(yīng)擴(kuò)散模型因其在各個(gè)科學(xué)和工程領(lǐng)域的應(yīng)用也引起了人們的廣泛關(guān)注和興趣[10]。

從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看,分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)可以用一個(gè)偏微分方程組描述:

(1)

(n·)

對(duì)于大多數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程,沒有一種普遍有效的方法來求精確解。為此,需要求解分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解。Li和Xu[11]考慮了時(shí)空分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程弱解的譜方法。Khader等[12-13]選擇了空間導(dǎo)數(shù)為Caputo導(dǎo)數(shù)的Chebyshev和Legendre Galerkin方法對(duì)分?jǐn)?shù)階對(duì)流-彌散方程進(jìn)行離散,這與Li和Xu的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的結(jié)果相似[14]。Hanert[15]還提出了求解分?jǐn)?shù)階Riemann-Louiville對(duì)流-擴(kuò)散方程的Chebyshev譜方法。最近,Zayernouri和Karniadakis[16]提出一種基于分?jǐn)?shù)階拉格朗日插值的配置方法來求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程。

本文使用傅里葉譜方法作為一種有效的替代方法求解分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散模型。傅里葉譜方法是求解矩形區(qū)域的分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散問題的一種有效方法,具有譜收斂性。在時(shí)間離散方面,采用指數(shù)時(shí)間差分方法,提高了穩(wěn)定性和計(jì)算效率。

1 分?jǐn)?shù)階Laplacian的譜分解

對(duì)于任意u∈Uα,分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子可以定義為

2 數(shù)值方法

將二維計(jì)算域Ω=[a,b]×[c,d]離散為張量積網(wǎng)格。網(wǎng)格點(diǎn)為(xj,yk):xj=a+jΔx-Δx/2,yk=c+kΔy-Δy/2,(j=0,1,…,M-1,k=0,1,…,N-1)。空間網(wǎng)格尺寸為hx=(b-a)/M,hy=(d-c)/N?？紤]有限個(gè)正交三角特征函數(shù):

(xj,yk)處的解u可以由截?cái)嗉?jí)數(shù)表示為

再利用逆離散余弦變換得

(2)

將式(2)帶入式(1)中,可得

(3)

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

考慮矩形Ω=[-1,1]2上的分?jǐn)?shù)階Gierer-Meinhardt模型:

模型采用齊次Neumann邊界條件。令ε=0.04,η=0.1,κ=0.016 2,初始條件選取

(a) α2=1.7; (b) α2=1.8; (c) α2=1.9; (d) α2=2.0圖1 當(dāng)κ=0.016 2,α1=2時(shí)的圖靈斑圖Fig.1 Turing pattern for κ=0.016 2,α1=2

由圖1可知,當(dāng)α2=2,1.9和1.8時(shí),出現(xiàn)了圖靈不穩(wěn)定性。當(dāng)α2=1.7時(shí),系統(tǒng)將趨于穩(wěn)定。在圖1繪制了不同的α2在不同時(shí)間的解。如圖1(a)所示,解u接近穩(wěn)態(tài)。通過增加α2,可以觀察到穩(wěn)態(tài)斷裂和不同的斑圖。圖1(b)中,即當(dāng)α2=1.8時(shí)可以清晰觀察到穩(wěn)態(tài)斷裂時(shí)的條紋圖案。繼續(xù)增加α2,如圖1(c)和圖1(d)所示,α2變?yōu)?.9和2.0,圖靈斑點(diǎn)圖案的鏈簇不斷增加。隨著模擬時(shí)間增加到700,得到了純圖靈斑圖。

4 結(jié) 語

本文分析了分?jǐn)?shù)圖靈模式的數(shù)學(xué)機(jī)制。為了發(fā)展一種高效、穩(wěn)定的數(shù)值方法,結(jié)合了空間離散的傅里葉譜方法和指數(shù)時(shí)間差分方法。離散結(jié)果具有較高的精度和較少的計(jì)算工作量。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,該分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程比經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散方程更能充分地展現(xiàn)圖靈模斑圖的各種特征。該方法為分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程的不同邊界條件的計(jì)算提供了一種新的建模方法。