董曉霞

立體幾何中的證明線面平行、線線垂直、線面垂直，以及幾何體的外接球問題是經典題型，也是高考的熱點，本文總結了一些方法思路，希望對同學們的學習能有所幫助。

一、證明線面平行

證明方法：

（1）利用線面平行的判定定理證線面平行：

（2）利用面面平行的性質定理證線面平行：

（3）利用空間向量進行證明。

例1 如圖1，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分別是線段BE，DC的中點。求證：GF//平面ADE。

證法一：如圖2，取AE的中點H，連接HG，HD。又G是BE的中點，所以GH//AB，且.GH=-AB。因為F是CD的中點，所以DF=1/2CD。由四邊形ABCD是矩形得AB//CD，AB=CD，所以GH//DF，且GH=DF，HGFD是平行四邊形，所以（DHC平面ADE，GF≠平GF//平面ADE。

證法二：如圖3，取AB的中點M，連接MG，MF。又G是BE的中點，可知GM//AE。又AEC平面ADE，GMC平面ADE，所以GM//平面ADE。在矩形ABCD中，由M、F分別是AB、CD的中點，得MF//AD。又因為ADC平面ADE，MF≠平面ADE，所以MF//平面ADE。又因為GM∩MF=M，GMC平面GMF，MFC平面GMF，所以平面GMF//平面ADE。因為GFC平面GMF，所以GF//平面ADE。

點評：直線和平面平行首先是利用其判定定理，或者利用面面平行的性質來證，注意線線平行、線面平行、面面平行的轉化;有中點時尋找中位線，利用三角形的中位線平行于底邊、平行四邊形的對邊平行等有關性質。

例2 如圖4，在四棱柱ABCD-A.B，C，D，中，側棱A.A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA=2，AD=CD=√5，M和N分別為B，C和D，D的中點。求證：MN//平面ABCD。

解析：如圖5，以A為原點建立空間直角坐標系，依題意可得A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，-2，0）。

因為M，N分別為B，C和D，D的中點，所以

依題意可得n=（0，0，1）為平面ABCD的一個法向量，因為MN=（0，，0），所以MN·n=0。又因為直線MNt平面ABCD，所以MN//平面ABCD。

點評：當直線的方向向量與平面的法向量垂直時，直線和平面平行，但要注意指出直線不在平面內。

二、證線線垂直、線面垂直

證明方法：

（1）證線線垂直：①用勾股定理;②轉化為證線面垂直。

（2）證線面垂直：①用線面垂直的判定定理：aCanbCana∩b=P，l⊥anl⊥b=l⊥a;②用面面垂直的性質定理：a⊥β，a∩β=b，aCana⊥b=→a⊥β。

（3）證面面垂直：①用面面垂直的判定定理：l⊥anlCβ→a⊥β;②用定義法，證兩平面所成二面角的平面角為直角。證明時注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的轉化。

例3 如圖6，在四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，ABD=2CBD，AB=BD證明：平面ACD∠平面ABC。

解析：由題設可得△ABD≌OCBD，從而AD=DC。因為△ACD是直角三角形，所以∠_ADC=90°，取AC的中點0，連接BO，DO，則DO⊥AC，DO=0C。因為△ABC是正三角形，所以BO⊥AC，所以∠DOB為二面角D-AC-B的平面角。在△AOB中，BO*+AO2=AB，又AB=BD，所以BO2+DO2=BO2+AO"=AB2=BD"。所以∠DOB=90°，所以平面ACD⊥平面ABC。

點評：本題證線線垂直時利用勾股定理，

證面面垂直時通過證兩平面的二面角為直二面角，利用了定義法證明。

三、求空間角

空間角主要有：異面直線所成的角、直線與平面所成的角、兩平面所成的角。

（1）求異面直線所成的角，一是幾何法，通常作平行線找出異面直線所成的角，在三角形中解出該角，注意異面直線所成的角的取值范圍是（o，2_，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角;二是坐標法，需求出它們的方向向量anb的夾角，則cosθ=|cos|。

（2）求直線與平面所成的角，一是尋求過直線上一點作平面的垂線，再作出直線與平面所成的角;二是轉化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角，可先求出平面a的法向量n與直線l的方向向量a的夾角，則sinθ=|cos|。

（3）求二面角a-l-β的大小θ，一是轉化為兩平面法向量的夾角，先求出兩平面的法向量n1，nz所成的角，則θ=或π一;二是用幾何法，作出二面角的平面角，在三角形中求平面角的大小。

（4）利用法向量求解空間角在于四個關鍵步驟：

第一步，建立適當的空間直角坐標系;

第二步，準確求解相關點的坐標;

第三步，求出平面的法向量;

第四步，求夾角。

例4 如圖7，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M，N分別是AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是____。

解析：如圖8，連接DN，取Dn的中點P，連接PM，PC，則可知∠PMC（或其補角）即為異面直線AN，CM所成的角。易得PM=。AN=

例5 如圖9，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。