☉江蘇省蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學 陳 明

最近讀到福建師范大學數(shù)學與信息學院李祎教授的《別被理念綁架教學》（見參考文獻［1］），文中指出：“我們?nèi)粘Ｋ^的數(shù)學合作學習，其實是數(shù)學交流，數(shù)學交流僅僅是數(shù)學合作學習中的一個環(huán)節(jié)，并非數(shù)學合作學習的全部．”合作學習是指“學生在小組或團隊中為了完成共同的任務(wù)，有明確的責任分工的互助性學習”．近年來，筆者在“合作學習”的課題研究過程中，對李教授的上述觀點深有感觸、引發(fā)共鳴．本文將結(jié)合課題研究實踐過程中積累的一些案例，例談合作學習要注意從“數(shù)學交流”走向“互助學習”．

一、“互助學習”的案例與解讀

案例1：探究兩個三角形全等的條件

三角形全等的判定方法是非常重要的幾何知識，義務(wù)教育課程標準將“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”作為基本事實給出，教學時如何組織這些判定方法的情境創(chuàng)設(shè)考驗著不少教師的教學基本功．經(jīng)過多次實踐，筆者覺得適時運用合作學習、互助學習能有效提升課堂教學效率．以下整理筆者關(guān)于“邊邊邊”判定方法的教學活動：

教學活動：同學們剛剛通過作圖確認了在兩個三角形中，只給定一個元素相等，或兩個元素分別相等，兩個三角形不一定全等，大家畫出的三角形“各不相同”，下面我們給定三個元素再來作圖.比如，第一小組的同學作三邊長分別是2cm、3cm、4cm的三角形，第二小組的同學作三邊長分別是3cm、4cm、5cm的三角形，第三小組的同學作三邊長分別是3cm、3cm、4cm的三角形，第四小組的同學作三邊長分別是1.5cm、2.5cm、3cm的三角形，在各組作好三角形之后，由各小組組長檢查對比本組同學所畫三角形的形狀與大小，可以確認小組內(nèi)作出的三角形都是全等的．從而給出基本事實：三邊分別相等的兩個三角形全等．簡記為“邊邊邊”或“SSS”．

說明：上述教學活動充分發(fā)揮了分組學習、合作學習的優(yōu)勢，讓不同小組做不同的嘗試，用不同的邊長畫圖，分別確認，這樣可以有效節(jié)約課堂教學時間，因為每個小組的作圖任務(wù)的思維含量、數(shù)學技能的層級是一致的，所以這樣的分組合作學習就是有效的．事實上，在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究“邊角邊”“角邊角”判定方法時，也可采用同類的教學方法，開展小組合作學習，這也就從簡單交流走向了互助學習．另外，在圓周角性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)與證明過程中，也可安排小組合作學習，讓不同小組對同弧所對圓周角展開探究，小組內(nèi)先交流各自發(fā)現(xiàn)，然后組織大組交流展示，最終確認圓周角的性質(zhì)．

案例2：探索發(fā)現(xiàn)一元二次方程“根與系數(shù)的關(guān)系”

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）雖然是選學內(nèi)容，但由于在高中階段有著廣泛的運用，而目前初中生有大多數(shù)都將升入高中學習，所以在平時教學中，教師都不會淡化這個知識點的教學．那么，如何引出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系呢？筆者有如下的實踐：

教學活動：先將學生分成4個小組，小組長從教材或近期作業(yè)中選出4道左右有代表性的一元二次方程題，列表對比這些方程兩根之和與兩根之積．然后小組內(nèi)交流各自的發(fā)現(xiàn)，形成意見后全班交流，猜想歸納得出根與系數(shù)的關(guān)系．教師在學生“分組實驗”的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學生猜想發(fā)現(xiàn)才邁出重要一步，雖然在各組分工研究過程中沒有發(fā)現(xiàn)“反例”，但是并不能保證它的正確性或一般性，需要進行證明才能確認這一性質(zhì)，于是讓學生“回到定義”，需用求根公式證明韋達定理．

說明：現(xiàn)在不少地區(qū)推行數(shù)學實驗，而且把數(shù)學實驗簡單化理解為一些折紙操作的動手實驗活動．事實上，像上面分組探究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系也是數(shù)學實驗的重要內(nèi)容，但是分組合作、動腦計算、猜想發(fā)現(xiàn)之后還需要啟發(fā)學生走上“一般證明”之路，“有了證明才是真數(shù)學”，否則與其他科學類課程傳遞的實驗教學區(qū)別不大．類似地，反比例函數(shù)圖像的位置的探索，也可以運用類似的分組合作學習的方式，讓不同小組將探究到的反比例函數(shù)圖像的位置、特點與性質(zhì)進行交流，最后大家討論確定反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì).在這個過程中，也要注意從圖形直觀的實驗走向理性說明，比如，充分考慮反比例函數(shù)解析式中“分式”的特點，發(fā)現(xiàn)自變量、函數(shù)值都不可能為0，這樣就可充分解釋雙曲線與坐標軸沒有交點等性質(zhì)，也可讓學生感受到數(shù)與形之間的和諧、一致與數(shù)形互助思想．

案例3：寫出兩個正多邊形的相同點與不同點

進行正多邊形的教學時，筆者曾設(shè)計如下一道習題：給出正五邊形、正六邊形（如圖1），寫出它們的相同點、不同點（至少各寫3點）.

圖1

教學組織：考慮到答案的豐富多樣，安排學生先獨立思考，然后分組合作，互助學習，在小組內(nèi)匯報交流各自發(fā)現(xiàn)，然后派出代表到講臺上講解他們小組的發(fā)現(xiàn)，再安排幾個學生在黑板上類比收集，寫在黑板上相應(yīng)的位置.待各個小組都匯報展示之后，引導學生思考為什么有這么多答案，大家是從哪些角度思考的，并在此基礎(chǔ)上小結(jié)出研究一個幾何對象的套路，如定義、要素（邊與角）、相關(guān)要素（外角、對角線）、對稱性質(zhì)（軸對稱與中心對稱）、外接圓與內(nèi)切圓（中心、邊心距）等，讓這道開放式習題的教學功能得到強化，而不只是滿足于多樣化答案的獲得.

案例4：銳角三角函數(shù)起始課的探究情境

銳角三角函數(shù)的概念引出是很多教師感到困惑的一個教學難點，因為不同教材上的方式各不相同，多數(shù)版本的教材采取的是生活現(xiàn)實情境，從中抽象出直角三角形，分析各邊之比定義銳角三角函數(shù).筆者經(jīng)過對比，采取如下合作學習的方式，引出新知：

圖2

圖3

圖4

進一步安排學生分組研究這3條直線，在這些直線上任意取點P、Q，研究點P的坐標之間的比值在各自圖形中是否變化.學生分組交流確認不變之后，抽象出圖5，走向一般，得出變量α與比值之間的單值對應(yīng)關(guān)系，從而對照函數(shù)概念，定義銳角三角函數(shù)（先定義正切函數(shù)，再生成正弦函數(shù)、余弦函數(shù)）.

圖5

說明：基于坐標系定義銳角三角函數(shù)有一個優(yōu)點，即有利于將來高中階段將三角函數(shù)進一步擴充、完善，同時是基于學生 “最近發(fā)展區(qū)”（正比例函數(shù)的圖像）而設(shè)計的一個“數(shù)學現(xiàn)實”．安排學生分組研究，匯總各組的發(fā)現(xiàn)可以確認和歸納出一些性質(zhì)，從而引導學生對照函數(shù)定義（變化過程中，兩個變量，單值對應(yīng)）生成新的概念．

二、關(guān)于合作學習的進一步思考

1.基于教學內(nèi)容想清“合作學習”是否必要

為了防止合作學習流于形式，教師在備課階段就要針對教學內(nèi)容想清教學組織形式，針對一些合作學習的環(huán)節(jié)想清辨明是否存在分組合作的必要，對于一些可有可無的合作形式，能精減則精減，寧可多安排學生獨立思考、探索.特別是對一些解題活動，考慮到數(shù)學解題步驟之間連續(xù)性、關(guān)鍵步驟的獲得，不宜過多安排合作討論，因為在合作討論時，往往是優(yōu)秀學生展示“破題”方法，其他學生看似領(lǐng)悟、學會，實質(zhì)上關(guān)鍵步驟的獲得“得來全不費功夫”，不利于他們對解題重點和難點的掌握.而對于一些“等價”的探索活動，如上文案例1～2中，作三角形、不同一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系就適合分工合作進行“實驗”，然后匯總“實驗”結(jié)果，提出猜想并證明性質(zhì).

2.基于教學效率預(yù)設(shè)“合作學習”操作要義

課堂教學時間十分寶貴，為了確保一定的教學容量，我們需要恰當運用合作互助學習的方式來提高教學效率，上面提供的一些案例都是提高教學效率的有效活動.具體來說，針對教學內(nèi)容的特點，預(yù)設(shè)合作學習的方式、時間、節(jié)點，并相機融入教師的指導、追問與點評，都對教師的課堂駕馭能力提出較高的要求，這就是所謂“怎么教”的研究課題.當然，還可提及弗賴登塔爾倡導的“有指導的再創(chuàng)造”，對有些低效的合作學習需要刪減，可以用教師的啟發(fā)式講授或指導取而代之，以提高課堂教學效率.總之，合作學習在課堂教學中需要相機而行，既要根據(jù)教學內(nèi)容，又要兼顧課堂教學效率，在這個意義上說，教學也是一種“平衡”的藝術(shù).