☉江蘇省常熟市尚湖中學(xué) 戴曉艷

深度教學(xué)是當(dāng)前一個(gè)熱點(diǎn)教研課題，不少教師在自己的教學(xué)實(shí)踐中追求深度教學(xué).新授課中以針對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深刻理解，設(shè)計(jì)出具有深度的教學(xué)環(huán)節(jié)，促進(jìn)學(xué)生深刻理解新知.但針對(duì)習(xí)題課的解題教學(xué)，如何更顯深度、更有品質(zhì)的題例教學(xué)研究并不多見(jiàn).本文結(jié)合最近收集的幾則解題教學(xué)案例，反思解題教學(xué)如何追求深度教學(xué)，供研討.

一、解題教學(xué)講評(píng)案例

案例1：如圖1，點(diǎn)P是鄰邊為4、6的矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD，作PE⊥BC于點(diǎn)E.分析PA+PD+PE的最小值.

圖1

圖2

圖3

圖4

講評(píng)記錄：這是一份模考試卷中的填空題，從批改情況來(lái)看，學(xué)生都不會(huì)解答，幾個(gè)優(yōu)秀學(xué)生誤認(rèn)為點(diǎn)P恰為矩形的中心時(shí)，PA+PD+PE取得最小值，這是一種典型錯(cuò)誤.還有少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生有了一些進(jìn)展，如圖2，先確認(rèn)P點(diǎn)應(yīng)該在AD的垂直平分線上，作PH⊥AB于H點(diǎn)，設(shè)PE=x.PH=3，AH=4-x.由勾股定理，得AP=.設(shè)PA+PD+PE=k，則k=2+x，接下來(lái)沒(méi)有進(jìn)展了，于是他們放棄了這種思路.事實(shí)上，這種思路也是可以走通的，只是運(yùn)算量太大，比如，整理成關(guān)于x的一元二次方程，得到3x2+（2k-32）x-k2+100=0.由根的判別式為非負(fù)數(shù)，可得關(guān)于k的不等式k2-8k-11≥0.利用二次函數(shù)的圖像分析出k≥4+3，于是問(wèn)題獲得解決，PA+PD+PE的最小值為4+3

順便指出，我們也可利用高中階段的基本不等式處理.比如，設(shè)點(diǎn)P到AD的距離為b，則PE=4-b，可列出t=2+4-b.注意到

以上解法主要是繁雜的運(yùn)算，難以順利“算”出來(lái)，所以不少學(xué)生選擇放棄了這個(gè)方向.但從上面求解來(lái)看，這是一種“通法”，是值得積累的解題經(jīng)驗(yàn).如果止步于這種“算”的思路，只是就題解題，滿足于一種解法的獲得，屬于淺層次教學(xué)，我們需要追求深度教學(xué).比如，選擇構(gòu)造圖3進(jìn)行分析，分別以AD、AP為邊作兩個(gè)等邊三角形ADG、△APH，可證出△APD≌△AHG，PD=GH，這樣分析PA+PD+PE的最小值就是過(guò)點(diǎn)G作GE⊥BC于點(diǎn)E（如圖4），此時(shí)容易求出最小值就是等邊三角形ADG的高3與矩形的寬4之和，即4+3.

解后回顧：進(jìn)一步觀察圖4，當(dāng)PA+PD+PE取得最小值時(shí)，點(diǎn)P在AD的垂直平分線上，且PA與邊AD的夾角為30°.原問(wèn)題中矩形的邊長(zhǎng)可以一般化為任意數(shù)據(jù)，都可使用這種幾何構(gòu)造的方法獲得最值，這樣也就可以解答以下這個(gè)經(jīng)典問(wèn)題.

同類(lèi)鏈接：如圖5，正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O.如圖6，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F在AD的垂直平分線上，∠EAD=∠EDA=∠FBC=∠FCB=30°，可以證明AE+DE+EF+BF+FC＜AC+BC.

圖5

圖6

案例2：如圖7，梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=4，BC=6，AB=14，在邊AB上找一點(diǎn)E，當(dāng)△EAD與△EBC相似時(shí)，求AE的長(zhǎng).

圖7

圖8

圖9

講評(píng)記錄：如果我們只是滿足于設(shè)AE=x，分類(lèi)討論（兩種可能的相似對(duì)應(yīng)）列出方程，求出x的3個(gè)值，就結(jié)束該題的講評(píng)，則是典型的淺層次教學(xué)，入寶山而空返.我們需要進(jìn)一步通過(guò)解后反思，揭示問(wèn)題的圖形結(jié)構(gòu).比如，先構(gòu)造圖8，以CD為直徑作圓交AB于點(diǎn)E、E′，進(jìn)一步根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，可得到兩種相似的情形；在此基礎(chǔ)上，如圖9，取點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接CF，交AB于點(diǎn)E″，對(duì)應(yīng)著第三種情形.這樣就可以讓學(xué)生對(duì)這道習(xí)題的理解走向深刻，解題教學(xué)的深度也得到顯現(xiàn).此外，熟悉圖9中構(gòu)造圖形的方式，還可以為一些找不到思路的學(xué)生打開(kāi)思路，獲得解題念頭.講評(píng)之后，再安排一道同類(lèi)題跟進(jìn)，鞏固效果.

同類(lèi)鏈接：如圖10，在矩形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊AB、BC上，且AM=AB，將矩形沿直線MN折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)G處.若CD邊上恰有（有且只有）2個(gè)點(diǎn)P，能帶來(lái)△PGD與△PNC相似，探究的值.（限于篇幅，不再給出解析，答案為

圖10

圖11

案 例3：已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（m，n）、

（1）用含m的式子表示b；

（2）求n的值；

（3）求△ABC的面積.

教學(xué)記錄：（1）根據(jù)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)的特征，容易看出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=m+3，即b=-2m-6.

（2）把點(diǎn)A（m，n）、C（m+6，n）的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式，先后解出b=-2m-6，c=m2+6m+n，代入拋物線的解析式，得y=x2-（2m+6）+m2+6m+n，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，就可解出n=8.這是重要進(jìn)展和關(guān)鍵步驟，有些學(xué)生因?yàn)檫@一步?jīng)]有解出導(dǎo)致思路受阻.

（3）學(xué)生容易看出AC的長(zhǎng)是6，且AC與x軸是平行的，但是對(duì)于AC邊上的高不容易突破，因?yàn)橛行W(xué)生第（2）問(wèn)中的n就沒(méi)能求出.事實(shí)上，如果我們深刻理解二次項(xiàng)系數(shù)為1的拋物線的形狀，也可以直觀讀出AC邊上的高應(yīng)該是5.如圖11，直觀揭示了本題的深層結(jié)構(gòu)，講評(píng)時(shí)或講評(píng)之后，有必要帶領(lǐng)學(xué)生理解這種結(jié)構(gòu)，也是加深學(xué)生對(duì)形如y=x2的二次函數(shù)圖像性質(zhì)的理解.

二、關(guān)于解題教學(xué)走向深度的進(jìn)一步思考

1.理解習(xí)題“深層結(jié)構(gòu)”，想清“多解何以歸一”

教師在解題教學(xué)的講評(píng)之前需要精心備課，不能滿足于習(xí)題答案的獲得，或者某一種思路的貫通，這樣走進(jìn)課堂，往往只是照著解答的淺層次教學(xué)，不能實(shí)現(xiàn)深度教學(xué).如考題2只是滿足于利用方程思想“盲解”出答案，結(jié)束講評(píng)就“看下一道題”，就是沒(méi)能走向深度教學(xué).值得一說(shuō)的是，對(duì)于有些習(xí)題，開(kāi)展一題多解的教學(xué)講評(píng)是必要的，但還需要更進(jìn)一步，思考“多解何以歸一”，以便幫助學(xué)生揭示問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，使學(xué)生感受到不同解法在“高觀點(diǎn)”反思之后的和諧與一致.

2.多讓學(xué)生“講題”展示，跟進(jìn)評(píng)析并回顧反思

解題教學(xué)走向深度還需要重視發(fā)揮學(xué)生的主體作用，具體的操作要義是“讓學(xué)”，即海德格爾所說(shuō)的“讓學(xué)生學(xué)”.在解題教學(xué)過(guò)程中，我們可以讓學(xué)生走上講臺(tái)，讓他們講解對(duì)習(xí)題的理解，思路是怎樣獲得的，受到哪一句關(guān)鍵詞句信息的影響，或者受到哪一種解題模型、解題經(jīng)驗(yàn)的啟示，如果沒(méi)有求得最后結(jié)果，教師要通過(guò)追問(wèn)讓學(xué)生展示有哪些進(jìn)展，主要障礙在哪一步，能否攻克某一關(guān)鍵步驟，等等.在講評(píng)之后引導(dǎo)學(xué)生回顧反思，思考關(guān)鍵步驟是如何攻克的，哪些是易錯(cuò)點(diǎn)，如何糾錯(cuò)和究錯(cuò)，等等.最后，還可把同類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行鏈接式訓(xùn)練，幫助學(xué)生從“解一題”到“會(huì)一類(lèi)”.這樣，就使得解題教學(xué)走向了深度教學(xué)，也就能讓學(xué)生通過(guò)“學(xué)解題”達(dá)到“會(huì)解題”.