☉山東省淄博市淄川區(qū)楊寨中學 劉 慧

☉山東省淄博市淄川區(qū)楊寨中學 王 廷

一、引言

2014年3月30日，教育部在《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》中提出“發(fā)展核心素養(yǎng)體系”.從此，一個嶄新的名詞“核心素養(yǎng)”進入了大眾視野，并引起了廣泛關注.

2016年9月13日，《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》正式發(fā)布，明確指出中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎、自主發(fā)展、社會參與3個方面，綜合表現為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創(chuàng)新等六大素養(yǎng)，具體細化為18個基本要點.至此，由課題組歷時3年完成的核心素養(yǎng)體系終于完成，也為廣大教師今后的教學實踐指明了方向.

在當前的數學教學實踐中，如何關注核心素養(yǎng)，從而培養(yǎng)學生全面發(fā)展，是每一位教師面臨的新課題.下面，筆者以“微專題探究：看似無圓卻有圓”為例，談談對此的實踐探索及思考.

二、教學實踐

1.課前熱身，引入課題

熱身題：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若∠BAC=20°，∠CAD=80°，則∠BDC=_____，∠DBC=_____.

圖1

圖2

教學說明：本題是有關輔助圓的一道經典題.此題可以用三角形的內角和定理和等腰三角形的性質來解決，但比較煩瑣；也可以添加輔助圓（如圖2）來解決，會簡單許多.學生先利用課前時間完成此題.課堂開始，教師引用美國數學家維納所說的“鉆研數學，這是一種需要全部靈活性和刻苦耐勞的智力體操”進行引入，自然過渡到熱身題.教師選取不同的學生展示自己的解題方法，引導學生分析、對比不同的方法，從而引出本節(jié)課的課題“微專題探究：看似無圓卻有圓”.

2.模型提煉，拓展思維

（1）模型一：到定點的距離等于定長.

問題：（1）通過熱身題，思考：題目中出現什么條件時可以添加輔助圓？依據是什么？

（2）通過熱身題，可以得出添加輔助圓的哪種模型？

教學說明：通過這兩個問題引導學生積極思考，發(fā)現題目的特點，總結添加輔助圓的基本模型：到定點的距離等于定長，并理解這種模型的基本依據.這里較多的學生認為添加輔助圓的依據是“圓的半徑相等”，這其實并不準確，嚴格來說應該是圓的靜態(tài)定義：到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫作圓.

（2）模型二：四邊形對角互補.

例1 如圖3，Rt△ABC和Rt△ABD的斜邊重合，且AC=8，BC=6，∠BAD=45°，連接兩個直角頂點C、D，則線段CD的長度為_______.

問題：（1）當題目中出現什么條件時，可以添加輔助圓呢？依據是什么？

圖3

圖4

（2）更一般地，如果∠ACB和∠ADB互補（如圖4），那么A、B、C、D四點還在同一圓上嗎？

教學說明：例1是由一道習題改編而成的，原題圖中是有圓的，筆者特意將此題中的圓隱去，旨在讓學生自己分析題目特點，從而發(fā)現其中隱藏的圓.學生根據“兩個直角三角形有公共斜邊”這一特點，不難添加輔助圓，但對于添加的依據依然不甚明了.教師需引導學生把此問題轉化成模型一，即找到公共斜邊的中點O，連接CO和DO（如圖5），根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到AO=BO=CO=DO，再利用模型一的結論即可說明添加輔助圓的原理.添加了輔助圓之后，這個例題也就不難解決了.接下來教師追問問題（2），對于這個問題，學生基本能猜想到結論，但原理依然不清楚，很多學生認為是“圓內接四邊形對角互補”，這也是不準確的.這個結論的證明可以用反證法.由于這個方法初中階段涉及較少，學生比較陌生，且不是中考考查內容的重點，因此，筆者在這里采用了微課教學的形式，把證明過程錄制成了一個微課視頻，一方面，可以減輕課堂容量的壓力，另一方面，可以進行資源共享，讓學生課下拓展學習.通過這兩個問題，可以得出第二種添加輔助圓的基本模型：四邊形對角互補.

（3）模型三：同底同側張等角.

問題：（1）如圖6，如果把圖5中的△ABD翻折到上方，與△ABC在AB的同側，那么A、B、C、D四點還共圓嗎？

（2）如圖7，如果∠ACB=∠ADB=α，那么A、B、C、D四點還共圓嗎？你能得到更一般的結論嗎？

教學說明：這兩個問題是在模型二的基礎上，借助軸對稱變換及類比的方法進行拓展引申，從而得到添加輔助圓的第三種基本模型：同底同側張等角.有了前面模型二的探索，學生不難得到結論，且對于輔助圓的添加依據也會通過類比輕松獲得.

圖5

圖6

圖7

圖8

（4）模型四：動點定角度對定線段.

例2如圖8，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為_____.

拓展：如果∠APB=α（α是定值），點P的運動軌跡又是什么呢？

教學說明：這個例題是動點求最值的問題.對于動點問題，學生往往不能結合條件找到動點的運動軌跡.為了幫助學生克服這個難點，筆者借助幾何畫板來進行動態(tài)演示.通過對條件的分析，可以發(fā)現動點P始終滿足∠APB=90°，借助幾何畫板可以清晰觀察到點P的運動軌跡是一段圓?。ㄈ鐖D9），于是問題就轉化成了“圓外一點到圓上一點的最小距離”問題，例題自然就可以解決了.接下來筆者追問拓展問題，有了前面模型二和模型三的探索，結合幾何畫板的動態(tài)演示，學生會得到更一般的結論，即：當α是直角時，點P的運動軌跡是除點A和點B外的圓（如圖10）；當α是銳角時，點P的運動軌跡是優(yōu)?。ㄈ鐖D11）；當α是鈍角時，點P的運動軌跡是劣?。ㄈ鐖D12）.從而，得出添加輔助圓的第四種基本模型：動點定角度對定線段.

圖9

圖10

圖11

圖12

3.模型總結，凝練精華

通過之前的探究，請同學們總結一下：我們得到了哪些輔助圓的模型呢？請同學們把基本圖形畫出來.

教學說明：學生獨立畫出輔助圓模型的基本圖，同時學生代表上臺板演.通過這個環(huán)節(jié)，學生對前面零散的模型進行系統(tǒng)整理.部分學生可能畫得不全面，通過組內交流共享，可以進一步補充完善，接下來師生共同總結，形成完整的知識鏈.

4.模型應用，體驗成功

練習1：如圖13，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E 是AB邊的中點，F是線段BC上的動點，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是______.

練習2：如圖14，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，BE⊥AC，垂足為點E，M為AB邊的中點，連接ME、MD、ED.求證：

圖13

（1）△MED為等腰三角形；

（2）∠EMD=2∠DAC.

圖14

圖15

練習3：（選做）如圖15，△ABC為等邊三角形，AB=2，若P為△ABC內一動點，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長度的最小值為________.

教學說明：練習1是一個動點問題，通過此題讓學生進一步體會輔助圓在解決動點問題時的作用.學生在展示此題時結合了幾何畫板，可以更直觀地觀察到動點的運動軌跡.練習2是對第三種模型的應用，通過此題來彌補該模型沒有例題對應的缺陷，同時通過學生板書，規(guī)范學生的解答過程.練習3對應最后一種模型的一般情況，難度稍大，供學有余力的學生選做，體現分層教學.

5.總結收獲，感悟升華

師：同學們，這節(jié)課有什么收獲呢？

教學說明：學生自由發(fā)言，談談體會和收獲，把學到的知識、方法、思想進行升華提煉.這一環(huán)節(jié)，學生往往停留在對知識點的總結上，教師要引導學生積極感悟本節(jié)課在數學方法和思想上的收獲并進行合理表達.

6.教師寄語，師生共情

教師寄語：只要做到圖中無圓，心中有圓，你就能成為解決數學問題的有“圓”人！祝同學們中考成功！

教學說明：通過教師寄語，讓學生在語言上感受數學的魅力，同時對學生即將進行的中考表示祝福，與學生產生共情，從而激勵學生為今后的數學學習繼續(xù)努力.

三、核心素養(yǎng)分析

筆者通過上述課堂教學實踐，力求讓學生在核心素養(yǎng)方面有一定的發(fā)展.下面筆者結合具體的實踐過程，對可以培養(yǎng)學生哪些核心素養(yǎng)做進一步的分析.

在人文底蘊方面，筆者通過一開始的名人名言及課堂尾聲的教師寄語，讓學生對數學文化的人文積淀和人文情懷有一定的感性體驗.另外，在探究模型三時，筆者運用了軸對稱的動態(tài)變化，讓學生感受到了幾何圖形的變化之美，有利于培養(yǎng)學生的審美情趣.

在科學精神方面，通過模型提煉環(huán)節(jié)，讓學生積極探索添加輔助圓的幾種常見模型，從而培養(yǎng)了學生勇于探究的科學素養(yǎng).同時，在探究的過程中，學生經歷了從特殊到一般、從靜態(tài)到動態(tài)、從形象到抽象的過程，從而有效提升了理性思維的能力.在探尋添加輔助圓的依據時，學生出現了不少問題，通過教師的引導和學生的討論，最終明確了真正的依據，在此過程中可以鍛煉學生的批判質疑精神.

在學會學習方面，通過課前熱身環(huán)節(jié)，讓學生充分利用課前的點滴時間進行課前準備，從而培養(yǎng)了學生樂學善學的素養(yǎng).在模型總結環(huán)節(jié)中，學生自己畫輔助圓的基本圖形，然后組內共享訂正，這樣可以引導學生重視總結數學思想方法和技能，從而培養(yǎng)了學生勤于總結、勤于反思的數學素養(yǎng).另外，在做練習1時，個別學生看到動點始終是直角頂點，誤以為是第四種模型，這是一種非常典型的錯誤，經過師生的共同討論，學生發(fā)現了此題中雖然動點的角度是定值，但所對的線段不是定值，因此不屬于第四種模型.通過對易混知識點的區(qū)別和辨析，進一步發(fā)展了學生勤于反思的科學素養(yǎng).

在健康生活方面，學生在課前熱身、小組合作探究和獨立解決習題等環(huán)節(jié)中都發(fā)展了自我管理的能力素養(yǎng).

在責任擔當方面，通過美國數學家維納的名言，增加了學生對數學文化的國際理解.

在實踐創(chuàng)新方面，學生在模型應用環(huán)節(jié)中，能積極運用所學的基本模型來分析題目，構造出輔助圓從而解決問題，有效提升了問題解決的能力.同時，在解決問題的過程中，進行展示的學生能結合幾何畫板來演示動點的運動軌跡，鍛煉了對技術運用的能力.

四、結語

數學知識是培育學生數學核心素養(yǎng)的土壤，而數學課程與教學是發(fā)展學生核心素養(yǎng)的重要途徑.基于核心素養(yǎng)的課堂教學需要教師關注核心素養(yǎng)體系，以培養(yǎng)學生全面發(fā)展為落腳點，將核心素養(yǎng)的理論知識切實貫徹到課堂教學的每一個環(huán)節(jié)中，這需要每一位教師在教學過程中不斷探索和實踐.