☉山東省淄博市淄川區(qū)楊寨中學(xué) 劉 慧

☉山東省淄博市淄川區(qū)楊寨中學(xué) 王 廷

一、引言

2014年3月30日，教育部在《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》中提出“發(fā)展核心素養(yǎng)體系”.從此，一個嶄新的名詞“核心素養(yǎng)”進入了大眾視野，并引起了廣泛關(guān)注.

2016年9月13日，《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》正式發(fā)布，明確指出中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會參與3個方面，綜合表現(xiàn)為人文底蘊、科學(xué)精神、學(xué)會學(xué)習(xí)、健康生活、責任擔當、實踐創(chuàng)新等六大素養(yǎng)，具體細化為18個基本要點.至此，由課題組歷時3年完成的核心素養(yǎng)體系終于完成，也為廣大教師今后的教學(xué)實踐指明了方向.

在當前的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，如何關(guān)注核心素養(yǎng)，從而培養(yǎng)學(xué)生全面發(fā)展，是每一位教師面臨的新課題.下面，筆者以“微專題探究：看似無圓卻有圓”為例，談?wù)剬Υ说膶嵺`探索及思考.

二、教學(xué)實踐

1.課前熱身，引入課題

熱身題：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若∠BAC=20°，∠CAD=80°，則∠BDC=_____，∠DBC=_____.

圖1

圖2

教學(xué)說明：本題是有關(guān)輔助圓的一道經(jīng)典題.此題可以用三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)來解決，但比較煩瑣；也可以添加輔助圓（如圖2）來解決，會簡單許多.學(xué)生先利用課前時間完成此題.課堂開始，教師引用美國數(shù)學(xué)家維納所說的“鉆研數(shù)學(xué)，這是一種需要全部靈活性和刻苦耐勞的智力體操”進行引入，自然過渡到熱身題.教師選取不同的學(xué)生展示自己的解題方法，引導(dǎo)學(xué)生分析、對比不同的方法，從而引出本節(jié)課的課題“微專題探究：看似無圓卻有圓”.

2.模型提煉，拓展思維

（1）模型一：到定點的距離等于定長.

問題：（1）通過熱身題，思考：題目中出現(xiàn)什么條件時可以添加輔助圓？依據(jù)是什么？

（2）通過熱身題，可以得出添加輔助圓的哪種模型？

教學(xué)說明：通過這兩個問題引導(dǎo)學(xué)生積極思考，發(fā)現(xiàn)題目的特點，總結(jié)添加輔助圓的基本模型：到定點的距離等于定長，并理解這種模型的基本依據(jù).這里較多的學(xué)生認為添加輔助圓的依據(jù)是“圓的半徑相等”，這其實并不準確，嚴格來說應(yīng)該是圓的靜態(tài)定義：到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫作圓.

（2）模型二：四邊形對角互補.

例1 如圖3，Rt△ABC和Rt△ABD的斜邊重合，且AC=8，BC=6，∠BAD=45°，連接兩個直角頂點C、D，則線段CD的長度為_______.

問題：（1）當題目中出現(xiàn)什么條件時，可以添加輔助圓呢？依據(jù)是什么？

圖3

圖4

（2）更一般地，如果∠ACB和∠ADB互補（如圖4），那么A、B、C、D四點還在同一圓上嗎？

教學(xué)說明：例1是由一道習(xí)題改編而成的，原題圖中是有圓的，筆者特意將此題中的圓隱去，旨在讓學(xué)生自己分析題目特點，從而發(fā)現(xiàn)其中隱藏的圓.學(xué)生根據(jù)“兩個直角三角形有公共斜邊”這一特點，不難添加輔助圓，但對于添加的依據(jù)依然不甚明了.教師需引導(dǎo)學(xué)生把此問題轉(zhuǎn)化成模型一，即找到公共斜邊的中點O，連接CO和DO（如圖5），根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到AO=BO=CO=DO，再利用模型一的結(jié)論即可說明添加輔助圓的原理.添加了輔助圓之后，這個例題也就不難解決了.接下來教師追問問題（2），對于這個問題，學(xué)生基本能猜想到結(jié)論，但原理依然不清楚，很多學(xué)生認為是“圓內(nèi)接四邊形對角互補”，這也是不準確的.這個結(jié)論的證明可以用反證法.由于這個方法初中階段涉及較少，學(xué)生比較陌生，且不是中考考查內(nèi)容的重點，因此，筆者在這里采用了微課教學(xué)的形式，把證明過程錄制成了一個微課視頻，一方面，可以減輕課堂容量的壓力，另一方面，可以進行資源共享，讓學(xué)生課下拓展學(xué)習(xí).通過這兩個問題，可以得出第二種添加輔助圓的基本模型：四邊形對角互補.

（3）模型三：同底同側(cè)張等角.

問題：（1）如圖6，如果把圖5中的△ABD翻折到上方，與△ABC在AB的同側(cè)，那么A、B、C、D四點還共圓嗎？

（2）如圖7，如果∠ACB=∠ADB=α，那么A、B、C、D四點還共圓嗎？你能得到更一般的結(jié)論嗎？

教學(xué)說明：這兩個問題是在模型二的基礎(chǔ)上，借助軸對稱變換及類比的方法進行拓展引申，從而得到添加輔助圓的第三種基本模型：同底同側(cè)張等角.有了前面模型二的探索，學(xué)生不難得到結(jié)論，且對于輔助圓的添加依據(jù)也會通過類比輕松獲得.

圖5

圖6

圖7

圖8

（4）模型四：動點定角度對定線段.

例2如圖8，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為_____.

拓展：如果∠APB=α（α是定值），點P的運動軌跡又是什么呢？

教學(xué)說明：這個例題是動點求最值的問題.對于動點問題，學(xué)生往往不能結(jié)合條件找到動點的運動軌跡.為了幫助學(xué)生克服這個難點，筆者借助幾何畫板來進行動態(tài)演示.通過對條件的分析，可以發(fā)現(xiàn)動點P始終滿足∠APB=90°，借助幾何畫板可以清晰觀察到點P的運動軌跡是一段圓弧（如圖9），于是問題就轉(zhuǎn)化成了“圓外一點到圓上一點的最小距離”問題，例題自然就可以解決了.接下來筆者追問拓展問題，有了前面模型二和模型三的探索，結(jié)合幾何畫板的動態(tài)演示，學(xué)生會得到更一般的結(jié)論，即：當α是直角時，點P的運動軌跡是除點A和點B外的圓（如圖10）；當α是銳角時，點P的運動軌跡是優(yōu)?。ㄈ鐖D11）；當α是鈍角時，點P的運動軌跡是劣?。ㄈ鐖D12）.從而，得出添加輔助圓的第四種基本模型：動點定角度對定線段.

圖9

圖10

圖11

圖12

3.模型總結(jié)，凝練精華

通過之前的探究，請同學(xué)們總結(jié)一下：我們得到了哪些輔助圓的模型呢？請同學(xué)們把基本圖形畫出來.

教學(xué)說明：學(xué)生獨立畫出輔助圓模型的基本圖，同時學(xué)生代表上臺板演.通過這個環(huán)節(jié)，學(xué)生對前面零散的模型進行系統(tǒng)整理.部分學(xué)生可能畫得不全面，通過組內(nèi)交流共享，可以進一步補充完善，接下來師生共同總結(jié)，形成完整的知識鏈.

4.模型應(yīng)用，體驗成功

練習(xí)1：如圖13，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E 是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC上的動點，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是______.

練習(xí)2：如圖14，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，BE⊥AC，垂足為點E，M為AB邊的中點，連接ME、MD、ED.求證：

圖13

（1）△MED為等腰三角形；

（2）∠EMD=2∠DAC.

圖14

圖15

練習(xí)3：（選做）如圖15，△ABC為等邊三角形，AB=2，若P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長度的最小值為________.

教學(xué)說明：練習(xí)1是一個動點問題，通過此題讓學(xué)生進一步體會輔助圓在解決動點問題時的作用.學(xué)生在展示此題時結(jié)合了幾何畫板，可以更直觀地觀察到動點的運動軌跡.練習(xí)2是對第三種模型的應(yīng)用，通過此題來彌補該模型沒有例題對應(yīng)的缺陷，同時通過學(xué)生板書，規(guī)范學(xué)生的解答過程.練習(xí)3對應(yīng)最后一種模型的一般情況，難度稍大，供學(xué)有余力的學(xué)生選做，體現(xiàn)分層教學(xué).

5.總結(jié)收獲，感悟升華

師：同學(xué)們，這節(jié)課有什么收獲呢？

教學(xué)說明：學(xué)生自由發(fā)言，談?wù)勼w會和收獲，把學(xué)到的知識、方法、思想進行升華提煉.這一環(huán)節(jié)，學(xué)生往往停留在對知識點的總結(jié)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極感悟本節(jié)課在數(shù)學(xué)方法和思想上的收獲并進行合理表達.

6.教師寄語，師生共情

教師寄語：只要做到圖中無圓，心中有圓，你就能成為解決數(shù)學(xué)問題的有“圓”人！祝同學(xué)們中考成功！

教學(xué)說明：通過教師寄語，讓學(xué)生在語言上感受數(shù)學(xué)的魅力，同時對學(xué)生即將進行的中考表示祝福，與學(xué)生產(chǎn)生共情，從而激勵學(xué)生為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)繼續(xù)努力.

三、核心素養(yǎng)分析

筆者通過上述課堂教學(xué)實踐，力求讓學(xué)生在核心素養(yǎng)方面有一定的發(fā)展.下面筆者結(jié)合具體的實踐過程，對可以培養(yǎng)學(xué)生哪些核心素養(yǎng)做進一步的分析.

在人文底蘊方面，筆者通過一開始的名人名言及課堂尾聲的教師寄語，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的人文積淀和人文情懷有一定的感性體驗.另外，在探究模型三時，筆者運用了軸對稱的動態(tài)變化，讓學(xué)生感受到了幾何圖形的變化之美，有利于培養(yǎng)學(xué)生的審美情趣.

在科學(xué)精神方面，通過模型提煉環(huán)節(jié)，讓學(xué)生積極探索添加輔助圓的幾種常見模型，從而培養(yǎng)了學(xué)生勇于探究的科學(xué)素養(yǎng).同時，在探究的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般、從靜態(tài)到動態(tài)、從形象到抽象的過程，從而有效提升了理性思維的能力.在探尋添加輔助圓的依據(jù)時，學(xué)生出現(xiàn)了不少問題，通過教師的引導(dǎo)和學(xué)生的討論，最終明確了真正的依據(jù)，在此過程中可以鍛煉學(xué)生的批判質(zhì)疑精神.

在學(xué)會學(xué)習(xí)方面，通過課前熱身環(huán)節(jié)，讓學(xué)生充分利用課前的點滴時間進行課前準備，從而培養(yǎng)了學(xué)生樂學(xué)善學(xué)的素養(yǎng).在模型總結(jié)環(huán)節(jié)中，學(xué)生自己畫輔助圓的基本圖形，然后組內(nèi)共享訂正，這樣可以引導(dǎo)學(xué)生重視總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法和技能，從而培養(yǎng)了學(xué)生勤于總結(jié)、勤于反思的數(shù)學(xué)素養(yǎng).另外，在做練習(xí)1時，個別學(xué)生看到動點始終是直角頂點，誤以為是第四種模型，這是一種非常典型的錯誤，經(jīng)過師生的共同討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了此題中雖然動點的角度是定值，但所對的線段不是定值，因此不屬于第四種模型.通過對易混知識點的區(qū)別和辨析，進一步發(fā)展了學(xué)生勤于反思的科學(xué)素養(yǎng).

在健康生活方面，學(xué)生在課前熱身、小組合作探究和獨立解決習(xí)題等環(huán)節(jié)中都發(fā)展了自我管理的能力素養(yǎng).

在責任擔當方面，通過美國數(shù)學(xué)家維納的名言，增加了學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的國際理解.

在實踐創(chuàng)新方面，學(xué)生在模型應(yīng)用環(huán)節(jié)中，能積極運用所學(xué)的基本模型來分析題目，構(gòu)造出輔助圓從而解決問題，有效提升了問題解決的能力.同時，在解決問題的過程中，進行展示的學(xué)生能結(jié)合幾何畫板來演示動點的運動軌跡，鍛煉了對技術(shù)運用的能力.

四、結(jié)語

數(shù)學(xué)知識是培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的土壤，而數(shù)學(xué)課程與教學(xué)是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑.基于核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)需要教師關(guān)注核心素養(yǎng)體系，以培養(yǎng)學(xué)生全面發(fā)展為落腳點，將核心素養(yǎng)的理論知識切實貫徹到課堂教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)中，這需要每一位教師在教學(xué)過程中不斷探索和實踐.