王 恰

(中國(guó)社會(huì)科學(xué)院數(shù)量經(jīng)濟(jì)與技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究所，北京 100732)

1 引言

資源分配問(wèn)題是一類廣泛且十分重要的問(wèn)題，屬于數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué)的交叉領(lǐng)域。近年來(lái)，伴隨信息技術(shù)的發(fā)展，涌現(xiàn)出計(jì)算資源分配、存儲(chǔ)資源分配、帶寬分配、緩存區(qū)分配等一類新的分配問(wèn)題。在這些問(wèn)題中，硬件和軟件資源是不僅有限的，還是實(shí)時(shí)變動(dòng)的，隨時(shí)可能需要增加一定數(shù)量的額外資源，或者需要縮減一定數(shù)量的資源占用。假設(shè)這些資源同時(shí)提供給n個(gè)用戶或單位(以下稱作決策單元，簡(jiǎn)記為DMU)共同使用。這n個(gè)決策單元具有可比性，他們通過(guò)占用并消耗m種類型的資源(或稱“投入”)，獲得s種類型的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出(或稱“產(chǎn)出”)。如果把這n個(gè)決策單元看作是一個(gè)系統(tǒng)，那么根據(jù)系統(tǒng)資源占用數(shù)量的實(shí)時(shí)增減需求，決策者應(yīng)當(dāng)如何在決策單元之間分配額外的資源投入，或者分?jǐn)偧榷ǖ目s減任務(wù)？

為了加以區(qū)別，本文稱第一類問(wèn)題為額外資源分配問(wèn)題，該問(wèn)題最早提出于文獻(xiàn)Wei Quanling等[1]的最后一段。第二類問(wèn)題為縮減任務(wù)分?jǐn)倖?wèn)題。由于資源的稀缺性，系統(tǒng)擁有的資源數(shù)量可能無(wú)法滿足決策單元的全部需求。當(dāng)系統(tǒng)即將獲得一定數(shù)量的額外資源時(shí)，每一個(gè)決策單元都希望分配到盡可能多的額外資源，那么如何分配才能使額外資源發(fā)揮最大價(jià)值？或者，當(dāng)系統(tǒng)即將縮減一定數(shù)量的資源占用時(shí)，每一個(gè)決策單元潛在的動(dòng)機(jī)是希望承擔(dān)盡可能少的縮減任務(wù)。如果希望分?jǐn)偨Y(jié)果對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是最有益的，那么應(yīng)當(dāng)如何把資源縮減任務(wù)分?jǐn)偨o全部或者部分決策單元？

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)方法是一種以數(shù)據(jù)為導(dǎo)向的、評(píng)價(jià)決策單元相對(duì)有效性的數(shù)學(xué)工具，該方法的突出特點(diǎn)是它尤其適應(yīng)于決策單元具有多個(gè)投入和多個(gè)產(chǎn)出的復(fù)雜情況(魏權(quán)齡[2])。在資源分配問(wèn)題上，DEA方法也具有十分廣泛的應(yīng)用。Emrouznejad和Yang Guoliang[3]對(duì)SCOPUS數(shù)據(jù)庫(kù)中涉及DEA方法的文獻(xiàn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)“資源分配”是DEA領(lǐng)域文獻(xiàn)常用的50個(gè)關(guān)鍵詞之一，截止2016年年底以“資源分配”作為關(guān)鍵詞的DEA文獻(xiàn)數(shù)量達(dá)到176篇。

在現(xiàn)有研究中，分配原則通常體現(xiàn)在分配模型的目標(biāo)函數(shù)上。根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的不同，基于DEA方法的資源分配模型大致可以分為兩類。一類分配模型從最大化系統(tǒng)整體效率或者最大化系統(tǒng)總產(chǎn)出的角度，進(jìn)行資源分配。Golany和Tamir[4]以最大化所有決策單元的產(chǎn)出作為目標(biāo)函數(shù)，建立資源分配模型。Athanassopoulos[5]結(jié)合多目標(biāo)規(guī)劃和DEA方法提出了一種Go-DEA模型，并將該模型應(yīng)用于政府資金分配。F?re等[6]指出產(chǎn)出導(dǎo)向模型比投入導(dǎo)向模型更適用于解決資源分配問(wèn)題，所以他們基于DEA產(chǎn)出導(dǎo)向模型建立分配模型。Yan Hong等[7]在保持決策單元效率不變的前提下，基于逆DEA模型建立資源分配模型。Beasley[8]以最大化平均效率為目標(biāo)，建立資源分配模型。Korhonen和Syrjanen[9]在投入和產(chǎn)出以等比例變動(dòng)的前提下，以系統(tǒng)的總產(chǎn)出實(shí)現(xiàn)最大為目標(biāo)函數(shù)，建立資源分配模型。Asmild等[10]從使系統(tǒng)整體效率得到提高的角度考慮，提出一種只分配給無(wú)效決策單元的分配模型。Bi Gongbing等[11]的分配模型則從每一個(gè)決策單元的角度考慮，允許每一個(gè)決策單元在分配后發(fā)生投入規(guī)模的增減變動(dòng)。Nasrabadi等[12]將提出系統(tǒng)表現(xiàn)的概念，并將其定義為分配資源后決策單元效率的凸組合，他們以系統(tǒng)表現(xiàn)最優(yōu)為目標(biāo)函數(shù)，建立資源分配模型。Cherchye等[13]將系統(tǒng)整體效率分解為所有決策單元的產(chǎn)出效率，并據(jù)此分解結(jié)果進(jìn)行資源分配。Fang Lei[14]對(duì)非有效決策單元設(shè)置某一程度的效率進(jìn)步，以使系統(tǒng)整體效率得到改進(jìn)為目標(biāo)函數(shù)，建立資源分配模型。

另一類分配模型是從公平性、折中以及決策單元交叉效率的角度出發(fā)，進(jìn)行資源分配。Mandell[15]指出分配模型需考慮公平性和有效性。Golany和Tamir[16]進(jìn)一步指出分配模型應(yīng)同時(shí)考慮公平、有效和效率，他們稱之為3E原則。為了實(shí)現(xiàn)公平分配，Athanassopoulos[17]提出一種兩階段的TARBA模型：第一階段采用DEA模型的線性形式為每個(gè)決策單元找到一組最佳的權(quán)重，第二階段依據(jù)這一組權(quán)重進(jìn)行分配。Karsu和Morton[18]從分配對(duì)象相互制約平衡的角度，建立資源分配模型。李曉亞和崔晉川[19]認(rèn)為中央決策者在進(jìn)行資源分配時(shí)需要考慮生產(chǎn)效率和規(guī)?；貓?bào)兩個(gè)因素，他們基于決策單元的折中權(quán)，建立資源分配模型。Du Juan等[20]基于決策單元的交叉效率，建立資源分配模型。崔玉泉等[21]基于決策單元的隨機(jī)加權(quán)交叉效率和規(guī)模彈性，建立資源分配模型。

以上研究成果對(duì)于解決額外資源問(wèn)題提供了很好的借鑒，但仍然存在以下不足。第一，現(xiàn)有的模型和方法大多從系統(tǒng)最優(yōu)的角度出發(fā)，對(duì)系統(tǒng)擁有的全部資源進(jìn)行重新分配，優(yōu)化模型給出的分配結(jié)果可能會(huì)造成決策單元的資源占有數(shù)量發(fā)生大幅度的增減調(diào)整。比如，那些資源利用效率較低的決策單元可能在分配后反而失去了一定數(shù)量的投入資源，甚至是不再占有任何資源。或者，那些規(guī)模報(bào)酬遞減的決策單元需要讓出一部分原本占有的投入資源。第二，在多個(gè)投入多個(gè)產(chǎn)出的情況下，優(yōu)化模型給出的分配結(jié)果甚至還可能使決策單元某種投入對(duì)應(yīng)的松弛變量由零變?yōu)榉橇?，造成決策單元由原本的強(qiáng)技術(shù)有效變?yōu)槿跫夹g(shù)有效(Zhang Meng等[22])。這意味著存在這樣一種分配結(jié)果：某一種額外的投入資源已經(jīng)全部分配完，而其它額外投入資源尚未分配完。倘若繼續(xù)分配，那么系統(tǒng)總產(chǎn)出將不再增加。那么，應(yīng)如何辨識(shí)出額外資源結(jié)構(gòu)上的這種冗余，及時(shí)地停止分配？第三，現(xiàn)有研究對(duì)于額外資源數(shù)量幾乎沒(méi)有任何的限制。由于規(guī)模報(bào)酬效應(yīng)的存在，額外資源并非越多越好，存在某些(可能不止一個(gè))臨界值，當(dāng)額外資源數(shù)量超過(guò)這些臨界值的時(shí)候，整個(gè)系統(tǒng)的全部產(chǎn)出將不再增加。那么，應(yīng)如何辨識(shí)出額外資源規(guī)模上的這種冗余？系統(tǒng)總產(chǎn)出增加的極限是多少？這些問(wèn)題仍然值得進(jìn)一步探討。第四，現(xiàn)有方法和模型對(duì)于決策單元技術(shù)效率和規(guī)模報(bào)酬的考慮并不充分。效率反映了決策單元的資源利用能力，效率越高(低)說(shuō)明單位資源投入獲得的產(chǎn)出越多(少)。規(guī)模報(bào)酬反映了決策單元的投入規(guī)模有效性，規(guī)模報(bào)酬遞增(遞減)說(shuō)明投入規(guī)模的不足(冗余)。Wei Quanling等[1]認(rèn)為額外資源分配應(yīng)充分考慮決策單元的技術(shù)效率和規(guī)模報(bào)酬，但是他們尚未建立分配模型。崔玉泉等[21]的分配模型以交叉效率與規(guī)模彈性作為分配權(quán)重，但是由于交叉效率綜合了決策單元的自評(píng)與他評(píng)，是多種評(píng)價(jià)結(jié)果之間的平均結(jié)果，所以該模型得到的是一種折中的、均衡的分配結(jié)果。那么，從額外資源帶來(lái)最大化產(chǎn)出增加的角度，分配模型應(yīng)如何綜合考慮決策單元的技術(shù)效率和規(guī)模報(bào)酬？

另一方面，關(guān)于縮減任務(wù)分?jǐn)倖?wèn)題，現(xiàn)有研究對(duì)此類問(wèn)題鮮有深入考慮。任務(wù)分?jǐn)倖?wèn)題與DEA領(lǐng)域中的公共成本分?jǐn)倖?wèn)題(Cook和Kress[23]、Cook和Zhu[24]、Beasley[8]、Du Juan等[20]、Lin Ruiyue[25]、Li Yongjun等[26]、雷西洋等[27]、張冉等[28])存在某些相似之處，但也有所不同。公共成本分?jǐn)倖?wèn)題考慮的是，如何把建設(shè)公共平臺(tái)所需的公共成本分?jǐn)偨o每一個(gè)決策單元，并作為這個(gè)決策單元額外增加的投入[20]。例如，把某一企業(yè)的廣告費(fèi)用支出分?jǐn)偨o每一個(gè)零售商[23]。在這兩類問(wèn)題中，決策單元的動(dòng)機(jī)是相同的，每一個(gè)決策單元希望自己承擔(dān)的縮減任務(wù)或者公共成本越少越好。不同的是，公共成本分?jǐn)倖?wèn)題隱含的假設(shè)是，系統(tǒng)整體擁有的投入資源將有所增加，這部分增加的投入將用于公共成本支出；而任務(wù)分?jǐn)倖?wèn)題隱含的假設(shè)則是，系統(tǒng)整體擁有的投入資源將有所減少。盡管一些資源分配模型(例如，Golany和Tamir[4]、Bi Gongbing等[11]、Yan Hong等[7])也可以用來(lái)解決任務(wù)分?jǐn)倖?wèn)題，但是這些模型得到的分配結(jié)果屬于資源的重新配置，這很可能使系統(tǒng)整體的資源利用率得到提高，造成系統(tǒng)的總產(chǎn)出在分?jǐn)偤蠓炊兴黾印?/p>

本文認(rèn)為額外資源分配和縮減任務(wù)分?jǐn)倯?yīng)按照系統(tǒng)資源占用數(shù)量的實(shí)時(shí)增減需求進(jìn)行“按需分配”，即：對(duì)系統(tǒng)需要額外增加或減少的那一部分資源進(jìn)行配置，并非對(duì)系統(tǒng)可占用全部資源進(jìn)行重新配置。

其次，從充分利用額外資源的角度，額外資源分配應(yīng)使系統(tǒng)的總產(chǎn)出增加達(dá)到最大。當(dāng)額外資源數(shù)量不足以滿足系統(tǒng)內(nèi)決策單元的全部需求時(shí)，分配結(jié)果應(yīng)使有限的額外資源發(fā)揮最大的價(jià)值，即分配應(yīng)實(shí)現(xiàn)產(chǎn)出增量的最大化。當(dāng)額外資源投入在規(guī)模上、或者在結(jié)構(gòu)上存在冗余時(shí)，額外資源分配應(yīng)適可而止，即：在額外資源投入不再帶來(lái)產(chǎn)出增加的時(shí)候及時(shí)地停止分配，而不必將全部額外資源分配出去。另一方面，解決任務(wù)分?jǐn)倖?wèn)題時(shí)應(yīng)使系統(tǒng)的總產(chǎn)出減少實(shí)現(xiàn)最小。并且，一旦存在一種投入資源的縮減任務(wù)超過(guò)系統(tǒng)當(dāng)前的擁有數(shù)量，分?jǐn)倯?yīng)及時(shí)地停止。

再有，不論是分配還是分?jǐn)偅紤?yīng)考慮到系統(tǒng)內(nèi)每一個(gè)決策單元當(dāng)前的資源占用情況。在額外資源分配問(wèn)題中，系統(tǒng)內(nèi)任何一個(gè)決策單元所占有的資源數(shù)量不應(yīng)因此而被削減，即：決策單元的資源占有數(shù)量要么保持不變，要么有所增加。在任務(wù)分?jǐn)倖?wèn)題中，系統(tǒng)內(nèi)任何一個(gè)決策單元也不應(yīng)因此而擁有更多的資源，即：決策單元的資源占有數(shù)量要么保持不變，要么有所縮減。

最后，選擇哪些決策單元進(jìn)行分配或分?jǐn)?，這取決于在增減資源投入后決策單元產(chǎn)出的變動(dòng)情況。對(duì)于技術(shù)有效的決策單元而言，決策者能夠依據(jù)規(guī)?？勺兩a(chǎn)前沿面進(jìn)行判斷。那么，對(duì)于非技術(shù)有效的決策單元而言，應(yīng)該如何對(duì)他們的投入和產(chǎn)出變動(dòng)關(guān)系進(jìn)行估計(jì)？佘冰玲和崔晉川[29]在“一個(gè)投入一個(gè)產(chǎn)出”情況下，綜合決策單元的技術(shù)效率與規(guī)模彈性建立發(fā)展曲線。發(fā)展曲線概念的提出，對(duì)于估計(jì)決策單元(特別是非技術(shù)有效的決策單元)在投入規(guī)模擴(kuò)大或縮小后產(chǎn)出數(shù)量的變動(dòng)情況，提供了一種新的思路。那么，能否將其推廣至“多個(gè)投入多個(gè)產(chǎn)出”情況？

綜合以上，本文在“多個(gè)投入多個(gè)產(chǎn)出”情況下提出一種額外資源按需分配方法。首先，綜合決策單元的技術(shù)效率與其投影點(diǎn)的規(guī)模彈性構(gòu)建發(fā)展曲線，并由決策單元的發(fā)展曲線獲知其投入變動(dòng)與產(chǎn)出變動(dòng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。然后，把額外資源分成若干等份，每一等份盡可能的小，把每一份額外資源分配給產(chǎn)出增加最大的那些決策單元；重復(fù)這一過(guò)程，直至分配完全部的額外資源，或者任意一個(gè)決策單元的產(chǎn)出都不再增加。最后，把決策單元在每一次分配過(guò)程中獲得的資源進(jìn)行累加，得到這個(gè)決策單元最終的分配結(jié)果。本文稱這種分配過(guò)程為按需分配，因?yàn)樗軌虬凑障到y(tǒng)實(shí)際的分配需求進(jìn)行分配，分配結(jié)果不會(huì)縮減任意一個(gè)決策單元當(dāng)前占有的資源數(shù)量，并且在發(fā)現(xiàn)額外資源存在冗余時(shí)能夠及時(shí)地停止分配，避免不必要的分配。

關(guān)于縮減任務(wù)分?jǐn)倖?wèn)題，分?jǐn)倳r(shí)同樣依據(jù)決策單元的發(fā)展曲線，并把每一份的縮減任務(wù)分?jǐn)偨o產(chǎn)出減小最少的那些決策單元，重復(fù)這一過(guò)程，直至完成分?jǐn)側(cè)蝿?wù)，或者決策單元擁有的資源已經(jīng)全部被分?jǐn)偂Ｓ捎谄南拗?，具體模型從略。

2 基本假設(shè)和基本模型

于是，額外資源分配問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，求解出一組ΔX1,ΔX2,…,ΔXn使系統(tǒng)的總產(chǎn)出增加實(shí)現(xiàn)達(dá)到最大。在多個(gè)產(chǎn)出的情況下，這將是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，它的最優(yōu)解是Pareto解。

圖1 額外資源分配問(wèn)題中，分配前后決策單元的投入與產(chǎn)出

2.1 基本假設(shè)

假設(shè)1：在額外資源分配問(wèn)題中，不需要考慮額外投入資源的來(lái)源和成本。比如，這筆額外資源來(lái)自于政府補(bǔ)貼，額外資源的成本由政府承擔(dān)。系統(tǒng)內(nèi)任意一個(gè)決策單元都是理性的，希望分配到盡可能多的額外資源。

假設(shè)2：分配目標(biāo)是使系統(tǒng)的總產(chǎn)出增加實(shí)現(xiàn)最大化。由于該問(wèn)題需要計(jì)算既定額外投入增加時(shí)最大化的產(chǎn)出增量是多少。相比DEA投入導(dǎo)向的模型，該問(wèn)題更適宜采用DEA產(chǎn)出導(dǎo)向的模型(Fare等[6])，所以本文采用產(chǎn)出導(dǎo)向的模型。

假設(shè)3：額外資源分配不應(yīng)縮減決策單元任意一種投入原本的占有數(shù)量，即滿足ΔXj≧0。

假設(shè)4：額外資源分配需要綜合考慮決策單元的發(fā)展曲線。分配過(guò)程中，選擇那些能夠產(chǎn)出增加最大的那些決策單元進(jìn)行分配，從而保證每一次分配使系統(tǒng)總產(chǎn)出增加實(shí)現(xiàn)最大。

假設(shè)5：額外資源分配問(wèn)題不考慮技術(shù)進(jìn)步(假設(shè)生產(chǎn)可能集保持不變)，這意味著分配后決策單元的投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)仍然落在原來(lái)的生產(chǎn)可能集中。

2.2 計(jì)算DMUs技術(shù)效率的模型：BCC模型

maxη0

λj≧0,j=1,…,n

(1)

其中，s-和s+分別表示分別投入和產(chǎn)出的松弛變量。λ1,λ2,…,λn分別表示DMU0賦予每個(gè)決策單元的權(quán)重。

由于松弛變量的存在，在判斷DMU0是否為技術(shù)有效時(shí)，還需要進(jìn)一步求解模型(2)：

maxe1×ms-+e1×ss+

λj≧0,j=1,…,n

(2)

其中，e1×m和e1×s分別表示1×m維和1×n維的單位向量。模型(2)的最求解記為s-*和s+*，它們是一組最大的松弛變量。

根據(jù)模型(1)和(2)，BCC模型的生產(chǎn)可能集為：

2.3 計(jì)算DMUs規(guī)模報(bào)酬的模型：彈性模型

α>1,β≧1

λj≧0,j=1,…,n

(3)

ωj>0,j=1,…,n

(4)

2.4 計(jì)算DMUs發(fā)展曲線的算法

根據(jù)Banker等[30]，決策單元的規(guī)模報(bào)酬與其投影點(diǎn)的規(guī)模報(bào)酬類型相同。因而，發(fā)展曲線的基本假設(shè)是：決策單元在發(fā)展曲線上的右彈性與其投影點(diǎn)在BCC生產(chǎn)前沿面上的右彈性相等；決策單元在反方向發(fā)展曲線上的左彈性與其投影點(diǎn)在BCC生產(chǎn)前沿面上的左彈性相等。

在多個(gè)投入多個(gè)產(chǎn)出情況下，DMU0的發(fā)展曲線通過(guò)不斷擴(kuò)大DMU0的投入規(guī)模得到。不妨設(shè)，每次以數(shù)量ξ>0擴(kuò)大第i種投入(i=1,…,m)。

步驟3：把以上算法得到的線段和射線是相連的，它們共同構(gòu)成DMU0的發(fā)展曲線。

重復(fù)上述步驟，計(jì)算出所有決策單元的發(fā)展曲線。為了便于使用，把DMUj(j=1,…,n)的發(fā)展曲線記作Fj(X,Y)=0。

3 額外資源按需分配算法

由于額外資源R對(duì)于當(dāng)前的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)可能是不足的，也可能過(guò)量的，所以本節(jié)給出的按需分配算法把額外資源分成若干等份，每次分配僅分配一個(gè)等份的額外資源，直至分配出全部的額外資源，或者某一份額外資源的分配不能帶來(lái)任何的產(chǎn)出增加。

對(duì)于每一等份的額外資源，分配原則是依據(jù)決策單元的發(fā)展曲線，把這一份額外資源分配給產(chǎn)出增量最大的那些決策單元，從而確保這次分配使系統(tǒng)總產(chǎn)出增加達(dá)到最大。分配到額外資源的決策單元，他們的投入與產(chǎn)出將依據(jù)發(fā)展曲線的走勢(shì)進(jìn)行擴(kuò)大，并進(jìn)入到下一次分配。未分配到額外資源的決策單元，他們的投入與產(chǎn)出將保持不變，并進(jìn)入到下一次分配。上述分配原則保證了最終的分配結(jié)果不會(huì)縮減任意一個(gè)決策單元原本占有的資源數(shù)量。

假設(shè)把額外資源R等分為M份(M為某無(wú)窮大常數(shù))。以下算法在每次迭代的過(guò)程中，把R/M的額外資源在決策單元之間進(jìn)行分配。

s.t.Fj(Xj+ΔXj,Yj+ΔYj)=0,j=1,…,n

ΔXj≧0, ΔYj≧0,j=1,…,n

(5)

4 算例

4.1 算例1

本例在“一個(gè)投入一個(gè)產(chǎn)出”情況下考慮5個(gè)決策單元，見(jiàn)表1。其中，I(1)表示投入，O(1)表示產(chǎn)出。決策單元的技術(shù)效率由模型(1)計(jì)算得到。DMU1、DMU4和DMU5是強(qiáng)技術(shù)有效的，投影點(diǎn)分別是其自身。DMU2和DMU3是技術(shù)無(wú)效的，DMU2的投影點(diǎn)坐標(biāo)為(14/5,13/5)，DMU3的投影點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3)，正好是DMU4的坐標(biāo)。把投影點(diǎn)帶入模型(4)，得到每一個(gè)決策單元在其發(fā)展曲線上當(dāng)前坐標(biāo)位置的右彈性。圖2給出了由這5個(gè)決策單元得到BCC生產(chǎn)前沿線和BCC生產(chǎn)可能集。

表1 算例1中的5個(gè)決策單元

圖2 BCC生產(chǎn)可能集

根據(jù)第2.4節(jié)發(fā)展曲線的迭代算法，得到這5個(gè)決策單元發(fā)展曲線的函數(shù)表達(dá)式：

DMU1:y=2x-3，當(dāng)2≦x<3時(shí)；

y=(1/2)x+(3/2)，當(dāng)3≦x<5時(shí)；

y=4，當(dāng)5≦x時(shí)。

DMU2:y=(12/13)x-18/13，當(dāng)14/5≦x<3時(shí)；

y=(3/13)x+9/13，當(dāng)3≦x<5時(shí)；

y=24/13，當(dāng)5≦x時(shí)。

DMU3:y=(1/3)x+1，當(dāng)3≦x<5時(shí)；

y=8/3，當(dāng)5≦x時(shí)。

DMU4:y=(1/2)x+(3/2)，當(dāng)3≦x<5時(shí)；

y=4，當(dāng)5≦x時(shí)。

DMU5:y=4，當(dāng)5≦x時(shí)。

初始狀態(tài)下，系統(tǒng)的總投入是15.8，總產(chǎn)出是11.2。利用第3節(jié)中的按需分配算法進(jìn)行額外資源分配：

其余情況(當(dāng)26/5

表2 算例1每一階段額外資源分配方案

上述分配過(guò)程說(shuō)明，隨著額外資源R不斷增加，選擇進(jìn)行額外資源分配的決策單元不斷發(fā)生著變化，分配次序依次為：DMU1?DMU2?DMU1,DMU4?DMU3?DMU2(?表示優(yōu)先于)。于是，決策單元的選擇過(guò)程可劃分為五個(gè)階段，見(jiàn)圖3中的①至⑤。在每一階段，按需額外資源分配算法每次總是優(yōu)先選擇全部發(fā)展曲線之中斜率最大的一段折線段進(jìn)行分配。

第一階段的額外資源數(shù)量在0和1之間(0≦R≦1)，此時(shí)額外資源R只分配給DMU1。于是，單位額外資源投入帶來(lái)的總產(chǎn)出增加，取決于DMU1發(fā)展曲線在點(diǎn)(2,1)到點(diǎn)(3,3)這一段折線段的斜率。所以，第一階段系統(tǒng)總投入最大增量為1，系統(tǒng)總產(chǎn)出最大增量為2，邊際總產(chǎn)出增加為2。

進(jìn)入到第二階段后，DMU1保持第一階段獲得額外資源(數(shù)量為1)，不再增加。余下的額外資源(數(shù)量為R-1)只分配給DMU2。在此階段，單位額外資源投入帶來(lái)的總產(chǎn)出增加，取決于DMU2發(fā)展曲線在點(diǎn)(14/5,6/5)到點(diǎn)(3,18/13)這一段折線段的斜率。所以，第二階段系統(tǒng)總投入最大增量為1/5，系統(tǒng)總產(chǎn)出最大增量為12/65，邊際總產(chǎn)出增加為12/13。

圖3 分配過(guò)程中選擇決策單元的先后次序

進(jìn)入到第三階段后，DMU2保持第二階段獲得的額外資源(數(shù)量為1/5)，不再增加。DMU1除了擁有第一階段獲得的額外資源(數(shù)量為1)，還將與DMU4均分余下額外資源(數(shù)量為0.5R-0.6)。在此階段，單位額外資源投入帶來(lái)的總產(chǎn)出增加，取決于DMU1和DMU4發(fā)展曲線在點(diǎn)(3,3)到點(diǎn)(5,4)這一段折線段的斜率。所以，第三階段系統(tǒng)總投入最大增量為4，系統(tǒng)總產(chǎn)出最大增量為2，邊際總產(chǎn)出增加為1/2。

同理可知，第四階段的邊際總產(chǎn)出增加為1/3，它取決于DMU3發(fā)展曲線在點(diǎn)(3,2)到點(diǎn)(5,8/3)這一段折線段的斜率。第五階段的邊際總產(chǎn)出增加為3/13，它取決于DMU2發(fā)展曲線在點(diǎn)(3,18/13)到點(diǎn)(5,24/13)這一段折線段的斜率。

由此可知，從第一階段至第五階段，單位額外資源投入帶來(lái)的系統(tǒng)總產(chǎn)出增加不斷降低，直至系統(tǒng)總產(chǎn)出增加為零。因此，隨著額外資源不斷增加，邊際系統(tǒng)總產(chǎn)出增加是一種“臺(tái)階狀”遞減的。

圖4給出了額外資源數(shù)量與系統(tǒng)總產(chǎn)出增量?jī)烧叩臄?shù)量關(guān)系。由于它們的關(guān)系表現(xiàn)為折線段形式，所以這條折線段的斜率(即邊際系統(tǒng)總產(chǎn)出增加)是“臺(tái)階狀”的，并且是遞減的。當(dāng)額外資源數(shù)量達(dá)到9.2時(shí)，系統(tǒng)總產(chǎn)出增量達(dá)到最大，為2+12/65+2+2/3+6/13≈5.313(①至⑤階段的最大產(chǎn)出增量的累加)。當(dāng)額外資源數(shù)量超過(guò)9.2時(shí)，系統(tǒng)總產(chǎn)出增量將保持5.313不變。

圖4 額外資源數(shù)量與總產(chǎn)出對(duì)應(yīng)關(guān)系圖

4.2 算例2

本例在“兩個(gè)投入一個(gè)產(chǎn)出”的情況下，考慮6個(gè)決策單元。他們的投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)見(jiàn)表3。其中，I(1)表示第一種投入，I(2) 表示第二種投入，O(1)表示產(chǎn)出。決策單元的技術(shù)效率和右彈性由模型(1)(2)(4)計(jì)算得到。僅有DMU2是技術(shù)無(wú)效的，其他決策單元均為強(qiáng)技術(shù)有效的。由這6個(gè)決策單元得到的BCC生產(chǎn)可能集為三維凸多面體，見(jiàn)圖5。

表3 算例2中的6個(gè)決策單元

注：表內(nèi)技術(shù)效率和右彈性的數(shù)值為四舍五入近似值。本例采用軟件Matlab2016b計(jì)算。

注：圖中的空心圓點(diǎn)為DMU2的投影點(diǎn)。圖5 BCC生產(chǎn)可能集

取ξ=0.001(若精度要求更高，可在初始設(shè)置將ξ取更小的值)，計(jì)算決策單元的發(fā)展曲線。如圖6所示，只有DMU2的發(fā)展曲線保持在BCC前沿面以內(nèi)，而其他決策單元的發(fā)展曲線都在BCC前沿面上。DMU5和DMU6的發(fā)展曲線上任意一點(diǎn)的右彈性均為零。

圖6 決策單元的發(fā)展曲線

額外資源分配同樣是優(yōu)先對(duì)發(fā)展曲線中最陡峭的部分進(jìn)行分配。隨著額外資源的不斷增加，分配次序依次為：DMU1?DMU2?DMU3?DMU1?DMU2?DMU4，見(jiàn)圖7。

圖7 分配過(guò)程中選擇決策單元的先后次序

圖8給出了系統(tǒng)總產(chǎn)出增量與額外資源的三維圖。額外資源數(shù)量越大，系統(tǒng)總產(chǎn)出增量越大。系統(tǒng)總產(chǎn)出增加存在極限，這一極限的數(shù)值四舍五入后為19.975。

圖8 額外資源數(shù)量與總產(chǎn)出對(duì)應(yīng)關(guān)系圖

在這個(gè)算例中，由于具有兩種投入，很可能出現(xiàn)一種額外投入資源已全部分配完，而另一種額外投入資源尚未分配完。相比以往的資源分配模型，按需分配算法的優(yōu)勢(shì)是這種算法能夠辨識(shí)出這種由額外投入資源結(jié)構(gòu)(兩種投入的比例關(guān)系)上的冗余。

例如，考慮一種極端的情況：第一種額外投入資源是充足的，第二種額外投入資源是有限的。在圖8中，令第二種投入保持某一既定數(shù)量不變，作一個(gè)平面，那么這個(gè)平面與圖8中的凸多面體(BCC生產(chǎn)可能集)存在一條交線。這條交線反映出任意第一種投入資源數(shù)量對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)總產(chǎn)出增量，見(jiàn)圖9。這條交線是邊際遞減的，并且它的極限值代表了系統(tǒng)總產(chǎn)出增量的極限(低于19.975)。盡管第一種額外投入資源是充足的，但是系統(tǒng)只需要有限數(shù)量的第一種額外投入資源，過(guò)量的第一種額外投入資源對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是不必要的。

圖9 第一種額外投入資源數(shù)量與總產(chǎn)出對(duì)應(yīng)關(guān)系圖

5 結(jié)語(yǔ)

文獻(xiàn)Wei Quanling等[1]的最后一段提出了這樣一類額外資源分配問(wèn)題：假設(shè)有一些額外的投入資源將要分配給全部或者部分決策單元，如果我們希望分配結(jié)果對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)(該系統(tǒng)由全部決策單元組成)來(lái)說(shuō)是最有益的，那么應(yīng)當(dāng)如何分配這些額外的投入資源？

針對(duì)這類問(wèn)題，本文提出一種額外資源按需分配方法。與現(xiàn)有方法相比，這種方法具有以下三方面特點(diǎn)。第一，該方法給出的分配結(jié)果不會(huì)縮減任意一個(gè)決策單元當(dāng)前占有的資源數(shù)量，所以不會(huì)出現(xiàn)分配后某個(gè)決策單元的投入反而變小的情況。第二，該方法能夠給出增加任意數(shù)量的額外資源，系統(tǒng)總產(chǎn)出最大能夠增加多少，為決策者提供分配后系統(tǒng)預(yù)期的總投入與總產(chǎn)出，以及每一個(gè)決策單元預(yù)期的投入與產(chǎn)出。第三，這種方法還可以在發(fā)現(xiàn)額外資源的規(guī)模上和結(jié)構(gòu)上存在冗余時(shí)及時(shí)地停止分配，從而避免不必要的分配。在多種投入的情況下，很可能出現(xiàn)這種情況：某種額外資源已經(jīng)全部分配完，而其他投入尚未全部分配完，但是繼續(xù)對(duì)尚未分配完的投入進(jìn)行分配，系統(tǒng)總產(chǎn)出將保持不變。不能使系統(tǒng)總產(chǎn)出增加的分配，實(shí)際上是無(wú)效的分配。所以，分配算法能夠自動(dòng)地識(shí)別出額外資源存在的冗余并停止分配，這對(duì)于額外資源的有效利用尤為重要。

本文給出的方法仍然具有一定的局限性，仍然存在一些問(wèn)題需要進(jìn)一步的深入研究。首先，本文給出的計(jì)算決策單元發(fā)展曲線算法與額外資源按需分配算法在本質(zhì)上都屬于“步長(zhǎng)法”。這種方法需要針對(duì)具體情況預(yù)先設(shè)定步長(zhǎng)。當(dāng)步長(zhǎng)設(shè)置得過(guò)大，會(huì)帶來(lái)估計(jì)偏差；步長(zhǎng)設(shè)置得過(guò)小，會(huì)大大增加算法需要的循環(huán)次數(shù)。盡管存在著以上不足，但是“步長(zhǎng)法”作為一種較為實(shí)用的估計(jì)方法，在對(duì)DEA生產(chǎn)前沿走勢(shì)進(jìn)行估計(jì)時(shí)取得了比較理想的估計(jì)結(jié)果，見(jiàn)Asmild 等[31]和Khoshandam等[32]。那么，除了“步長(zhǎng)法”，是否存在其他的優(yōu)化方法能夠解決額外分配問(wèn)題？

再有，本文給出的額外資源分配方法僅適用于增加既定數(shù)量的系統(tǒng)總投入情況，例如增加某一行業(yè)的財(cái)政補(bǔ)貼、增加科研津貼，增加額外硬件資源，配置新入職人員，等等?？s減任務(wù)分?jǐn)倖?wèn)題面向減少既定數(shù)量的系統(tǒng)總投入情況，因篇幅限制本文對(duì)此未作展開。除此之外，還存在另外兩類“按需配置”問(wèn)題也值得深入探討：1)假設(shè)決策者設(shè)定了某一系統(tǒng)總產(chǎn)出增加的目標(biāo)(或任務(wù))，現(xiàn)需要安排給全部或者部分決策單元完成，那么如何花費(fèi)最小的代價(jià)(即使系統(tǒng)投入增加最小)使該目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)？該問(wèn)題面向增加既定數(shù)量的系統(tǒng)總產(chǎn)出情況，比如地方政府或者企業(yè)計(jì)劃增加既定數(shù)量的某些經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出。2)假設(shè)決策者計(jì)劃壓縮一定數(shù)量的現(xiàn)有產(chǎn)出規(guī)模，那么應(yīng)當(dāng)如何對(duì)每一個(gè)決策單元設(shè)置產(chǎn)出壓縮目標(biāo)？該問(wèn)題面向減少既定數(shù)量的系統(tǒng)總產(chǎn)出情況，現(xiàn)實(shí)中對(duì)應(yīng)于淘汰過(guò)剩產(chǎn)能這一類非常重要的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。