王友春

(江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)蔣王中學(xué) 225126)

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，而問(wèn)題是引發(fā)學(xué)生思維與探究活動(dòng)的向?qū)?，是學(xué)生課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)的載體，是有效地激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲的催化劑.通過(guò)問(wèn)題，能使知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)與學(xué)生的思維過(guò)程有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，能使知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，能使學(xué)生主動(dòng)探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律、認(rèn)識(shí)與理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是習(xí)題探究課的教學(xué)中，要注重問(wèn)題設(shè)計(jì)的系統(tǒng)性、層次性和探究性，順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展的規(guī)律，讓學(xué)生在“問(wèn)題串”的引領(lǐng)下自主學(xué)習(xí)，激發(fā)其探究的積極性和能動(dòng)性.

下文是筆者結(jié)合自己的一次教學(xué)實(shí)踐，通過(guò)對(duì)出現(xiàn)在函數(shù)題中含全稱、存在量詞的一系列問(wèn)題(問(wèn)題串)的分析、探究，以期提高學(xué)生的思維能力、探究能力和課堂實(shí)效.

一、問(wèn)題的引入

問(wèn)題1已知函數(shù)f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax,a∈R,命題“?x∈[1,e]，f(x)≤g(x)成立”是真命題，求實(shí)數(shù)a的范圍.

∴a≤1.

評(píng)注1.對(duì)于含參數(shù)a的不等式f(x)≤g(x)恒成立問(wèn)題，可實(shí)施“分離變量”轉(zhuǎn)化為a≤h(x)恒成立，進(jìn)而使a≤hmin(x)；也可轉(zhuǎn)化為f(x)-g(x)≤0恒成立，進(jìn)而使[f(x)-g(x)]max≤0. 2.為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，由此題為引例，筆者設(shè)計(jì)了下面的一串問(wèn)題，力求讓學(xué)生“學(xué)一題，觸一類(lèi)，通一片”，演繹一次生動(dòng)的習(xí)題探究課.

二、拓展與探究

問(wèn)題2 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax,a∈R,命題“?x0∈[1,e]，使得f(x0)≤g(x0)成立”是真命題，求實(shí)數(shù)a的范圍.

探究同問(wèn)題1的分析，可對(duì)f(x)≤g(x)實(shí)行“分離變量”，同樣轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)的最值問(wèn)題.

評(píng)注1.對(duì)于含參數(shù)a不等式f(x)≤g(x)能成立問(wèn)題，實(shí)施“分離變量”轉(zhuǎn)化為a≤h(x)能成立，進(jìn)而使a≤hmax(x)；也可轉(zhuǎn)化為“f(x)-g(x)≤0能成立”，即使得[f(x)-g(x)]min≤0. 2.問(wèn)題2是在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上將“全稱命題”變?yōu)椤按嬖谛悦}”，若將命題中的兩個(gè)自變量區(qū)別開(kāi)，即f(x1)和g(x2)，就產(chǎn)生了下面的問(wèn)題3.

問(wèn)題3 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax，a>0，求證：?x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2).

探究只要證fmax(x1)≥gmin(x2)，x1,x2∈[1,2]，所以只要求出fmax(x1)和gmin(x2)，即得關(guān)于a的不等式.

評(píng)注1.對(duì)于含兩個(gè)存在量詞的命題：“?x1∈M,?x2∈N，使得f(x1)≥g(x2)成立”，不同于問(wèn)題1和2，兩個(gè)變量之間沒(méi)有必然聯(lián)系，需將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)“存在能成立”問(wèn)題逐個(gè)解決，即假設(shè)x1∈M,x2∈N時(shí)f(x1)和g(x2)的值域分別為A、B，若原命題是真命題，即在A、B中分別有一個(gè)元素a、b，使得a≥b即可，故只要“fmax(x1)≥gmin(x2)”即可！2.問(wèn)題3的否定：“?x1,x2∈[1,2]，f(x1)

問(wèn)題4 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax(a>0),命題“?x1,x2∈[1,2]，f(x1)≥g(x2)成立”是真命題，求a的范圍.____

探究這一恒成立問(wèn)題只需fmin(x1)≥gmax(x2)，故求fmin(x1)和gmax(x2)后得到關(guān)于a的不等式求解即可.

評(píng)注1.對(duì)于含兩個(gè)全稱量詞的命題：“?x1∈M,?x2∈N，使得f(x1)≥g(x2)成立”， 同樣不同于問(wèn)題1和問(wèn)題2，兩個(gè)變量之間沒(méi)有必然的聯(lián)系，故類(lèi)似問(wèn)題3假設(shè)x1∈M,x2∈N時(shí)f(x1)和g(x2)的值域分別為A、B，在A、B中各任取一個(gè)元素a、b，有a≥b恒成立，只要“fmin(x1)≥gmax(x2)”即可.2.如果此問(wèn)題中的兩個(gè)量詞分別是?和?，而且兩個(gè)變量的范圍也不同，則可設(shè)計(jì)出下面的問(wèn)題5.

問(wèn)題5 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax(a>0),命題“對(duì)?x1∈[1,e]，均?x2∈[1,2]，使得f(x1)

探究原命題?fmax(x1)

評(píng)注1.對(duì)于含兩個(gè)不同量詞的命題“?x1∈M，?x2∈N，使得f(x1)

問(wèn)題6 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax(a>0),命題“對(duì)?x1∈[1,e]，總?x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)成立”是真命題，求實(shí)數(shù)a的范圍.

探究原命題?“f(x)在[1,e]上的值域?yàn)锳，g(x)在[1,2]上的值域?yàn)锽，滿足A?B”，故先求兩個(gè)函數(shù)的值域A和B，再由A?B得到關(guān)于a的范圍的不等式求解即可.

評(píng)注1.對(duì)于含兩個(gè)不同量詞的命題“?x1∈M,，?x2∈N，使得f(x1)=g(x2)成立”，可轉(zhuǎn)化為“x1∈M，x2∈N時(shí)f(x1)和g(x2)和值域分別為A、B滿足A?B”，從而將“?,?,使得”型方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合的運(yùn)算問(wèn)題，使解題過(guò)程巧妙簡(jiǎn)化. 2，若將問(wèn)題6命題中的兩個(gè)量詞都改為“?”，則可設(shè)計(jì)如下的問(wèn)題7.

問(wèn)題7 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax(a>0),命題“?x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)成立”，求實(shí)數(shù)a的范圍.

探究原命題?“函數(shù)f(x)和g(x)在[1,2]上的值域分別為A、B，且A∩B≠?”，故先求出兩個(gè)函數(shù)的值域A和B，由“A∩B=?”得到a的取值范圍后再求其在(0,+)內(nèi)的補(bǔ)集即可.

評(píng)注1.對(duì)于含兩個(gè)存在量詞的命題“?x1∈M，?x2∈N，使得f(x1)=g(x2)成立”，?“函數(shù)f(x)和g(x)在[1,2]上的值域分別為A、B滿足A∩B≠?”，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先求A∩B=?時(shí)a的取值范圍，再求補(bǔ)集的思路. 2.這一問(wèn)題求解同上面問(wèn)題3的“評(píng)注”中所述，也運(yùn)用了“正難則反”的思想方法對(duì)問(wèn)題實(shí)行了有效地轉(zhuǎn)化.

三、總結(jié)與反思

后6個(gè)問(wèn)題由“問(wèn)題1”為源頭并基于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”進(jìn)行引申與拓展，巧設(shè)“問(wèn)題串”給出了函數(shù)題中含全稱、存在量詞的命題的常見(jiàn)類(lèi)型及其轉(zhuǎn)化方法，使數(shù)學(xué)問(wèn)題呈現(xiàn)出“一題多解、一題多變、多題同解”或分層遞進(jìn)，體現(xiàn)出分類(lèi)討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想與方法，讓復(fù)雜的問(wèn)題得以有效地解決.如問(wèn)題3和7，在分類(lèi)討論的思想基礎(chǔ)上學(xué)生都能想到，但為了優(yōu)化問(wèn)題的解決，引導(dǎo)學(xué)生采用“正難則反”即“求簡(jiǎn)變通”的思想，并留時(shí)間讓學(xué)生親自操作，提高實(shí)效.“真正有教育智慧的人，會(huì)把復(fù)雜的東西教得簡(jiǎn)單，會(huì)把簡(jiǎn)單的東西教的有深度有厚度”，真正有智慧的數(shù)學(xué)課也正是要于簡(jiǎn)約中蘊(yùn)含深刻，于樸素中綻放思想，于細(xì)微中展現(xiàn)機(jī)智，要讓學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)和合作探究能達(dá)到“會(huì)一題、通一類(lèi)”的效果，實(shí)現(xiàn)從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”轉(zhuǎn)變，要能透過(guò)現(xiàn)象看實(shí)質(zhì)、把握規(guī)律，大方無(wú)隅、大道無(wú)形地演繹精彩，實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)思想和根本目標(biāo).