李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

一、試題呈現(xiàn)

已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C：y2=4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于兩點(diǎn)A，B.若∠AMB=90°，則k=.

二、解法展示

圓錐曲線作為高考的重要內(nèi)容，每年必考，尤其是橢圓和拋物線.二者在每年的全國(guó)高考試卷和地方試卷中必然命制一大題一小題，作為大題和小題的壓軸題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，特別是運(yùn)算能力.小題一般有一定的技巧性，需要“精打細(xì)算”，靈活應(yīng)對(duì)，2018年全國(guó)高考數(shù)學(xué)Ⅲ卷第16題就是一個(gè)典型代表.對(duì)于本題，不同的切入點(diǎn)，將帶來(lái)不同解題效果和感受.

解法2 (從x=ty+a直線形式入手)設(shè)直線AB的方程為：x=ty+1，將其代入y2=4x得y2-4ty-4=0.設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1+y2=4t，y1y2=-4.由解法1得

取AB中點(diǎn)M′(x0,y0),分別過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線x=-1的垂線，垂足分別為A′,B′.

因?yàn)镸′為AB中點(diǎn)，所以MM′平行于x軸.

由M(-1,1)得y0=1，則y1+y2=2.所以k=2.

解得k=tanα=2.

解法7(從MF⊥AB入手)首先證明結(jié)論：如果過(guò)拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)F且斜率為k的直線與C交于兩點(diǎn)A，B，以線段AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于M，那么MF⊥AB.

點(diǎn)評(píng)高考題目是命題專家通過(guò)縝密思考，反復(fù)論證的精品試題.一些題看起來(lái)普普通通，但是卻暗藏著豐富的數(shù)學(xué)教學(xué)資源，尤其是解題方法，通過(guò)仔細(xì)的研究才能品出其味道.本題雖然是個(gè)小題，但是把解析幾何的常見(jiàn)技能技巧和特殊的解題方法都進(jìn)行了考查，只是我們的視角不同，切入點(diǎn)不同，導(dǎo)致解題感受大相徑庭.解法1是最常見(jiàn)的方法，卻是運(yùn)算量最大的，中途容易計(jì)算出錯(cuò)；解法2在解法1的基礎(chǔ)上略有改進(jìn)，運(yùn)算量下降；解法3利用了幾何位置關(guān)系，準(zhǔn)確率有保障；解法4、5巧妙地應(yīng)用了直線參數(shù)方程的概念，將參數(shù)t用活，斜率由k=tanα解出，很新穎；解法6運(yùn)用了整體代換的技巧，看似繁雜，實(shí)則簡(jiǎn)捷；解法7、8是站在已有經(jīng)驗(yàn)上解題，非?？旖?，前提是要知道這些結(jié)論，作為小題，這是最佳解法，又快又準(zhǔn)，這也提醒我們平時(shí)要注意積累；解法9的代入方式很新穎，整體代入，運(yùn)算簡(jiǎn)潔.數(shù)形結(jié)合的思想在本題中得到了淋漓盡致的考查，由MM′∥x軸得出yM=yM′多次用到.必修內(nèi)容和選修內(nèi)容相互支撐，甚至成為解題的亮點(diǎn)，常規(guī)解法與創(chuàng)新解法形成了鮮明的對(duì)比，這也體現(xiàn)了高考的功能之一，選拔人才，鼓勵(lì)創(chuàng)新.本題知識(shí)間的融合達(dá)到相當(dāng)?shù)母叨?，?duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的考查全面到位.

三、拓展訓(xùn)練

本題蘊(yùn)含的知識(shí)與方法在平時(shí)也可做一些準(zhǔn)備和訓(xùn)練，以提高學(xué)生的實(shí)戰(zhàn)能力.下面我們?cè)偻诰蛞恍┫嚓P(guān)的題目，練習(xí)對(duì)應(yīng)的方法.讓教學(xué)更有針對(duì)性和實(shí)效性.

題2 (可仿照解法2解答)已知拋物線C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)(2，0)的直線交C于A，B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓.證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上.

題5 (可仿照解法7、8解答)設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8.則l的方程為_(kāi)___.(答案y=x-1).