李 萍

（蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 蘭州 730060）

1 引言

如何有效控制顏色指標(biāo)體系是一個(gè)非常重要的課題。本文研究的物質(zhì)濃度與顏色之間的關(guān)系可用多種方法來判定，如物質(zhì)的特殊顏色、特征反應(yīng)現(xiàn)象、特殊工業(yè)生產(chǎn)、特征數(shù)據(jù)等方法均可使用。通過對(duì)所提供的有關(guān)顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析研究，用MATLAB多元線性回歸函數(shù)，建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間的關(guān)系模型。并對(duì)已給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行了判定，找出了影響判定的異常值，進(jìn)一步剔除異常數(shù)據(jù)后對(duì)誤差進(jìn)行分析，模型精度進(jìn)一步提高，方法具有實(shí)際推廣價(jià)值[1-4]。

2 多元線性回歸

假設(shè)隨機(jī)變量y與p個(gè)自變量x1,x2,x3,…xp之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，實(shí)際樣本量為n，其第i次觀測(cè)值為

其n次觀測(cè)值可寫為如下形式：

通過尋求β的估計(jì)值b，建立多元線性回歸方程模型：。

3 實(shí)例分析

對(duì)二氧化硫物質(zhì)濃度數(shù)據(jù)進(jìn)行顏色差值計(jì)算，結(jié)果如表1所示。

表1 物質(zhì)濃度與顏色差值

△B：B列數(shù)據(jù)的顏色差異；△G：G列數(shù)據(jù)的顏色差異；△R：R列數(shù)據(jù)的顏色差異；

△H：H列數(shù)據(jù)的顏色差異；△S：S列數(shù)據(jù)的顏色差異。

3.1 相關(guān)系數(shù)

運(yùn)用MATLAB工具箱，得到相關(guān)系數(shù)矩陣，線性相關(guān)檢驗(yàn)的值矩陣以及相關(guān)系數(shù)矩陣圖[5-8]，如圖1所示。

圖1 相關(guān)系數(shù)矩陣圖

圖1用橢圓色塊直觀的表示變量間的線性相關(guān)程度的大小。橢圓趨于圓形時(shí)，變量間相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近0，反之越扁，變量間相關(guān)系數(shù)越接近于1。若橢圓長(zhǎng)軸方向是從左下到右上，變量間為正相關(guān)，反之為負(fù)相關(guān)。若p值≤0.05，則認(rèn)為變量間的線性相關(guān)性是顯著地，反之則認(rèn)為不顯著。觀察圖1可知，濃度y值與相對(duì)應(yīng)的x2、x3、x4線性相關(guān)性是顯著的，x2與x3、x4線性相關(guān)性是顯著的。

針對(duì)以上數(shù)據(jù)分析，作5元線性回歸，建立y關(guān)于的回歸模型如下：

調(diào)用MATLAB工具箱里L(fēng)inearModel類的fit方法作多元線性回歸，返回參數(shù)估計(jì)結(jié)果和顯著性檢驗(yàn)結(jié)果。

用MATLAB編程，運(yùn)行程序得出經(jīng)驗(yàn)回歸方程如下：

判定系數(shù)R-squared為0.871，擬合程度較好。

對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，原假設(shè)和備擇假設(shè)分別為：H0:b1=b2=…=b5=0,H1:bi不全為0，i=1,2,…,5

方程檢驗(yàn)的p值（p-value = 3.43e-06）小于0.05，可知在顯著性水平α=0.05下應(yīng)拒絕原假設(shè)H0，可認(rèn)為回歸方程是顯著的，但并不是方程中的任何一項(xiàng)都是顯著的。x4的p值為0.0532基本與0.05持平，常數(shù)項(xiàng)、x1、x3、x5所對(duì)應(yīng)的的p值分別為0.5803、0.2781、0.9465、0.74419，均大于0.05，說明在顯著性水平0.05下，回歸方程的線性項(xiàng)x1、x3、x5均是不顯著的。其中x3最不顯著，其次是x5，再是常數(shù)項(xiàng)，最后是x1。

3.2 多重共線性判斷

判斷多重共線性方法有多種，本文選用基于方差膨脹因子的多重共線性方法[9-11]。模型為自變量xi關(guān)于其它自變量的多元線性回歸，計(jì)算模型的判定系數(shù)，定義第i個(gè)自變量的方差膨脹因子：

當(dāng)自變量xi與其它自變量線性相關(guān)顯著，接近于1，VIFi接近于無(wú)窮大，反之，接近于0，VIFi接近于1。VIFi越大說明線性相關(guān)越顯著，即存在共線性。VIF＜5，為共線性較弱；5 ≤VIF≤10,為中等程度共線性；VIF＞10，為共線性嚴(yán)重，必須設(shè)法消除共線性。常用的方法有：主成分回歸、變量變換、去除變量等方法[12,13]。

通過計(jì)算，VIF值分別為30.5032，542.5648，29.2250，731.0040，5.4828。由此可知，x5中等程度共線性，其他均共線性嚴(yán)重，尤其是x4和x2非常嚴(yán)重共線性。

3.3 誤差分析

通過MATLAB工具箱繪制殘差直方圖和正態(tài)分布概率圖，如圖2所示。

圖2 多元線性回歸殘差直方圖和殘差正態(tài)分布概率圖

圖3 去除異常值和不顯著項(xiàng)殘差直方圖和殘差正態(tài)分布概率圖

從程序運(yùn)行結(jié)果可知，殘差基本服從正態(tài)分布。

根據(jù)學(xué)生化殘差查找異常值，有3組數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常，觀測(cè)序號(hào)分別為1，10和11。

判定系數(shù)R-squared為0.977，較改進(jìn)前擬合度有很大提高。

對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)p值（p-value=5.88e-11）小于0.05，改進(jìn)后的方程是顯著的。

由圖3可知，殘差正態(tài)概率圖較改進(jìn)前更優(yōu)。

根據(jù)擬合的多元線性回歸方程，3元擬合和5元擬合的相對(duì)誤差，見表2所示。

表2 3元擬合和5元擬合的相對(duì)誤差

3元擬合和5元擬合的效果如圖4所示。

圖4 3元擬合和5元擬合

由圖4可知，3元多項(xiàng)式擬合方程的擬合效果優(yōu)于5元多項(xiàng)式擬合。擬合的相對(duì)誤差如圖5所示。

圖5 3元和5元擬合相對(duì)誤差圖

由圖5可知，3元擬合的觀測(cè)序號(hào)9，10，12，14，16五組數(shù)據(jù)相對(duì)誤差比5元擬合相對(duì)誤差大，其余16組數(shù)據(jù)均小于5元擬合的相對(duì)誤差。

3.4 異常值判斷

在學(xué)生化殘差查找異常值時(shí)，初步判定觀測(cè)序號(hào)第10，11為異常值，在3元擬合相對(duì)誤差判定中，第9為優(yōu)化模型的下一步需剔除的數(shù)據(jù)。當(dāng)二氧化硫物質(zhì)濃度為50時(shí)，所測(cè)得的數(shù)據(jù)均顯示異常，懷疑在此種物質(zhì)濃度測(cè)量時(shí)數(shù)據(jù)測(cè)量出現(xiàn)較大偏差，需重新測(cè)量。當(dāng)物質(zhì)濃度大于50時(shí)，3元擬合的相對(duì)誤差值較小，在這一物質(zhì)濃度范圍，擬合程度最優(yōu)[14]。

數(shù)據(jù)量越大，擬合的準(zhǔn)確度越好，若數(shù)據(jù)量很少，則回歸方程很難建立，且精度不高。而顏色維度與溶質(zhì)的偏色性有關(guān)，所以不同的溶質(zhì)選擇的顏色維度不同，顏色維度并不是選的越多越好，故針對(duì)某一物質(zhì)，應(yīng)選擇合適的顏色維度來進(jìn)行回歸擬合，再用回歸方程判定其物質(zhì)濃度。

4 結(jié)果和應(yīng)用

本文建立了多元線性回歸分析模型，判定顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間的關(guān)系。模型經(jīng)去除變量和剔除異常數(shù)據(jù)提高了精度，但物質(zhì)濃度的顏色讀數(shù)所測(cè)量的5個(gè)顏色維度之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，故所建立的回歸方程的如3元擬合的值為5.88e-11小于0.05，方程是顯著的，方程的常數(shù)項(xiàng)值為0.0028016小于0.05，但其他線性項(xiàng)值分別為0.12513，0.99429，0.38618所做的檢驗(yàn)的值大于0.05，其中最不顯著。在模型的進(jìn)一步優(yōu)化和改進(jìn)中，嘗試運(yùn)用去除變量，嶺回歸，主成分回歸等方法來消除多重共線性，在方程顯著的前提下，使方程的各線性項(xiàng)達(dá)到顯著[15，16]。