黃思俞，許艷秋，王宗箎，鄭冬梅，肖波齊

(三明學院 機電工程學院，福建 三明 365004)

在平靜的海面或沙漠上方，有時會出現(xiàn)城市建筑、亭臺樓閣、山水湖泊等自然景觀，這是由于光線在密度分布不均勻的大氣中傳播時，產(chǎn)生折射或全反射形成的上現(xiàn)蜃景或下現(xiàn)蜃景的海市蜃樓. 上現(xiàn)蜃景的出現(xiàn)是由于大氣的密度隨著高度的增加逐漸減小，折射率n也形成了隨高度的增加逐漸減小的梯度變化[1-4]. 例如，夏季在平靜的海面或湖面上，由于海水的蒸發(fā)，距離海面較近的地方大氣濕度大，密度也大，折射率n也就大，有可能在海面上出現(xiàn)上現(xiàn)蜃景的海市蜃樓. 下現(xiàn)蜃景的海市蜃樓恰好相反，主要出現(xiàn)在干旱的熱天，由于地面的溫度很高，貼近地面的氣體密度更小，氣體更稀薄，在距離地面的一定高度內(nèi)，氣體密度隨高度的增加逐漸變大，折射率n形成了隨高度的增加逐漸增大的梯度變化[5-6]. 例如，炎熱的夏季，在沙漠、戈壁灘等地方出現(xiàn)下現(xiàn)蜃景的海市蜃樓；在平直的高速公路上行車時，也經(jīng)常會看到前方遠處貼近柏油路面上出現(xiàn)遠方山峰縮小正立像的下現(xiàn)蜃景.

關(guān)于海市蜃樓的形成原因，很多文獻都利用分層折射率的方法進行分析. 光線經(jīng)過多次折射，入射角不斷增大，最后出現(xiàn)全反射改變光路方向[7-9]. 為更好地研究和分析海市蜃樓的形成原因，本文將以海市蜃樓中的上現(xiàn)蜃景為例，分別利用費馬原理和光學拉格朗日方程進行推導，得到大氣中光線傳播的軌跡方程，對海市蜃樓的形成原因進行分析，并利用濃液法對海市蜃樓中的上現(xiàn)蜃景進行實驗模擬再現(xiàn).

1 海市蜃樓形成的理論分析

1.1 根據(jù)費馬原理推導大氣中光線傳播的軌跡方程

當光線從空間某一點P經(jīng)過路徑C到達Q點，所經(jīng)過空間的折射率分布為n(x,y,z)時，在路徑中的任一處取一光線軌跡的路程元ds，如圖1所示，光線所經(jīng)過的光程定義為[10]

圖1 分層折射率法光線的折射全反射光路曲線和理論推導大氣中光線傳播的軌跡方程曲線

根據(jù)費馬原理光線將沿著2點之間的光程為極值的路線傳播，因而有

(1)

由于對稱性只需討論光線在豎直平面xoz內(nèi)的傳播，在光線傳播平面中x是水平方向，z是與x垂直的豎直方向(高度)，并假設(shè)大氣的折射率n只是高度z的函數(shù)，因而式(1)變?yōu)?/p>

(2)

由式(2)得

令

(3)

整理得

因而

(4)

將式(3)代入式(4)有

(5)

整理式(5)得光線在大氣中傳輸?shù)能壽E微分方程[11]為

(6)

假設(shè)折射率隨高度變化規(guī)律成指數(shù)關(guān)系n=n0e-αz，其中n0是底層空氣的折射率，α是正的系數(shù)，由式(6)得

分離變量并積分

(7)

整理式(7)得光線在大氣中傳輸?shù)能壽E方程

(8)

式(8)中α,n0,k,c取合適的常量. 根據(jù)(8)式得到向上凸的拋物線.

1.2 利用光學拉格朗日方程推導大氣中光線傳播的軌跡方程

設(shè)空氣折射率隨高度變化為n=n0e-αz，由光學拉格朗日關(guān)系得到光線方程為[12]

在近軸情況下ds≈dx，光線方程變?yōu)?/p>

由于對稱性，只需討論光線在xoz平面內(nèi)的傳播，其中x是光線傳播平面中與z垂直的水平方向，光線方程變?yōu)?/p>

(9)

解式(9)二次微分方程得

(10)

2 海市蜃樓的實驗模擬再現(xiàn)

2.1 濃液法模擬上現(xiàn)蜃景的實驗裝置

實驗裝置主要由透明玻璃水箱、開窗金屬箱殼、載物臺、實景物、激光筆、射燈等組成，如圖2所示. 配置好的NaCl水溶液放置在透明玻璃水箱中，側(cè)面觀察窗可以觀察NaCl質(zhì)量分數(shù)變化和激光光路，正面通過觀察窗可以觀察放置在載物臺上的實景物及上現(xiàn)蜃景. 射燈照亮實景物有利于上現(xiàn)蜃景的觀察.

圖2 實驗裝置

2.2 配制純凈的NaCl水溶液

NaCl水溶液由食用鹽配制而成，由于市面上購買的食鹽中含有較多雜質(zhì)，如果不去除雜質(zhì)，會導致配制的NaCl水溶液變渾濁，不利于實驗觀察. 因此用濾紙對食鹽水溶液進行過濾，經(jīng)過濾的NaCl水溶液變的更清澈透明.

2.3 形成平穩(wěn)NaCl水溶液和清水的交界面

2.3.1 紗網(wǎng)框的制作

紗網(wǎng)框在折射率梯度變化的NaCl水溶液形成中起著重要的作用. 在向裝了半箱NaCl水溶液的透明玻璃箱里注入清水時，紗網(wǎng)可以減少水流對溶液的沖擊和擾動，讓NaCl水溶液和清水層間形成清晰平穩(wěn)的分界面. 紗網(wǎng)框?qū)嵨锶鐖D2(b)所示，用細木條釘比玻璃箱內(nèi)壁尺寸略小的方框，框內(nèi)縫了3層紗布. 中間一層紗布的紋路傾斜著縫，是為了預防所有的網(wǎng)孔都疊加在一起，形成相同的孔隙，清水直接快速滲漏下去，沖擊液面. 由于細木條本身要承受3層紗網(wǎng)的重力，其浮力不足以支撐整個紗網(wǎng)框的重力，浮在液面上. 因此在木條上增加泡沫塑料，增加浮力.

2.3.2 NaCl水溶液和清水的注入

將質(zhì)量分數(shù)約為20%的 NaCl水溶液過濾后，緩慢倒入裝在金屬箱殼內(nèi)的透明玻璃箱中，液面高度約為箱體高度的一半. 再將蓋上1層濾紙的紗網(wǎng)框輕輕放入，紗網(wǎng)框浮在液面上，如圖2(c)所示. 在紗網(wǎng)框上鋪上1層濾紙，能夠更好地減少清水注入時對NaCl水溶液的沖擊和擾動. 待NaCl水溶液穩(wěn)定平靜后，利用虹吸法緩慢注入清水(用市面上出售的大桶引用水代替)，隨著清水的注入紗網(wǎng)框也跟著向上浮. 當清水加注到90%時停止注水，輕輕拿開紗網(wǎng)框，看到NaCl水溶液和清水之間形成了清晰的分界面，如圖2(a)所示. 與之前文獻報道的“保鮮膜法”相比，克服了在抽出保鮮膜時對NaCl水溶液和清水交界面或多或少的擾動，破壞分界面的穩(wěn)定，影響NaCl水溶液均勻梯度的形成.

2.4 均勻折射率梯度變化的NaCl水溶液形成與光路觀察

注入完清水后，NaCl水溶液和清水之間形成了清晰的分界面，隨著時間的增加NaCl會向清水層自由擴散. 由于在整個實驗過程中實驗臺包括箱體都保持靜止，因此自由擴散進行得較緩慢，并且從分界面均勻地向上層的清水擴散. 自由擴散進行一定時間后，在豎直方向就會出現(xiàn)NaCl溶液質(zhì)量分數(shù)的梯度變化，溶液的折射率也成梯度變化. 溶液中質(zhì)量分數(shù)梯度的大小也再隨著時間的增加而變化，這種變化過程持續(xù)的時間長達十幾個小時，直到箱中液體的質(zhì)量分數(shù)處處相同為止. 圖3分別是清水注入后2 h和6 h激光穿過液體光路發(fā)生彎曲的情況,可以看到經(jīng)過6 h自由擴散的溶液對激光光路的彎曲幅度，要比經(jīng)過2 h自由擴散的溶液對激光光路的彎曲幅度更大. 說明經(jīng)過6 h自由擴散的溶液質(zhì)量分數(shù)梯度更大，折射率梯度也更大.

(a)清水注入后2 h (b)清水注入后6 h圖3 清水注入不同時間激光穿過溶液的彎曲情況

圖3激光穿過溶液的光路和圖1光線在大氣中傳播的軌跡方程曲線，它們都是向上凸的拋物線，說明理論推導的軌跡方程與模擬實驗相符.

2.5 海市蜃樓的再現(xiàn)與觀察

圖4(a)是剛注好清水后從觀景窗觀察的景象. 圖中有3個像，最上面的倒立像是實景物光線在清水液面反射的像，中間的倒立像是實景物光線在NaCl水溶液和清水之間形成的分界面反射的像，最下面正立的像是實景物光線沿水平方向直接透過溶液的像. 由于此時并未形成NaCl水溶液的質(zhì)量分數(shù)梯度，因此未出現(xiàn)上現(xiàn)蜃景像. 圖4(b)是注好清水2 h后從觀景窗觀察的景象. NaCl水溶液的質(zhì)量分數(shù)梯度逐漸形成，中間比圖4(a)中多了1個正立的像(從上往下數(shù)第2個)，即上現(xiàn)蜃景的像，由于NaCl擴散層還比較薄所以像較矮較模糊. 同時看到中間的倒立像變模糊了，是由于NaCl水溶液和清水之間形成的分界面隨著自由擴散的進行變得不清晰，導致其反射像變模糊的緣故. 圖4(c)是注好清水6 h后從觀景窗觀察的景象. NaCl水溶液的質(zhì)量分數(shù)梯度完全形成，并且已接近最大值，NaCl水溶液和清水之間的分界面完全消失，反射像也消失，正立的上現(xiàn)蜃景像最清晰. 畫面中又只剩3個像，即最上面的液面反射倒立像、中間的上現(xiàn)蜃景像和最底下實景物光線沿水平方向直接透過溶液的像.

(a) 0 h (b) 2 h (c) 6 h圖4 不同時間從觀景窗觀察上現(xiàn)蜃景海市蜃樓

3 結(jié)束語

以上現(xiàn)蜃景為例，分別根據(jù)費馬原理和利用光學拉格朗日方程進行推導，得到光線在大氣中傳輸?shù)能壽E方程. 2個方程雖然形式上不同，但方程描繪的都是一系列向上凸的曲線，分析說明了上現(xiàn)蜃景海市蜃樓的形成原因. 最后利用濃液法對海市蜃樓中的上現(xiàn)蜃景進行了實驗模擬再現(xiàn). 實驗過程中采用紗網(wǎng)框上浮法注入清水，有效地減少了注入清水時對溶液的沖擊和擾動，得到了清晰平穩(wěn)的NaCl水溶液和清水分界面. 成功配制了折射率n隨高度均勻梯度變化的NaCl水溶液，觀察到了實景物清晰穩(wěn)定的上現(xiàn)蜃景像，順利完成了上現(xiàn)蜃景海市蜃樓的實驗模擬再現(xiàn).