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        沙漏流動(dòng)過(guò)程中重力變化現(xiàn)象

        2019-07-01 07:52:24荊世宏李川南胡安平尋之朋
        物理實(shí)驗(yàn) 2019年6期
        關(guān)鍵詞:實(shí)驗(yàn)質(zhì)量

        荊世宏,李川南,胡安平,尋之朋

        (中國(guó)礦業(yè)大學(xué) a.孫越崎學(xué)院;b.物理學(xué)院,江蘇 徐州 221116)

        沙漏作為時(shí)間的度量工具,在古時(shí)非常常用. 當(dāng)沙漏中的沙子流動(dòng)時(shí),沙漏的重力會(huì)發(fā)生變化[1-3],如圖1所示.

        圖1 沙漏中沙子流動(dòng)現(xiàn)象

        沙漏的重力發(fā)生變化,主要是內(nèi)部沙粒運(yùn)動(dòng)使得施加在沙漏上的力發(fā)生變化所致[4-8]. 本文采用理論和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法,重點(diǎn)對(duì)沙漏中沙子流動(dòng)導(dǎo)致沙漏重力變化的物理現(xiàn)象進(jìn)行詳細(xì)的研究.

        1 理論分析

        實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)沙漏重力變化如圖2所示,沙漏重力變化過(guò)程大致可分為6個(gè)階段,分別為初始階段、重力減小階段、重力回升階段、重力穩(wěn)定階段、重力上升階段和恢復(fù)原始重力階段.

        1.1 初始階段

        提取關(guān)鍵因素,建立如圖3所示的簡(jiǎn)化模型. 在初始階段,內(nèi)部沙子處于靜止?fàn)顟B(tài),裝置對(duì)底面的壓力為定值,稱為初始靜壓力. 此時(shí),裝置(包括沙子和沙漏)的重力即初始靜壓力為

        (1)

        其中M為容器質(zhì)量,mi為沙漏中第i粒沙子的質(zhì)量,n為沙??倲?shù)量,g為萬(wàn)有引力常量.

        圖2 沙漏重力變化實(shí)驗(yàn)曲線

        對(duì)于沙子,寫出質(zhì)心方程

        (2)

        其中m為沙子總質(zhì)量,yc為質(zhì)心高度,yi為第i粒沙子高度.

        實(shí)驗(yàn)中使用的沙粒很小,故可將(2)式推廣為積分形式

        (3)

        式中ρ為沙子密度,S(y)為y高度時(shí)沙子整體的截面面積.

        1.2 重力減小階段

        (4)

        顯然,此時(shí)重力小于靜止時(shí)重力,表現(xiàn)為失重.

        圖3 初始階段示意圖 圖4 重力減小階段示意圖

        1.3 重力回升階段

        如圖5所示. 此時(shí),下落的沙子對(duì)沙漏底面產(chǎn)生沖擊,由動(dòng)量定理有

        Δmv=FΔt,

        (5)

        即沖力的大小為

        (6)

        式中v為沙粒下落速度,Δm為剛好與沙漏底部接觸的沙子質(zhì)量,Δt為接觸時(shí)間.

        底面的壓力為

        (7)

        1.4 重力穩(wěn)定階段

        如圖6所示. 沙子穩(wěn)定流動(dòng)[9-12],此時(shí)的質(zhì)心方程為

        (8)

        式中,λ為沙子的質(zhì)量流密度,Sa(y)為沙漏上方沙子在y高度處的截面積,Sn(y)為沙漏下方沙子在y高度處的截面積.

        沙流穩(wěn)定流動(dòng)時(shí),式(8)第二項(xiàng)僅與沙子種類和裝置結(jié)構(gòu)有關(guān),即

        (9)

        其中ξ(ρ)為取決于沙子種類的函數(shù),ζ(h,σ)為取決于沙漏高度和孔徑大小的函數(shù).

        圖5 重力回升階段示意圖 圖6 重力穩(wěn)定階段示意圖

        將式(8)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),得

        (10)

        沙子穩(wěn)定流動(dòng)時(shí),顯然可以得到恒等關(guān)系,即

        (11)

        η為沙漏上方沙子總質(zhì)量對(duì)時(shí)間的變化率. 因此式(10)可以寫為

        (12)

        再對(duì)時(shí)間求導(dǎo),得到質(zhì)心的受力方程

        (13)

        由于是穩(wěn)定流動(dòng),故式(13)第一項(xiàng)為零,將其代入式(11)得到

        (14)

        顯然式(14)表征了沙子穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)裝置對(duì)底面的壓力變化數(shù)值.

        1.5 重力上升階段

        如圖7所示. 在這一階段,沙漏上部分的沙子全部漏完,下部分的沙子總重力不斷增大,而滯留在空中的沙子還在持續(xù)下落,即沙子對(duì)底面的沖力持續(xù)存在,此時(shí)裝置的總重力為

        (15)

        顯然,此階段重力數(shù)值將逐漸增大. 而當(dāng)a→n即沙子幾乎全部落完時(shí), 重力大小應(yīng)當(dāng)大于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的壓力,差值為F.

        1.6 恢復(fù)初始重力階段

        如圖8所示. 此時(shí)沙子全部落下,對(duì)底面沖量歸零,沙子對(duì)裝置的壓力完全由重力提供,數(shù)值與靜止初態(tài)壓力相同,即

        (16)

        圖7 重力上升階段示意圖 圖8 恢復(fù)初始重力階段示意圖

        值得注意的是,重力隨時(shí)間變化的過(guò)程存在2個(gè)明顯的峰:

        第一個(gè)峰出現(xiàn)在重力回升階段與重力穩(wěn)定階段之間. 重力回升階段沙子開始沖擊底面,裝置總重力迅速回升,最初始時(shí)是沙子與沙漏底面的直接碰撞,兩者之間無(wú)緩沖;而后續(xù)的沙子落在底面時(shí),先前已經(jīng)落下的沙子起到緩沖作用,因此后續(xù)的沙子沖擊底面時(shí),底面受到的沖力要小于最初始直接碰撞時(shí)的沖力,從而產(chǎn)生第一個(gè)重力變化峰.

        (17)

        當(dāng)滯留在空中的沙子全部落到沙漏底面,此時(shí)沖力F消失,裝置總重力變?yōu)?16)式. 裝置狀態(tài)從重力上升階段過(guò)渡到恢復(fù)初始重力階段. 這個(gè)過(guò)程中,裝置總重力經(jīng)歷了從(15)式到(17)式再到(16)式,從而產(chǎn)生第二個(gè)重力變化峰.

        通過(guò)上述理論分析,可以做出如下理論預(yù)測(cè):

        2) 空中滯留沙粒的質(zhì)量與沙漏孔徑和沙漏高度有關(guān).

        3) 沙漏粒徑大小可決定重力穩(wěn)定階段沙粒流所產(chǎn)生沖擊力的穩(wěn)定程度.

        2 實(shí)驗(yàn)研究

        從沙漏孔徑、沙子粒徑、漏斗高度3方面對(duì)沙漏重力變化進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究. 所使用的測(cè)量裝置及沙漏裝置如圖9~10所示. 實(shí)驗(yàn)過(guò)程用到了M400數(shù)據(jù)采集軟件、高精度電子天平以及Arduino微控制器[13]. 實(shí)驗(yàn)過(guò)程中所采集到的數(shù)據(jù)為裝置質(zhì)量數(shù)據(jù),由于實(shí)驗(yàn)過(guò)程中環(huán)境條件未發(fā)生變化,因此裝置重力與質(zhì)量為相互對(duì)應(yīng)關(guān)系.

        圖9 測(cè)量裝置

        圖10 實(shí)驗(yàn)裝置

        2.1 沙漏孔徑的影響

        圖11所示為沙漏孔徑為2.43 cm,2.76 cm,3.43 cm時(shí),沙漏重力與時(shí)間的關(guān)系曲線. 設(shè)定初始時(shí)刻為零重力參考點(diǎn),從圖11中可知,3.43 cm孔徑的沙漏在重力減小階段達(dá)到極小值時(shí),裝置對(duì)外呈現(xiàn)的質(zhì)量為-129 g,以g=9.8 N/kg,則裝置重力為-1.264 N,而孔徑為2.76 cm和2.43 cm時(shí)裝置重力分別為0.608 N和0.412 N. 因此,沙漏孔徑越大,沙漏在重力減小階段所能達(dá)到的極小值越小;同樣,在重力上升階段,3.43 cm,2.76 cm和2.43 cm沙漏孔徑在極大值處對(duì)外呈現(xiàn)的重力為0.823 N,0.294 N和0.225 N. 因此,沙漏在重力上升階段所能達(dá)到的重力極大值越大;由圖11可知,沙漏在重力穩(wěn)定階段的時(shí)間越短.

        圖11 改變沙漏孔徑后沙漏質(zhì)量與時(shí)間的關(guān)系圖

        2.2 沙子粒徑

        如圖12所示. 分別為2~4目、4~8目、10~20目和40~80目沙粒從沙漏落下時(shí),沙漏重力與時(shí)間的關(guān)系曲線. 從圖12可知,沙子粒徑越大,沙子對(duì)沙漏底部的沖擊越離散,沙漏重力曲線的振蕩現(xiàn)象越明顯;粒徑越小,沙子對(duì)沙漏底部的沖擊越趨近連續(xù),沙漏重力曲線越平滑.

        (a)2~4目

        (b)4~8目

        (c)10~20目

        (d)40~80目圖12 改變粒后沙漏質(zhì)量與時(shí)間的關(guān)系圖

        2.3 漏斗高度

        如圖13~15所示,沙漏在不同高度處,下落距離與裝置重力所達(dá)到的極值成線性關(guān)系. 分別對(duì)圖14和圖15中的沙漏最大重力、最小重力與下落高度的關(guān)系曲線進(jìn)行擬合,得到沙漏最小重力Gmin(N)與下落高度h(m)的關(guān)系為

        Gmin=-0.99h+14.30,

        (18)

        沙漏最大重力Gmax與下落高度h的關(guān)系為

        Gmax=0.65h+14.52.

        (19)

        由以上分析可知,沙子下落高度越高,離開體系的沙子(未與沙漏直接接觸的沙子)越多,沙漏所能達(dá)到的重力最小值越小,最大值越大.

        圖13 改變漏斗高度后沙漏質(zhì)量與時(shí)間的關(guān)系圖

        圖14 沙漏最小重力與下落高度的關(guān)系

        3 結(jié) 論

        對(duì)沙漏中沙子流動(dòng)導(dǎo)致沙漏重力變化進(jìn)行了詳細(xì)的研究. 依據(jù)實(shí)驗(yàn)曲線,將下落過(guò)程分成6個(gè)階段并對(duì)每個(gè)階段沙漏的重力進(jìn)行了理論分析. 實(shí)驗(yàn)研究得出以下結(jié)論:

        1)沙漏孔徑越大,離開體系的沙子越多,沙漏所能達(dá)到的重力最小值越小,最大值越大,同時(shí)沙子漏下的速度越快.

        2)沙子下落高度越高,離開體系的沙子越多,沙漏所能達(dá)到的重力最小值越小,最大值越大.

        3)沙子粒徑越大,沙子對(duì)沙漏底部的沖擊越離散,沙漏重力曲線的振蕩現(xiàn)象越明顯;粒徑越小,沙子對(duì)沙漏底部的沖擊越趨近連續(xù),沙漏重力曲線越平滑.

        4)在考察的沙子粒徑范圍內(nèi),粒徑越小,沙漏的流速越快.

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