韓麗芳
(山西大同大學(xué)渾源師范分校,山西 渾源 037400)
廣義積分在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用涉及面非常廣泛,其概念相對(duì)抽象,是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)知識(shí)難點(diǎn)。廣義積分計(jì)算與定積分計(jì)算完全不同,因其形式多種多樣,因此,計(jì)算方法比較靈活,較難掌握。如果單純根據(jù)定積分定義計(jì)算,通常會(huì)發(fā)現(xiàn)不同程度的困難,甚至求解不出,達(dá)不到解題要求。因此,為了有效計(jì)算廣義積分,本文根據(jù)數(shù)學(xué)分析中二重積分、拉式變換等相關(guān)理論,給出幾種常見(jiàn)情形的廣義積分求法,以供學(xué)習(xí)者參考。對(duì)于特殊領(lǐng)域,廣義積分計(jì)算還需用到復(fù)變函數(shù)理論、級(jí)數(shù)理論、概率密度函數(shù)理論等多種方法不同角度解決,以達(dá)到全面有效解決實(shí)際問(wèn)題。[1-3]
反常積分通常包含兩大類(lèi)型,第一類(lèi)為積分區(qū)間為無(wú)窮的廣義積分,第二類(lèi)為無(wú)界函數(shù)的廣義積分,其相關(guān)定義由以下給出。[4]
(1)
同理,可定義函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,b]上的廣義積分:
(2)
(3)
其中c為任意常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)式(3)右邊兩個(gè)廣義積分都收斂時(shí)稱(chēng)廣義積分收斂,否則為發(fā)散。
(4)
(5)
(6)
當(dāng)且僅當(dāng)式(6)右邊兩個(gè)廣義積分都收斂時(shí)稱(chēng)廣義積分收斂,否則為發(fā)散。
根據(jù)以上兩類(lèi)廣義積分定義的特殊性,且計(jì)算靈活多變性的特點(diǎn),反常積分的計(jì)算必然沒(méi)有那么簡(jiǎn)單,不易掌握。為了有效解決反常積分,使其在工程計(jì)算中變得簡(jiǎn)單,本文根據(jù)相關(guān)理論知識(shí)給出幾種計(jì)算反常積分得方法,并希望得以有效推廣,使教學(xué)環(huán)節(jié)變得容易,開(kāi)拓學(xué)生視野,使課堂教學(xué)應(yīng)用更為簡(jiǎn)便。
反常積分某種意義上是定積分的推廣,因此,運(yùn)用定義計(jì)算反常積分是最常見(jiàn)一種方法,也最容易被廣大數(shù)學(xué)學(xué)子接受。根據(jù)定義計(jì)算,主要分兩大步驟:第一求定積分,這關(guān)鍵依賴(lài)于不定積分計(jì)算準(zhǔn)則;第二取極限,這主要運(yùn)用極限計(jì)算法則。[5]這種計(jì)算方法格式相對(duì)固定統(tǒng)一,且理論已成型,只要計(jì)算準(zhǔn)確即可。
對(duì)于某些特殊函數(shù),根據(jù)定義對(duì)被積函數(shù)直接計(jì)算原函數(shù),積分不容易求出,但是如果對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)牡攘看鷵Q,借助某種技巧,則就可以相對(duì)簡(jiǎn)便地求出原函數(shù)。注意的是,在進(jìn)行等量代換時(shí),不僅需要對(duì)被積函數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析,還得看積分上下限與被積函數(shù)關(guān)系,求得原函數(shù),進(jìn)而求出廣義積分值。
根據(jù)定積分定義知道,積分值與積分變量與字母無(wú)關(guān),結(jié)合題目可以得出:
結(jié)合兩式子,得出:
對(duì)于部分特殊函數(shù),如果根據(jù)不定積分求法可能無(wú)法求出原函數(shù)或者很難求出,這種情況就比較難處理。但是根據(jù)二重積分知識(shí),則該類(lèi)反常積分則可以通過(guò)巧妙方式化為計(jì)算二重積分,這樣由二重積分得計(jì)算結(jié)果也就可以間接求出該反常積分值。
解:由定積分定義我們知道,積分值與積分變量,所以,有如下結(jié)果:
因此有結(jié)論:
這樣,再結(jié)合極坐標(biāo)變換得出:
而本文構(gòu)造的反常與所求積分有如下關(guān)系:
因此題目所求積分值為:
對(duì)于多數(shù)廣義積分而言,計(jì)算有的復(fù)雜有的簡(jiǎn)單。拉氏變換(Laplace)是一種將復(fù)雜運(yùn)算化繁為簡(jiǎn)的方法。運(yùn)用拉氏變換計(jì)算反常積分,可降低了計(jì)算難度,也有利于學(xué)者掌握,并且,對(duì)于多數(shù)函數(shù)而言,運(yùn)用拉氏變換計(jì)算廣義積分[6],其結(jié)果可通過(guò)拉氏變換表查的,降低運(yùn)算成本值得借鑒。
根據(jù)拉式變換微分性質(zhì),則有:
所以當(dāng)p=3時(shí),就是本例題多對(duì)應(yīng)廣義積分得解,即:
對(duì)于某些廣義積分,直接求解比較復(fù)雜,需要某種技巧將其轉(zhuǎn)化。有些實(shí)際問(wèn)題,利用無(wú)窮級(jí)數(shù)計(jì)算廣義積分也是常用的一種技巧,常用兩種變化形式:一種是將被積函數(shù)展成級(jí)數(shù)[7]以求積分;另一種是將無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分表示成級(jí)數(shù)的形式[8]以求積分。
解:利用余弦函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)以及指數(shù)函數(shù)的展開(kāi)式:
則有:
廣義積分是積分學(xué)中一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),也是一個(gè)難點(diǎn),且廣義積分在實(shí)際中應(yīng)用很廣,因此,目前對(duì)于廣義積分計(jì)算方法研究,已呈現(xiàn)多種結(jié)論,且形式多種多樣,是一個(gè)值得研究的課題。本文結(jié)合所學(xué)知識(shí)從5個(gè)不同角度分別給出5種不同的計(jì)算方法,有一定局限性,對(duì)于相同類(lèi)實(shí)際問(wèn)題可以有效解決,但對(duì)于某些問(wèn)題,可能起不到好的效果,希望在后續(xù)研究中繼續(xù)挖掘,爭(zhēng)取在工程技術(shù)領(lǐng)域積分計(jì)算相關(guān)方面有所突破。
浙江水利水電學(xué)院學(xué)報(bào)2019年3期