韓麗芳
(山西大同大學渾源師范分校,山西 渾源 037400)
廣義積分在實際問題中應用涉及面非常廣泛,其概念相對抽象,是高等數(shù)學學習中一個知識難點。廣義積分計算與定積分計算完全不同,因其形式多種多樣,因此,計算方法比較靈活,較難掌握。如果單純根據(jù)定積分定義計算,通常會發(fā)現(xiàn)不同程度的困難,甚至求解不出,達不到解題要求。因此,為了有效計算廣義積分,本文根據(jù)數(shù)學分析中二重積分、拉式變換等相關(guān)理論,給出幾種常見情形的廣義積分求法,以供學習者參考。對于特殊領(lǐng)域,廣義積分計算還需用到復變函數(shù)理論、級數(shù)理論、概率密度函數(shù)理論等多種方法不同角度解決,以達到全面有效解決實際問題。[1-3]
反常積分通常包含兩大類型,第一類為積分區(qū)間為無窮的廣義積分,第二類為無界函數(shù)的廣義積分,其相關(guān)定義由以下給出。[4]
(1)
同理,可定義函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,b]上的廣義積分:
(2)
(3)
其中c為任意常數(shù),當且僅當式(3)右邊兩個廣義積分都收斂時稱廣義積分收斂,否則為發(fā)散。
(4)
(5)
(6)
當且僅當式(6)右邊兩個廣義積分都收斂時稱廣義積分收斂,否則為發(fā)散。
根據(jù)以上兩類廣義積分定義的特殊性,且計算靈活多變性的特點,反常積分的計算必然沒有那么簡單,不易掌握。為了有效解決反常積分,使其在工程計算中變得簡單,本文根據(jù)相關(guān)理論知識給出幾種計算反常積分得方法,并希望得以有效推廣,使教學環(huán)節(jié)變得容易,開拓學生視野,使課堂教學應用更為簡便。
反常積分某種意義上是定積分的推廣,因此,運用定義計算反常積分是最常見一種方法,也最容易被廣大數(shù)學學子接受。根據(jù)定義計算,主要分兩大步驟:第一求定積分,這關(guān)鍵依賴于不定積分計算準則;第二取極限,這主要運用極限計算法則。[5]這種計算方法格式相對固定統(tǒng)一,且理論已成型,只要計算準確即可。
對于某些特殊函數(shù),根據(jù)定義對被積函數(shù)直接計算原函數(shù),積分不容易求出,但是如果對被積函數(shù)進行恰當?shù)牡攘看鷵Q,借助某種技巧,則就可以相對簡便地求出原函數(shù)。注意的是,在進行等量代換時,不僅需要對被積函數(shù)結(jié)構(gòu)進行分析,還得看積分上下限與被積函數(shù)關(guān)系,求得原函數(shù),進而求出廣義積分值。
根據(jù)定積分定義知道,積分值與積分變量與字母無關(guān),結(jié)合題目可以得出:
結(jié)合兩式子,得出:
對于部分特殊函數(shù),如果根據(jù)不定積分求法可能無法求出原函數(shù)或者很難求出,這種情況就比較難處理。但是根據(jù)二重積分知識,則該類反常積分則可以通過巧妙方式化為計算二重積分,這樣由二重積分得計算結(jié)果也就可以間接求出該反常積分值。
解:由定積分定義我們知道,積分值與積分變量,所以,有如下結(jié)果:
因此有結(jié)論:
這樣,再結(jié)合極坐標變換得出:
而本文構(gòu)造的反常與所求積分有如下關(guān)系:
因此題目所求積分值為:
對于多數(shù)廣義積分而言,計算有的復雜有的簡單。拉氏變換(Laplace)是一種將復雜運算化繁為簡的方法。運用拉氏變換計算反常積分,可降低了計算難度,也有利于學者掌握,并且,對于多數(shù)函數(shù)而言,運用拉氏變換計算廣義積分[6],其結(jié)果可通過拉氏變換表查的,降低運算成本值得借鑒。
根據(jù)拉式變換微分性質(zhì),則有:
所以當p=3時,就是本例題多對應廣義積分得解,即:
對于某些廣義積分,直接求解比較復雜,需要某種技巧將其轉(zhuǎn)化。有些實際問題,利用無窮級數(shù)計算廣義積分也是常用的一種技巧,常用兩種變化形式:一種是將被積函數(shù)展成級數(shù)[7]以求積分;另一種是將無窮區(qū)間上的廣義積分表示成級數(shù)的形式[8]以求積分。
解:利用余弦函數(shù)的冪級數(shù)展開以及指數(shù)函數(shù)的展開式:
則有:
廣義積分是積分學中一個重要知識點,也是一個難點,且廣義積分在實際中應用很廣,因此,目前對于廣義積分計算方法研究,已呈現(xiàn)多種結(jié)論,且形式多種多樣,是一個值得研究的課題。本文結(jié)合所學知識從5個不同角度分別給出5種不同的計算方法,有一定局限性,對于相同類實際問題可以有效解決,但對于某些問題,可能起不到好的效果,希望在后續(xù)研究中繼續(xù)挖掘,爭取在工程技術(shù)領(lǐng)域積分計算相關(guān)方面有所突破。