韓麗芳

(山西大同大學(xué)渾源師范分校，山西 渾源 037400)

廣義積分在實(shí)際問題中應(yīng)用涉及面非常廣泛，其概念相對(duì)抽象，是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)知識(shí)難點(diǎn)。廣義積分計(jì)算與定積分計(jì)算完全不同，因其形式多種多樣，因此，計(jì)算方法比較靈活，較難掌握。如果單純根據(jù)定積分定義計(jì)算，通常會(huì)發(fā)現(xiàn)不同程度的困難，甚至求解不出，達(dá)不到解題要求。因此，為了有效計(jì)算廣義積分，本文根據(jù)數(shù)學(xué)分析中二重積分、拉式變換等相關(guān)理論，給出幾種常見情形的廣義積分求法，以供學(xué)習(xí)者參考。對(duì)于特殊領(lǐng)域，廣義積分計(jì)算還需用到復(fù)變函數(shù)理論、級(jí)數(shù)理論、概率密度函數(shù)理論等多種方法不同角度解決，以達(dá)到全面有效解決實(shí)際問題。[1-3]

1 廣義積分概念理論知識(shí)介紹

反常積分通常包含兩大類型，第一類為積分區(qū)間為無窮的廣義積分，第二類為無界函數(shù)的廣義積分，其相關(guān)定義由以下給出。[4]

1.1 第一類廣義積分

(1)

同理，可定義函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,b]上的廣義積分：

(2)

(3)

其中c為任意常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)式(3)右邊兩個(gè)廣義積分都收斂時(shí)稱廣義積分收斂，否則為發(fā)散。

1.2 第二類廣義積分

(4)

(5)

(6)

當(dāng)且僅當(dāng)式(6)右邊兩個(gè)廣義積分都收斂時(shí)稱廣義積分收斂，否則為發(fā)散。

根據(jù)以上兩類廣義積分定義的特殊性，且計(jì)算靈活多變性的特點(diǎn)，反常積分的計(jì)算必然沒有那么簡單，不易掌握。為了有效解決反常積分，使其在工程計(jì)算中變得簡單，本文根據(jù)相關(guān)理論知識(shí)給出幾種計(jì)算反常積分得方法，并希望得以有效推廣，使教學(xué)環(huán)節(jié)變得容易，開拓學(xué)生視野，使課堂教學(xué)應(yīng)用更為簡便。

2 廣義積分幾種計(jì)算方法解析

2.1 運(yùn)用定義法計(jì)算廣義積分

反常積分某種意義上是定積分的推廣，因此，運(yùn)用定義計(jì)算反常積分是最常見一種方法，也最容易被廣大數(shù)學(xué)學(xué)子接受。根據(jù)定義計(jì)算，主要分兩大步驟：第一求定積分，這關(guān)鍵依賴于不定積分計(jì)算準(zhǔn)則；第二取極限，這主要運(yùn)用極限計(jì)算法則。[5]這種計(jì)算方法格式相對(duì)固定統(tǒng)一，且理論已成型，只要計(jì)算準(zhǔn)確即可。

2.2 運(yùn)用等量代換計(jì)算廣義積分

對(duì)于某些特殊函數(shù)，根據(jù)定義對(duì)被積函數(shù)直接計(jì)算原函數(shù)，積分不容易求出，但是如果對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)牡攘看鷵Q，借助某種技巧，則就可以相對(duì)簡便地求出原函數(shù)。注意的是，在進(jìn)行等量代換時(shí)，不僅需要對(duì)被積函數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，還得看積分上下限與被積函數(shù)關(guān)系，求得原函數(shù)，進(jìn)而求出廣義積分值。

根據(jù)定積分定義知道，積分值與積分變量與字母無關(guān)，結(jié)合題目可以得出：

結(jié)合兩式子，得出：

2.3 運(yùn)用二重積分計(jì)算廣義積分

對(duì)于部分特殊函數(shù)，如果根據(jù)不定積分求法可能無法求出原函數(shù)或者很難求出，這種情況就比較難處理。但是根據(jù)二重積分知識(shí)，則該類反常積分則可以通過巧妙方式化為計(jì)算二重積分，這樣由二重積分得計(jì)算結(jié)果也就可以間接求出該反常積分值。

解：由定積分定義我們知道，積分值與積分變量，所以，有如下結(jié)果：

因此有結(jié)論：

這樣，再結(jié)合極坐標(biāo)變換得出：

而本文構(gòu)造的反常與所求積分有如下關(guān)系：

因此題目所求積分值為：

2.4 運(yùn)用拉普拉斯變換計(jì)算廣義積分

對(duì)于多數(shù)廣義積分而言，計(jì)算有的復(fù)雜有的簡單。拉氏變換(Laplace)是一種將復(fù)雜運(yùn)算化繁為簡的方法。運(yùn)用拉氏變換計(jì)算反常積分，可降低了計(jì)算難度，也有利于學(xué)者掌握，并且，對(duì)于多數(shù)函數(shù)而言，運(yùn)用拉氏變換計(jì)算廣義積分[6]，其結(jié)果可通過拉氏變換表查的，降低運(yùn)算成本值得借鑒。

根據(jù)拉式變換微分性質(zhì)，則有：

所以當(dāng)p=3時(shí)，就是本例題多對(duì)應(yīng)廣義積分得解，即：

2.5 運(yùn)用級(jí)數(shù)展開法計(jì)算廣義積分

對(duì)于某些廣義積分，直接求解比較復(fù)雜，需要某種技巧將其轉(zhuǎn)化。有些實(shí)際問題，利用無窮級(jí)數(shù)計(jì)算廣義積分也是常用的一種技巧，常用兩種變化形式：一種是將被積函數(shù)展成級(jí)數(shù)[7]以求積分；另一種是將無窮區(qū)間上的廣義積分表示成級(jí)數(shù)的形式[8]以求積分。

解：利用余弦函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開以及指數(shù)函數(shù)的展開式：

則有：

3 結(jié) 論

廣義積分是積分學(xué)中一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，且廣義積分在實(shí)際中應(yīng)用很廣，因此，目前對(duì)于廣義積分計(jì)算方法研究，已呈現(xiàn)多種結(jié)論，且形式多種多樣，是一個(gè)值得研究的課題。本文結(jié)合所學(xué)知識(shí)從5個(gè)不同角度分別給出5種不同的計(jì)算方法，有一定局限性，對(duì)于相同類實(shí)際問題可以有效解決，但對(duì)于某些問題，可能起不到好的效果，希望在后續(xù)研究中繼續(xù)挖掘，爭取在工程技術(shù)領(lǐng)域積分計(jì)算相關(guān)方面有所突破。