史欣冉 俞逸騏 王樂(lè)

(合肥一六八中學(xué) 安徽 合肥 230601)

【題目】質(zhì)量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接,彈簧下端固定在地上,平衡時(shí),彈簧的壓縮量為x0,如圖1所示,一物塊從鋼板正上方距離為3x0的A處自由落下,打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng),但不粘連,它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng),已知物塊質(zhì)量也為m時(shí),它們恰能回到O點(diǎn),若物塊質(zhì)量為2m,仍從A處自由落下,則物塊與鋼板回到O點(diǎn)時(shí),還具有向上的速度,求物塊向上運(yùn)動(dòng)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)距O點(diǎn)的距離．

圖1 題圖

1 常規(guī)解法

本題取自1997年高考全國(guó)卷物理第25題，在某高三一輪復(fù)習(xí)資料“考向卷”“考向22”第12題重現(xiàn)了此題[1]．從我校某宏志班(宏志班學(xué)生高考升學(xué)重點(diǎn)率在95%以上，211率在60%左右)學(xué)生答題情況來(lái)看，僅有少數(shù)學(xué)生能夠一次性答對(duì)．其余的學(xué)生多數(shù)只能寫(xiě)出部分公式．但是，有一位學(xué)生給出了一種獨(dú)特的解法，且最終的結(jié)果是正確的，此法思維獨(dú)特，是碰運(yùn)氣做出來(lái)的還是有其深層次的合理性，經(jīng)過(guò)師生的討論，最終發(fā)現(xiàn)了其答案的偶然性，并進(jìn)行了深入的分析，尋找到了新的異于其他論文的簡(jiǎn)單解法．

從問(wèn)題的設(shè)計(jì)來(lái)看，這道題涉及到多個(gè)物體、多個(gè)過(guò)程，而且涉及到碰撞、彈簧以及能量等問(wèn)題．運(yùn)動(dòng)過(guò)程比較復(fù)雜，對(duì)學(xué)生情景分析能力要求比較高．且只提了一問(wèn)，梯度較大，無(wú)形中增加了解題的難度．考慮到物理計(jì)算題的常規(guī)做法，筆者認(rèn)為這道習(xí)題可以增加兩問(wèn)．

第(1)問(wèn)：第一次碰撞后瞬間鋼板與物塊的速度是多少？這樣做的目的是讓絕大多數(shù)學(xué)生都能夠進(jìn)入這道題．

第(2)問(wèn)：第一次反彈至O點(diǎn)時(shí)，彈簧做了多少功？這兩個(gè)設(shè)問(wèn)，既降低了題目的難度，也給學(xué)生們提供了解題的思路．在如上3問(wèn)的指引下，本題的常規(guī)解題思路如下.

(1)計(jì)算物塊自由落體到鋼板時(shí)的速度

得

物塊與鋼板碰撞過(guò)程

mv=2mv1

得

(2)此后，物塊與鋼板作為整體壓縮彈簧并被反彈至O點(diǎn)，由動(dòng)能定理求彈簧做功

得

(3)若物塊質(zhì)量為2m，則用同種方法可以求得碰后瞬間共同速度

之后經(jīng)歷了類似過(guò)程，由動(dòng)能定理可以求得，物塊與鋼板再次到達(dá)O點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能

求得

注意兩次的過(guò)程中，彈簧的形變量一樣，因此做功大小相同．

最后，由機(jī)械能守恒定律

得

2 解法新探

(1)本文第一位作者認(rèn)為，這道題能否將第二種情形中的物塊質(zhì)量分成兩個(gè)m，考慮到下面的m與第一個(gè)情景完全相同，故若單獨(dú)下落則能剛好反彈至O點(diǎn)，再考慮上面m的運(yùn)動(dòng)，將它看成是先做了一段位移為2x0的自由落體運(yùn)動(dòng)，獲得一速度v，之后該速度瞬間反向并帶著下面的m向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，再求其上拋高度．運(yùn)算如下.

自由落體

求得

速度反向并與下面的m共速向上

mv=2mv共

求得

豎直上拋

求得

這種解法十分簡(jiǎn)便，且結(jié)果正確．是湊巧相等還是有理論上的必然性，值得深入討論．

從碰撞過(guò)程考慮，提出如下問(wèn)題：一動(dòng)碰一靜的完全非彈性碰撞中，是否質(zhì)量為2m的物體與質(zhì)量為m的碰撞，可以將這種碰撞分成兩個(gè)m分別與m碰撞，且這一過(guò)程中損失的能量與一次碰撞是相同的？從能量守恒的角度來(lái)看，由于最終具有共同速度，故能量損失肯定是一樣的．但這種新解法分次碰撞，只考慮了一次碰撞，另一次碰撞則是在反彈回來(lái)之后人為地令其共速的行為．

如圖2所示，若考慮為單次碰撞

λmv=(λ+1)mv共

故損失能量

圖2 將碰撞分為λ次

因此，該題中，如果是2m直接碰撞m的話，能量損失為

而新解法中只考慮了m與m的碰撞，考慮了兩次.第一次，下落距離為3x0，這種碰撞的能量損失為

第二次，下落距離為2x0，能量損失值為

因此，這種新解法并不合理．

(2)本文第二位作者提供了新思路．考慮題目條件合理性：物塊質(zhì)量也為m時(shí),它們恰能回到O點(diǎn)(題目為了能讓高中生求解，因?yàn)楦咧胁灰笳莆諒椥詣?shì)能公式).

(1)

而第二次運(yùn)動(dòng)是類似的

(2)

而實(shí)際上，兩式相減約去Ep即可求得v3的值，從而求解出上升高度．

當(dāng)然，出題者可能是為了加入一些新意而選擇給這種條件．但是，作為有確定勁度系數(shù)的理想彈簧，在確定了伸長(zhǎng)量后，其Ep是一個(gè)定值，對(duì)于客觀事實(shí)的存在給出條件求解的行為是否能經(jīng)得住推敲？如若考生能夠知道彈性勢(shì)能的公式，或者是關(guān)系(前后兩次初始Ep相等)，就有兩種可能會(huì)繞過(guò)該條件，那么該條件確實(shí)有待斟酌．

(3)新解法提出

分離后運(yùn)動(dòng)的等效：實(shí)際上，我們?cè)诹械诙芜\(yùn)動(dòng)式子的時(shí)候是通過(guò)先求解v3來(lái)求解出上升高度h．但實(shí)際上我們知道，在O點(diǎn)時(shí)，我們將2m與m這兩個(gè)物體獨(dú)立開(kāi)來(lái)看待,m由彈簧拉扯而做減速運(yùn)動(dòng)，2m與m不粘連而脫離彈簧．但是，實(shí)際上我們只是想表達(dá)m的運(yùn)動(dòng)對(duì)2m沒(méi)有影響罷了．我們不難發(fā)現(xiàn)，在O點(diǎn)時(shí)，2m與m間是沒(méi)有相互作用力的，那么m與彈簧是否黏連的意義不大，因?yàn)槔硐霃椈刹贿^(guò)是儲(chǔ)存能量的裝置，所以當(dāng)m與彈簧也能脫離時(shí)，m與2m應(yīng)當(dāng)都能上升到最大高度．提出這樣的想法也是合理的,因?yàn)閙與2m的加速度是一樣的，完全可以看做一個(gè)整體．所以我們可以這樣列式

(3)

結(jié)合上面的等效，我們可以進(jìn)一步提出新的思路：

對(duì)于這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)，第一次情形下與第二次情形下末狀態(tài)的不同應(yīng)當(dāng)是來(lái)自于兩者能量的差值

可以求得

而我們經(jīng)過(guò)剛剛的討論知道，2m到達(dá)最高點(diǎn)的高度與(2m+m)到達(dá)最高點(diǎn)的高度是相同的，所以

而我們知道，第一次恰好達(dá)到了O點(diǎn)，所以第二次高度應(yīng)當(dāng)比第一次高h(yuǎn)，這即為本題的解．