魏麗梅

(山東省日照實驗高級中學(xué) 山東 日照 276826)

1 引言

Mathematica是一款以函數(shù)驅(qū)動的數(shù)學(xué)計算軟件，具有數(shù)值處理、符號操作、圖形繪制、動畫制作等多項功能，將其應(yīng)用于計算機輔助教學(xué)中，可以用交互式的圖像、動畫以及聲音對一些抽象的物理模型進行直觀形象的模擬與展示，近些年來廣泛地應(yīng)用于從高中到研究生的教學(xué)或科研工作中[1～4]．

如何在課堂上生動形象地向?qū)W生描述波的疊加與駐波的形成，是一個難題．本文利用Mathematica軟件的動畫繪制功能，對簡諧波的疊加與駐波的形成進行了演示，繪制參數(shù)的可調(diào)節(jié)性使動畫具備交互式的功能，該演示操作命令程序簡單，形象直觀，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．

2 駐波的模擬演示

振動方向在同一平面、相向傳播的兩列簡諧波的數(shù)學(xué)描述形式如下

這里假設(shè)振動u2的振幅為單位振幅1，坐標原點處t=0時刻的初位相為零，振動u1相對振動u2的振幅比為A，坐標原點處t=0時刻的初位相為δ．第一列簡諧波沿x軸正方向傳播，第二列簡諧波沿x軸負方向傳播，兩列波的疊加振動為

u(x,t)=u1(x,t)+u2(x,t)=

我們先分析合振動在某一時刻，如時間t=1時的振動情況：

u(x,t=1)=

在Mathematica中可以利用Plot(繪圖)命令繪制函數(shù)的曲線，其命令編輯形式為：

Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}]

該命令繪制函數(shù)f1，f2，…在自變量x處于最小值xmin至最大值xmax區(qū)間的函數(shù)曲線．因為在波的疊加振動函數(shù)中，除自變量x外，還有A，ω1，ω2，λ1，λ2，δ多個參量，參量數(shù)值的大小均需要可交互式的調(diào)節(jié)，我們采用Manipulate(參數(shù)操縱)命令實現(xiàn)函數(shù)中參量數(shù)值大小的交互式調(diào)節(jié)操作．此處需要用到的Manipulate命令，編輯形式為：

Manipulate[expr,{v,vmin,vmax}]

該命令給出帶有參量v大小控制條的expr(描述內(nèi)容)所描述的內(nèi)容，參量v的可調(diào)節(jié)區(qū)間為最小值vmin至最大值vmax．將繪圖命令Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}]作為expr所描述的內(nèi)容，則可以形成帶參量v大小控制條的函數(shù)f1，f2，…曲線繪制命令．將A，ω1，ω2，λ1，λ2，δ作為可調(diào)參量，繪制參量可調(diào)的兩簡諧波分振動與合振動曲線，命令編輯如下：

Manipulate[

{A,1,2},{ω1,1,10},{ω2,1,10},{λ1,1,16},{λ2,1,16},{δ,0,2π}]

其中x坐標軸上設(shè)置區(qū)間為0～8，可操作參量的設(shè)定為：振幅比A設(shè)置為1～2之間可調(diào)，圓頻率ω均設(shè)置為1～10之間可調(diào)，波長λ均設(shè)置為1～16之間可調(diào)，初位相差δ設(shè)置為0～2π之間可調(diào)．在該命令中，可調(diào)參量數(shù)目、數(shù)值范圍均可按照自己的實際需要設(shè)置．運行該命令，得到圖1所示3條振動曲線，分別為兩分振動與合振動在t=1時刻的振動曲線．

圖1 兩簡諧分振動及其合振動的靜態(tài)曲線

通過圖中的可調(diào)參量控制條中的加減號，可以調(diào)節(jié)對應(yīng)參量數(shù)值的大小，也可以直接在參量當前數(shù)值顯示區(qū)域直接輸入數(shù)值．點擊三角形的播放按鈕，可以使參量數(shù)值自動勻速增加或減小，變化速率可通過向上或向下的雙箭頭符號調(diào)節(jié)，最右側(cè)的水平箭頭控制參量的變化方向是增加還是減?。?/p>

圖1中我們得到的是在坐標軸上一段區(qū)間x∈[0～8]、時間軸上靜止(t=1時刻)、帶參量調(diào)節(jié)控制條的振動曲線，要得到隨時間動態(tài)變化的振動曲線還需要利用Mathematica的Animate(動畫)命令．此處需要用到Animate命令，其編輯形式為：

Animate[expr,{v,vmin,vmax}]

該命令給出expr所描述的內(nèi)容隨參量v從最小值vmin至最大值vmax連續(xù)變化的動畫．將時間t作為上述Animate動畫命令中的動畫參量v，前面所述的Manipulate命令內(nèi)容作為expr描述內(nèi)容，可以得到隨時間變化的振動曲線動畫．命令編輯如下：

Animate[

Manipulate[

{A,1,2},{ω1,1,10},{ω2,1,10},{λ1,1,16},{λ2,1,16},{δ,0,2π}],

{t,0,15}]

在Mathematica中編輯和運行所述命令后，得到兩簡諧波疊加前后的波動動畫，圖2為該動畫中的一幅截圖，其中可調(diào)參量的數(shù)值設(shè)置如圖中所示．圖2中最上面時間t運動軸的播放按鈕可以控制動畫在暫停與運動間切換．

圖2 兩簡諧分振動及其合振動動畫截圖

在Mathematica的運行結(jié)果圖2中，通過調(diào)整兩簡諧分振動的振幅比、圓頻率、波長、初位相差，可以直觀地得到各個參量的改變對于分振動及合成振動情況的影響．將兩分振動的圓頻率、波長、振幅均設(shè)為一致，我們就得到了駐波合振動，圖3為駐波振動動畫中的一幅截圖，可以直觀地驗證駐波形成條件中關(guān)于振幅比為1，波長與頻率相同的描述．

圖3 兩簡諧分振動及其合成駐波振動動畫截圖

進一步的，如圖4中所示，調(diào)節(jié)坐標原點處的初位相差δ為π，我們就得到左端為波節(jié)的駐波動畫．為了進一步實現(xiàn)兩端均為波節(jié)的弦上的駐波振動，我們需要調(diào)節(jié)波長，這個過程可以直觀地演示駐波在弦上的形成，并得到弦長為半波長整數(shù)倍的數(shù)值關(guān)系，圖5顯示了弦長為半波長的情況．

圖4 兩簡諧分振動及其合成的左端點為波節(jié)的駐波振動動畫截圖

圖5 弦長為半波長的駐波振動動畫截圖

至此我們通過組合Mathematica中的Plot繪圖、Manipulate參數(shù)操縱、Animate動畫命令，實現(xiàn)了多個參數(shù)的交互式操縱和動畫，形象、直觀地展示了駐波振動以及弦上駐波的形成，相對于傳統(tǒng)的沙漏簡諧振動演示、弓弦駐波演示，具有準確、易用、效率高和演示內(nèi)容更全面的特點，適合于課堂教學(xué)演示．

3 總結(jié)

本文介紹了數(shù)學(xué)軟件Mathematica的Plot，Manipulate，Animate命令，用它們的組合命令將簡諧振動及其合振動進行了直觀的靜態(tài)、動態(tài)演示，通過交互式的參數(shù)操縱，對駐波以及弦上駐波形成和振動的物理圖景進行了展示．演示過程操作簡潔、效率高，適用于課堂教學(xué)，有助于加深學(xué)生對物理圖景的理解，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生使用計算機軟件解決抽象、復(fù)雜問題的能力．