黃紹書 萬大林

(六盤水市第23中學(xué) 貴州 六盤水 553000) (六盤水市廣播電視大學(xué) 貴州 六盤水 553000)

離心運動和向心運動是大中學(xué)物理課程中的重要概念，也是學(xué)生學(xué)習(xí)和理解的難點．然而，日常生活以及工程實踐中的許多重要力學(xué)現(xiàn)象也都與此有關(guān)．

為了在教學(xué)中使學(xué)生更好地理解和掌握離心運動和向心運動的概念和更深層的含義，我們自主設(shè)計并加工制作了離心-向心運動實驗儀．教學(xué)實踐表明，該離心-向心運動實驗儀的研制貼近教學(xué)實際，實驗現(xiàn)象精彩有趣，收到良好的教學(xué)效果．

1 儀器構(gòu)造及實驗現(xiàn)象

1.1 構(gòu)造簡介

圖1為自制離心-向心運動實驗儀結(jié)構(gòu)示意圖，整體結(jié)構(gòu)主要包括主動(手控)部分和從動部分，均安裝在一個共同的底座上，兩部分之間通過皮帶傳動，各零部件方便拆換更替．其加工制作過程比較簡單，在一般的小型鐵制品加工廠(我國西南地區(qū)比較多，主要加工一種冬天取暖用的鐵爐子，稱為回風(fēng)爐)即可完成．其中，除了透明玻璃試管(帶緊密膠塞，內(nèi)盛滿水)和木質(zhì)底座外，其余配件均為鐵質(zhì)材料(多為鋼材)加工而成．

該自制離心-向心運動實驗儀在教學(xué)中比較實用，操作簡便，實驗效果明顯，能直觀展示出奇特的離心運動和向心運動的真實過程．

為了增加實驗的可見度，提高實驗的實效性和觀賞性，在實驗前的準(zhǔn)備過程中，通常將其中的小鋼球和小泡沫球用油漆漆成不同的顏色(比如：將一個漆成紅色，另一個漆成藍(lán)色)．

圖1 自制離心-向心運動實驗儀結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 實驗現(xiàn)象

將自制離心-向心運動實驗儀放在水平實驗桌或講桌上，轉(zhuǎn)動手柄，使試管隨豎直轉(zhuǎn)動軸(長立柱)由慢到快轉(zhuǎn)動．當(dāng)轉(zhuǎn)速較小或靜止時，密度大的小鋼球(以下簡稱鋼球)處于試管底部，而密度小的泡沫球(以下簡稱泡沫球)處于試管頂部(試管口)，如圖2所示．

當(dāng)轉(zhuǎn)速增大到一定程度時，鋼球沿試管由下向上傾斜運動，逐步到達(dá)試管頂部，而泡沫球沿試管由上向下傾斜運動，逐步到達(dá)試管底部，即鋼球做離心運動而泡沫球做向心運動，如圖3所示．轉(zhuǎn)速越大，離心運動和向心運動也越快．

圖3 轉(zhuǎn)速較大時的實驗現(xiàn)象示意圖

2 動力學(xué)原理

在轉(zhuǎn)動過程中，由于處在同一位置的鋼球和泡沫球與同體積的水相比，鋼球需要的向心力大于水需要的向心力，而泡沫球需要的向心力小于水需要的向心力．因此，當(dāng)轉(zhuǎn)速滿足一定條件時，鋼球?qū)⒅饾u遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸傾斜向上運動，而泡沫球?qū)⒅饾u靠近轉(zhuǎn)軸傾斜向下運動．

為了便于廣泛的中學(xué)教學(xué)工作者和普遍高中學(xué)生閱讀，這里避開比較深奧繁瑣的動力學(xué)微分方程[1]，僅從轉(zhuǎn)動平衡的情況予以分析說明．設(shè)定試管中鋼球、泡沫球的密度分別為ρ鋼和ρ泡，體積為V，水的密度為ρ水，試管傾斜角為θ，忽略運動過程中試管壁的摩擦和水的粘滯阻力．轉(zhuǎn)動過程中某時刻的角速度為ω，此時鋼球或泡沫球與轉(zhuǎn)動軸之間的距離為r．為了便于表述，選取轉(zhuǎn)動著的試管為參考系．顯然，這是一個非慣性參考系，分析過程中必須要考慮慣性力[2]．

2.1 等體積水球受力分析

先考察處于同一位置的相同體積的水球．顯然，水球處于轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)，其受力情況如圖4所示．水球受到重力G水，浮力F浮，慣性離心力F慣水以及試管側(cè)壁的彈力F側(cè)水和由于試管頂部對水的擠壓而造成的水對水球沿試管向下傾斜的附加壓力F頂水，其中

G水=ρ水gV

(1)

F浮=ρ水gV

(2)

F慣水=ρ水rω2V

(3)

圖4 水球處于轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)時的受力分析圖

不難理解，水球的重力與浮力大小相等，而方向相反．因此，試管側(cè)壁和頂部的彈力的合力(方向水平，大小等于慣性離心力)提供水球轉(zhuǎn)動的向心力，滿足

(4)

容易算出

(5)

從式(5)可以看出，試管中不同位置的水，受到試管側(cè)壁和頂部的彈力大小都不同，且均隨轉(zhuǎn)動半徑的增大而線性增大．

2.2 鋼球受力分析

鋼球的受力分析如圖5所示.

圖5 鋼球處于轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)時的受力分析

鋼球受到與水球類似的重力G鋼，浮力F浮，慣性離心力F慣鋼以及試管側(cè)壁彈力F側(cè)鋼和由于試管頂部對水的擠壓而造成的水對鋼球沿試管向下傾斜的附加壓力F頂鋼，如圖5所示．其中

G鋼=ρ鋼gV

(6)

F浮=ρ水gV

(7)

F慣鋼=ρ鋼rω2V

(8)

假設(shè)鋼球仍然處于轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)．很顯然，鋼球的重力大于浮力．因此，試管側(cè)壁和頂部彈力的水平分力的合力提供鋼球轉(zhuǎn)動的向心力，豎直分力與重力和浮力達(dá)到平衡，滿足

(9)

解之得

(10)

從式(10)同樣可以看出，鋼球在試管中不同位置，受到試管側(cè)壁和頂部的彈力大小都不同，且同樣均隨轉(zhuǎn)動半徑的增大而線性增大．結(jié)合式(8)容易理解，當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到能使鋼球做離心運動的條件且轉(zhuǎn)速恒定或加速轉(zhuǎn)動時，鋼球都將加速遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸．式(10)中的兩個力的合力大小為

(11)

設(shè)該合力與水平方向的夾角為圖5中的α，那么，結(jié)合式(6)、(7)、(8)，容易得出

(12)

因此，試管對鋼球的作用力方向與轉(zhuǎn)速和鋼球所處的位置有關(guān)．

2.3 泡沫球受力分析

泡沫球受力情況與鋼球和水球類似，不再贅述．最大的差別是泡沫球受到試管側(cè)壁的彈力方向與鋼球和水球的相反(當(dāng)轉(zhuǎn)速增大到某一特定值時，試管側(cè)壁對泡沫球的彈力恰為零．此時，繼續(xù)增大轉(zhuǎn)速，試管側(cè)壁對泡沫球的彈力將垂直試管側(cè)壁向上)，如圖6所示．其中

G泡=ρ泡gV

(13)

F浮=ρ水gV

(14)

F慣泡=ρ泡rω2V

(15)

圖6 泡沫球的受力分析圖

仍假設(shè)泡沫球處于轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)．很顯然，泡沫球的重力小于浮力．因此，試管側(cè)壁和頂部彈力的水平分力的合力提供泡沫球轉(zhuǎn)動的向心力，豎直分力與重力和浮力達(dá)到平衡，滿足

(16)

解之得

(17)

從式(17)可知，泡沫球在試管中不同位置，受到試管側(cè)壁和頂部的彈力大小也都不同，側(cè)壁彈力隨轉(zhuǎn)動半徑的增大而線性減小，而頂部彈力隨轉(zhuǎn)動半徑的增大而線性增大．

結(jié)合式(15)容易理解，當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到能使泡沫球做向心運動的條件且轉(zhuǎn)速恒定或加速轉(zhuǎn)動時，泡沫球都將加速靠近轉(zhuǎn)軸．同樣式(17)中的兩個力的合力大小為

(18)

設(shè)這一合力與水平方向的夾角為圖6中的β，那么，結(jié)合式(13)、(14)、(15)，容易得出

(19)

因此，試管對泡沫球的作用力方向同樣與轉(zhuǎn)速和泡沫球所處的位置有關(guān)．

3 幾點說明

(1)不同球體(鋼球、泡沫球)在相同位置的轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)，各自要求的角速度不相同．

(2)鋼球、泡沫球做離心運動或向心運動的約束條件(ω與θ和r之間的關(guān)系)須結(jié)合動力學(xué)微分方程才能給出．

(3)對于密度小于水的泡沫球，在轉(zhuǎn)速滿足一定條件時，試管側(cè)壁對其沒有彈力．這時，若轉(zhuǎn)速增大，則試管側(cè)壁對其將有斜向上的彈力．

(4)若實驗過程中試管呈水平狀，則以任意轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動，鋼球總向遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸方向運動，最終處于遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸一端的管口；而泡沫球總向靠攏轉(zhuǎn)軸方向運動，最終處于靠近轉(zhuǎn)軸一端的管底．

(5)目前，關(guān)于離心運動的實驗儀器與制作多有文獻(xiàn)[3，4]予以介紹，實驗效果也都比較好．而對于向心運動方面的實驗儀器還沒有任何產(chǎn)品介紹，僅見一份文獻(xiàn)[5]資料介紹了一種用橡膠軟管的簡易制作，但實踐的實驗效果不很理想．