鄭金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

對有關兩個小球在同一豎直線上以大小相等、方向相反的速度發(fā)生彈性碰撞而彈起的最大高度問題，若根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律列方程解答則比較麻煩.而直接利用物理結論解答則很簡捷.下面以一道高考題為例，對所得結果進行拓展，即通過改變兩球的質量關系或碰撞點位置來求解最大高度的極值，由此歸納出結論并進行靈活應用.

1 結論推導

【原題】(2010年高考全國卷Ⅱ)小球A和B的質量分別為mA和mB，且mA>mB.在某高度處將A和B先后從靜止釋放.小球A與水平地面碰撞后向上彈回，在釋放處下方與釋放處距離為H的地方恰好與正在下落的小球B發(fā)生正碰.設所有碰撞都是彈性的，碰撞時間極短.求小球A和B碰撞后B上升的最大高度.

解析：如圖1所示，兩球碰撞前瞬時，球A的速度向上，B的速度向下.由于二者是在同一高度處釋放，而所有碰撞是彈性的，則由機械能守恒定律可知，小球A與B碰撞前瞬時的速率相等，設為v0，則有

(1)

設球A與B碰撞后的速度分別為v1和v2，碰撞后球B的速度是向上的，以豎直向上為正方向，由動量守恒定律和機械能守恒定律分別有

mAv0-mBv0=mAv1+mBv2

(2)

(3)

聯(lián)立式(2)、(3)得

(4)

圖1 兩球相碰位置示意圖

設球B從碰撞位置上升的最大高度為h，由運動學公式有

(5)

利用式(1)、(4)、(5)得

(6)

拓展:(1)如果碰撞后小球A的速度突然變?yōu)榱悖敲葱∏駼上升的最大高度為多少？(2)兩球的質量滿足什么關系時，可使小球B上升的最大高度有極大值？(3)兩球A和B在何處碰撞可使小球B上升的最大高度有極大值？

解析:(1)如果碰撞后小球A的速度突然變?yōu)榱悖敲辞駼的速度是向上的，對式(2)、(3)取v1=0，聯(lián)立方程可得

v2=2v0

利用運動學公式有

可知小球B從碰撞位置上升的最大高度h=4H.

由式(2)可得質量大小關系為

mA=3mB

代入式(6)得

h=4H

由此可知，k越大，h就越大.當k→∞時，即當mA?mB時，hmax≈9H.

(3)若兩個小球不同時下落，則先后下落的時間間隔越短，碰撞點就越低，到釋放點的距離H就越大，那么根據(jù)式(6)，球B上升的高度h就越大，因此當二者同時下落時，碰撞點最低，H值最大，所以球B彈起后上升的高度有極大值.

可見，直接利用式(6)解題可化繁為簡.

結論:對于從水平地面上方同一位置先后自由下落的兩個小球m1和m2(m1>m2)，若相碰位置到釋放位置的高度為H，則上方小球從碰撞位置彈起的最大高度為

若下方小球與上方小球的質量之比越大，則上方小球彈起的高度就越大，當m1?m2時，hmax≈9H；若兩球同時下落，則上述h值最大.

2 結論應用

直接利用上述結論解答類似的問題比較簡單，可避免根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律列方程以及解方程組的麻煩.

而

可得

設小球1和2碰撞前瞬時的速度分別為v1和v2，則有

v1=gtv2=v0-gt

即

由于兩球相碰前的瞬時速度大小相等，方向相反，因此可等效為兩個小球從同一高度處先后自由下落，質量較大的球與水平地面發(fā)生彈性碰撞后彈起再與質量較小的球發(fā)生彈性碰撞.由題意可知從釋放點到碰撞點的高度為

設

則相碰后上方小球從碰撞點上升的最大高度

因此當m=9m1時，球1上升的高度最大，最大值為

對于該題，還有一種錯誤的解法，即認為碰撞后下方小球的速度立即為零時，把全部能量都給了上方小球，則上方小球被彈起的最大高度h=4H，可得二者的質量關系為m=3m1.

【例2】有兩個鋼球，密度相同，其中小球的半徑為a，大球的半徑為2a，小球置于大球頂上，開始時大球的球心到水平鋼板平臺的高度為h0，如圖2所示.若兩球從靜止開始下落，假設兩球心始終在同一豎直線上，而且所有的碰撞都是彈性的，求碰撞后小球將達到的最大高度(球心到鋼板平臺的距離).

圖2 例2題圖

解析:大球與鋼板碰撞后反彈，再與小球相碰，由于二者一起下落，則相碰時的速度大小相等，那么由結論可知小球從碰撞位置上升的最大高度為

由公式m=ρV和球體積公式可知M=8m.兩球同時下落，當大球接觸鋼板時兩球發(fā)生彈性碰撞，可知上方小球自由下落的距離等于二者一起下落的距離，即H=h0-2a，因此小球從碰撞點上升的最大高度h可表示為

所以小球上升的最高點到鋼板的距離

d=h+5a≈6.5h0-8a

點評:當兩球上下疊放同時下落時，只有當下方球與鋼板碰撞反彈時，兩球才發(fā)生碰撞，由此來確定上方小球自由下落的距離，等于兩球一起下落的距離，即為下方球面的最低點到鋼板的距離，而不是球心到鋼板的距離.雖然兩球不在同一位置釋放，但在一起下落，若不是在一起下落，則二者相碰時的速度大小不相等，那么結論不適用.

對于兩道例題，盡管兩球不在同一高度處自由下落，但仍可利用結論來解答.要注意結論的適用條件，包括3方面：

其一，兩球正碰前的瞬時速率相等，這就要求半徑忽略不計，且在同一位置釋放，但不一定同時釋放，若半徑不能忽略，則須兩球上下疊放同時釋放，即二者一起下落；

其二，所有碰撞都是彈性的；

其三，位于上方小球的質量較小.

還要注意結論式中各距離的含義，其中H是指相碰位置到釋放位置的距離，實際是上方小球自由下落的距離；而h是指上方小球豎直上拋運動的最大位移.該結論適宜解答選擇題和填空題，而對于高考題中的論述計算題，要慎用結論，但可借助結論來檢驗常規(guī)解法所得結果是否正確.