林秋紅

(廣東理工學(xué)院基礎(chǔ)部，廣東 肇慶 526100)

引 言

近兩年，關(guān)于微分算子自伴性問題的相關(guān)研究得到很多關(guān)注。文獻(xiàn)［1］給出了4 階正則微分算子耦合自共軛邊界條件的基本標(biāo)準(zhǔn)型，為給出一般高階微分算子自共軛邊界條件標(biāo)準(zhǔn)型提供了新思路; 文獻(xiàn)［2］研究了J-對稱微分算式在兩端奇異且虧指數(shù)不相等時(shí)J-自伴擴(kuò)張的邊條件問題;文獻(xiàn)［3］討論了二維向量空間中二階微分算子在兩區(qū)間上的自伴擴(kuò)張問題。

此外，關(guān)于微分算子乘積或冪的自伴性研究也一直受到許多學(xué)者的關(guān)注，特別是對同階微分算子乘積的自伴性研究，已有較多的研究成果。1996年，邊學(xué)軍［4］研究了二階自伴微分算子ly = －y″ +q(x) y 所生成的冪算子的自伴性;1999年，曹之江、孫炯等［5］研究了正則和奇異兩種情況下二階微分算子的積算子自伴性，得到了積算子為自伴算子時(shí)其邊條件應(yīng)滿足的充分條件; 2006年，張新艷等［6］討論了正則和奇異的2n 階微分算子的積算子自伴性，得到了積算子自伴的充要條件。2010年，楊傳富等［7-8］研究了兩個(gè)四階微分算子的積的自伴性，并得到了兩個(gè)四階微分算子積的自伴的充要條件，并進(jìn)一步給出了m 個(gè)微分算子乘積自伴的條件; 張新艷、王萬義等［9-10］利用自伴算子的基本理論及矩陣運(yùn)算，討論了三個(gè)二階微分算子積的自伴性，并進(jìn)一步討論了三個(gè)高階微分算子積的自伴性;2014年，鄭召文、劉寶圣［11］給出了在極限圓型時(shí)判定三個(gè)Hamilton 算子乘積自伴的一個(gè)充要條件。但上述這些研究都只是針對同階微分算子的積算子自伴性的研究。

2016年，文獻(xiàn)［12］利用矩陣運(yùn)算，討論了一類二階與一類四階生成的兩個(gè)微分算子積的自伴性問題，并在常型情形下，得到積算子自伴的充分條件。自此，對于兩個(gè)不同偶數(shù)階的微分算子積自伴性便沒有得到更多的研究。

本文將利用新的方法繼續(xù)研究一類四階和一類六階的微分算子積的自伴性問題，并得到了積算子L =L1L2為自伴算子的一個(gè)充要條件，有趣的是這個(gè)充要條件和同階的微分算子積算子自伴的充要條件有著相似的結(jié)構(gòu)，這為進(jìn)一步研究一般的兩個(gè)不同偶數(shù)階微分算子自伴性提供了研究思路。

1 預(yù)備知識

設(shè):

為區(qū)間I 上具有適當(dāng)可微復(fù)值函數(shù)系數(shù)ak(t) 的N階微分算式，若aN(t) 不等于零，則稱l(y) 正則。以l*(y) 表示l(y) 的共軛算式，即若l(y) ≡l*(y) ，則稱l(y) 為對稱微分算式。

設(shè)［·，·］N表示l(y) 的Lagrange 雙線性型，有格林公式為:

本文記n 行m 列矩陣A = (aij)n×m，(i =1，2，…，n;j = 1，2，…，m) 。特別是n = m 時(shí)，簡記A = (aij)1≤i，j≤n。AT及A*分別表示A 的轉(zhuǎn)置及共軛轉(zhuǎn)置，AO表示A 的全轉(zhuǎn)置; 0，0n，In，R 分別表示零向量，n × n 零矩陣，n × n單位矩陣及實(shí)數(shù)集合; (M ⊕N) 為m × (m + n) 矩陣，其前n 列由M 組成，后n 列由N 組成;表示復(fù)數(shù)a 的共軛復(fù)數(shù)。設(shè)QN(t) 表示雙線性型相應(yīng)的矩陣，則:

這里:

由于實(shí)對稱微分算式階數(shù)為偶數(shù)，設(shè):

這里實(shí)函數(shù)pk(t) ∈C2n+k(I) (k = 0，1，2，…，n) ，

記LM為由l 生成的最大算子，其定義域?yàn)?

而由l 生成的最小算子記作L0，它是算子LM限制在上所得算子的最小閉延拓，即:記其定義域?yàn)镈0(l) 。

為了證明主要結(jié)果，需要下列預(yù)備知識。

引理1［13］函數(shù)y ∈D0(l) 的充要條件為:

(1) y(0) = y(1)(0) = … = y(2n－1)(0) = 0 ;

引理2［7］設(shè)A，B，C 為n × n 矩陣，B，C 可逆，則可逆，且:

引理3［14］設(shè)l(y) 是定義于區(qū)間I = ［a，b］的2n階正則對稱微分算式，由l(y) 生成的微分算子L 是自伴算子的充要條件為:存在2n × 2n 數(shù)量矩陣M，N 使得L的定義域?yàn)?

這里σy(a) ，σy(b) 定義于式(4) ，且:

(i) Rank(M ⊕N) = 2m +2n;

定義1［15］設(shè):

將A 順時(shí)針(或逆時(shí)針) 旋轉(zhuǎn)180 度，得到矩陣稱為矩陣A 的全轉(zhuǎn)置矩陣，記為AO，并記:

2 微分算子積的自伴性

設(shè):

由式(5) 和式(6) 計(jì)算得到微分算子l1(y) ，l2(y)的Lagrange 雙線性型矩陣Q1和Q2為:

定義微分算子Li(i = 1，2) 如下:

這里，σy(t) = (y(t)，y(1)(t)，y(2)(t)，…，y(2n－1)(t) )T;A，B 為4 ×4 數(shù)量矩陣; C，D 為6 ×6 數(shù)量矩陣。且:

不失一般性，令:

其中aij，bij，clk，dlk∈R(i，j = 1，2，3，4;l，k = 1，2，…，6) 。

設(shè):

其Lagrange 雙線性型矩陣為Q10，則由式(6) 及引理2得:

其中:

由式(8) 直接計(jì)算可得:

其中:

按照積算子L(y) = L1L2(y) 的定義，L(y) 的定義域是:

故由式(19) 得:

其中:

定理1Rank(M ⊕N) = 10

證明由于:

則:

而det(F) = det(M2) ，det(N2) = 1 ×1 = 1 ≠0，即F 是可逆的，所以根據(jù)矩陣知識可知: Rank(PF) =Rank(P) = 10，即Rank(M ⊕N) = 10，證畢。

定理2積算子L = L1L2自伴的充要條件為:

CS(a) A*= DS(b) B*

證明由于L 是10 階實(shí)對稱微分算子，根據(jù)引理3和定理1，只須證明:即可，其中同上。事實(shí)上，由式(15) 、式(22) 及引理3 可知:

其中:

為矩陣G 的全轉(zhuǎn)置矩陣。

同理可知:

用相同的方法，可以進(jìn)一步研究任意2 n 階微分算子與2 m 階微分算子的積算子自伴性。